Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CĂN BẢN
1. Tọa độ của véc tơ và tọa độ của điểm
- Véc tơ
- Điểm
- Véc tơ
- Điểm

;

thì

và
- Tọa độ trung điểm I của AB:
- Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:

2. Các phép toán
Cho

thì

-

;

- cùng phương với
3. Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ
Trong không gian Oxyz cho
3.1.Tích vô hướng của hai véc tơ
- Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véc tơ là một số:
- Biểu thức tọa độ:

;

- Độ dài véc tơ:
- Góc giữa hai véc tơ:
3.2.Tích có hướng của hai véc tơ
- Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau

- Tính chất:
o
Trang 1

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

o
cùng phương với
- Ứng dụng của tích có hướng:
o

đồng phẳng

o

không đồng phẳng

(ba véc tơ có giá song song hoặc nằm trên một mặt phẳng).
.

o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

(bốn điểm nằm trên một mặt phẳng).

o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

(bốn đỉnh của một tứ diện).

o Diện tích hình bình hành:
o Diện tích tam giác:

;

o Thể tích khối hộp:
o Thể tích tứ diện:
4. Phương trình mặt cầu
Dạng 1:

(1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R.

Dạng 2:

(2) , với điều kiện

là

phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính
5. Phương trình mặt phẳng


Véc tơ



Nếu

vuông góc với mặt phẳng

.

được gọi là VTPT của mặt phẳng

.

là hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng

một VTPT của mặt phẳng

thì

là

.



Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì



Mặt phẳng

đi qua điểm

là một VTPT của mặt phẳng (ABC).
và có VTPT

có phương trình

.


Phương trình dạng

được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng với VTPT

.
6. Phương trình đường thẳng
 Véc tơ
 Đường thẳng

có giá song song hoặc trùng với đường thẳng
đi qua điểm

+ Phương trình tham số là:

được gọi là VTCP của đường thẳng

và có VTCP

, khi đó

, t gọi là tham số.

+ Phương trình chính tắc là:

.
Trang 2

.

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12



Hướng dẫn ôn tập

Nếu hai mặt phẳng

và

hệ phương trình:

giao nhau thì

được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

trong

không gian.
7. Khoảng cách
7.1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho điểm

và mp

thì:

7.2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
Cho đường thẳng

:

,

là một điểm thuộc

7.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng song song

và

, khi đó

trong đó
là một điểm
7.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm

đến đường thẳng

; được tính bởi CT:

7.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nếu đường thẳng
Đường thẳng

đi qua điểm

và có

đi qua điểm

và có

thì

Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm trênđường thẳng này
đến đường thẳng còn lại, nghĩa là
Trang 3

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

,

.

8. Vị trí tương đối
8.1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho

và

khi đó

+

(A',B',C',D' đều khác 0)

+

(A',B',C',D' đều khác 0)

+

và

cắt nhau

+
và
vuông góc vớ nhau
8.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

Xét hệ phương trình

, khi đó

+

, hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.

+

, hay

+

và

cắt nhau

và hệ (I) vô nghiệm.

và hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

.

+ và
chéo nhau
và hệ phương trình (I) vô nghiệm
8.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng

và mặt phẳng
Trang 4

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

có VTPT

.

Xét phương trình
+

phương trình (*) vô nghiệm

+
+

ẩn là , khi đó

phương trình (*) có vô số nghiệm
và

cắt nhau tại một điểm

phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Lưu ý:
8.4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng

và mặt cầu

(S) có tâm

. Gọi

.

+ Nếu

và (S) không giao nhau.

+ Nếu

và (S) tiếp xúc nhau tại một điểm H. (

+ Nếu

và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính

và có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên
Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H của đường tròn (C) ta làm như sau
- Lập phương trình đường thẳng

Gọi

.

đi qua I và vuông góc với

- Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ gồm phương trình của
8.5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng thẳng

gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)).

.

và phương trình

.

và mặt cầu (S):

, trong đó

là VTCP của

+ Nếu

và (S) không có điểm chung

+ Nếu

tiếp xúc với (S) (

là tiếp tuyến của mặt cầu (S))

+ Nếu
cắt (S) tai hai điểm A, B ( gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))
8.6. Vị trí tương đối giữa một điểm và mặt cầu
Cho điểm

+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu

và mặt cầu (S):

,tâm

thì điểm M nằm ngoài mặt cầu (S)
thì điểm M nằm trên mặt cầu (S)
thì điểm M nằm trong mặt cầu (S)

9. Góc
Trang 5

thì

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

9.1. Góc giữa hai đường thẳng
Nếu đường thẳng

có VTCP

và đường thẳng

có VTCP

thì

9.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Đường thẳng

có VTCP

và mặt phẳng

có VTPT

thì

9.3. Góc giữa hai mặt phẳng
Nếu mặt phẳng

có VTPT

và mặt phẳng

có VTPT

thì

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1 Cho = (2; –3; 3),
A. (0; –3; 4)

= (0; 2; –1), = (1; 3; 2). Tìm tọa độ của vector
B. (3; 3; –1)
C. (3; –3; 1)
D. (0; –3; 1)

Câu 2 Cho = (2; –1; 2). Tìm y, z sao cho = (–2; y; z) cùng phương với
A. y = –1; z = 2
B. y = 2; z = –1
C. y = 1; z = –2
D. y = –2; z = 1
Câu 3 Cho = (1; –1; 1),
A. (2; 2; –1)

= (3; 0; –1),
B. (6; 0; 1)

= (3; 2; –1). Tìm tọa độ của vector
C. (5; 2; –2)
D. (6; 4; –2)

Câu 4 Tính góc giữa hai vector = (–2; –1; 2) và
A. 135°
B. 90°

= (0; 1; –1)
C. 60°

D. 45°

Câu 5 Cho = (1; –3; 2), = (m + 1, m – 2, 1 – m), = (0; m – 2; 2). Tìm m để ba vector đó đồng phẳng.
A. m = 0 V m = –2 B. m = –1 V m = 2 C. m = 0 V m = –1 D. m = 2 V m = 0
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABDC với A(1; 2; 1), B(1;1; 0),C(1; 0;2).
Tọa độ đỉnh D là
A. (1; –1; 1)
B. (1; 1; 3)
C. (1; –1; 3)
D. (–1; 1; 1)
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABCD với A(1; 1; 0), B(1; 1; 2), D(1; 0; 2).
Diện tích của hình bình hành ABCD là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 2), B(1; 0; 3), C(2; 0; 1). Tìm tọa độ
đỉnh D sao cho các điểm A, B, C, D là các đỉnh của hình chữ nhật.
A. (2; 1; –2)
B. (2; –1; 2)
C. (–1; 1; 2)
D. (2; 2; 1)
' ' ' '
Câu 9. Trong không gian Oxyz . Cho hình hộp ABCD.A B C D biết A( 1 ;0 ; 1 ), B( 2 ; 1 ; 2 ), D ( 1 ; -1 ; 4 ) ,
C' ( 4 ; 5 ;-5 ) Tọa độ điểm A' là :
A. ( 3 ; 5 ; -6 )
B . (-2 ; 1 ; 1 )
C( 5 ; -1 ; 0 )
D. ( 2 ; 0 ; 2 )
Câu 10. Trong không gian Oxyz .Cho M( 2 ; -5 ; 7 ) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy .
Trang 6

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

A. ( -22 ; 15 ; -7 )
B. ( -4 ; -7 ; -3)
C. ( 2 ; -5 ; -7)
D. ( 1 ; 0; 2)
Câu 11. Trong không gian Oxyz .Cho hai điểm A ( 2 ; 5 ; 1) , B( -1 ; 7 ; -3) . Điểm nào sau đây thẳng hàng với
AB
A. ( -4 ; 9 ; -7)
B. ( 11 ; -1 ; 12)
C. ( 14 ; -3 ; 16)
D . ( 0 ; 2 ; 0)
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 2; 3), B(1; 0; –5) và mặt phẳng (P): 2x + y
– 3z – 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.
A. (0; 1; 2)
B, (–2; 1; –3)
C. (0; 1; –1)
D. (3; 1; 1)
2. MẶT CẦU
Câu 13. Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0.
A. I(4; –1; 0), R = 4 B. I(–4; 1; 0), R = 4 C. I(4; –1; 0), R = 2 D. I(–4; 1; 0), R = 2
Câu 14. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)
A. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 3
B. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 4 = 0
C. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 6
D. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 10 = 0
Câu 15. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1)
A. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z + 6 = 0
B. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z – 6 = 0
C. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z + 24 = 0 D. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z – 24 = 0
Câu 16. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3),
C(2; 0; –1).
A. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 17
B. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 11
C. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 11
D. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 17
Câu 17. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 5; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y + 3z + 1 = 0
A. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 16
B. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 12
C. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 14
D. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 10
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y +2z + 1 = 0.
Phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là
A. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 4
B. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 9
C. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 3
D. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 5
Câu 19. Cho hai điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
A. x² + (y + 3)² + (z – 1)² = 9
B. x² + (y – 3)² + (z – 1)² = 36
C. x² + (y + 3)² + (z + 1)² = 9
D. x² + (y – 3)² + (z + 1)² = 36
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z
+ 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Phương trình của
mặt cầu (S) là
A. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 8
B. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 10
C. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 8
D. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 10
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d:
.
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với d.
A. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 49
B. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 7
C. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 50
D. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 25
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² +
z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Xác định tọa độ
tâm và bán kính của đường tròn (C).
A. (3; 0; 2) và r = 2 B. (2; 3; 0) và r = 2 C. (2; 3; 0) và r = 4 D. (3; 0; 2) và r = 4

Trang 7

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

Câu 23. Cho đường thẳng Δ:
và điểm A(0; 0; –2). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A,
cắt đường thẳng Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
A. (S): x² + y² + z² + 4z – 21 = 0
B. (S): x² + y² + z² + 4z – 25 = 0
C. (S): x² + y² + z² – 4z – 21 = 0
D. (S): x² + y² + z² – 4z – 25 = 0
Câu 24. Cho đường thẳng Δ:
và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu
(S) có tâm thuộc Δ, có bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
A. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² – 10x – 22y – 4z + 149 = 0
B. (S): x² + y² + z² + 2x + 2y + 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² – 10x – 22y – 4z + 149 = 0
C. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² + 10x + 22y + 4z + 149 = 0
D. (S): x² + y² + z² + 2x + 2y + 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² + 10x + 22y + 4z + 149 = 0
Câu 25. Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và điểm I(3; –1; 3).
Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
A. x² + y² + (z – 3)² = 5
B. x² + y² + (z – 3)² = 8
C. x² + y² + (z – 3)² = 10
D. x² + y² + (z – 3)² = 12
Câu 26. Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
B(–2; 5; 2). Tính bán kính mặt cầu (S) đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.

và hai điểm A(2; 1; 0),

B. 6
C. 5
D. 3
A. 5
Câu 27. Mặt cầu tâm I(3; 2; –4) và tiếp xúc với trục Oy có bán kính là
A. 3
B. 4
C. 5
D. 2
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3). Tìm tọa độ tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A. (3; 3; 3)
B. (1; 1; 1)
C. (1; 2; 3)
D. (2; 2; 2)
3. MẶT PHẲNG
Câu 29 . Mặt phẳng nào sau đây có vectơ pháp tuyến ( 3 ; 1 ; - 7 )
A. 3x + y -7 = 0

B. 3x + z -7 = 0

C. – 6x – 2y +14z -1 = 0

D. 3x – y -7z +1 = 0

Câu 30. Trong không gian Oxyz .Cho hai điểm P ( 4 ; -7 ; -4) , Q( -2 ; 3 ; 6) Mặt phẳng trung trực của đoạn
PQ là :
A. 3x – 5y -5z -8 = 0

B. 3x + 5y +5z - 7 = 0

C . 6x – 10y -10z -7 = 0

D.3x – 5y -5z -18 = 0

Câu 31. Trong không gian Oxyz .Cho tứ diện ABCD với A( 5 ;0; 4), B( -1 ;-1; 2), C( 5 ;1; 3),
D( 0;0; 6) . Phương trình mặt phẳng qua A, B và song song CD là :
A. x – 28y -11z -9 = 0

B. - x – 28y +11z - 49 = 0 C. x + 28y +11z - 49 = 0

D. x +28y -11z +19 = 0

Câu 32. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và vuông góc với giá của 2 vectơ
= (2; 1; 2),

= (3; 2; –1).

A. –5x + 8y + z – 8 = 0

B. –5x – 8y + z – 16 = 0

C. 5x – 8y + z – 14 = 0

D. 5x + 8y – z – 24 = 0

Câu 33. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(–1; 1; 0), song song với (α): x – 2y + z – 10 = 0.
Trang 8

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

A. x – 2y + z – 3 = 0 B. x – 2y + z + 3 = 0 C. x – 2y + z – 1 = 0 D. x – 2y + z + 1 = 0
Câu 34. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt phẳng
(α): 2x – y + 3z – 1 = 0
A. 5x + 4y – 2z – 21 = 0

B. 5x + 4y – 2z + 21 = 0

C. 5x – 4y – 2z – 13 = 0

D. 5x – 4y – 2z + 13 = 0

Câu 35. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3).
A. –3x + 6y + 2z + 6 = 0

B. –3x – 6y + 2z + 6 = 0

C. –3x – 6y + 2z – 6 = 0

D. –3x + 6y – 2z + 6 = 0

Câu 36. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; 0; –2) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (α):
2x + y – z – 2 = 0 và (β): x – y – z – 3 = 0.
A. –2x + y – 3z + 4 = 0

B. –2x + y – 3z – 4 = 0

C. –2x + y + 3z – 4 = 0

D. –2x – y + 3z + 4 = 0

Câu 37. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách A(2; –1; 4) một đoạn
bằng 4.
A. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0

B. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0

C. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 8 = 0

D. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z + 4 = 0

Câu 38. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 tại điểm
M(4; –3; 1)
A. 3x – 4y – 20 = 0

B. 3x – 4y – 24 = 0

C. 4x – 3y – 25 = 0

D. 4x – 3y – 16 = 0

Câu 39. Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song
song với mặt phẳng (BCD).
A. 6x – 3y – 2z – 12 = 0

B. 6x – 3y – 2z + 12 = 0

C. 3x +2y – 6z + 6 = 0

D. 3x –2y + 6z –6 = 0

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; –1; 3), C(1; 1; 1). Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C và vuông góc với AB.
A. x + y – 3z + 1 = 0 B. x + y – 3z – 1 = 0 C. x + y + 3z – 5 = 0 D. x – y + 3z – 1 = 0

Câu 41. Cho điểm A(–2; 2; –1) và đường thẳng d:
A và chứa đường thẳng d.
A. y + z – 6 = 0

. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

B. x + y + 6 = 0

C. y + z – 1 = 0

D. y + z – 2 = 0

Câu 42. Cho hai điểm A(1; –1; 5) và B(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với
trục Oy.
A. 4x + y – z + 1 = 0 B. 2x + z – 5 = 0

C. 4x – z + 1 = 0

D. y + 4z – 1 = 0

Câu 43. Cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 10 = 0. Viết
phương trình mặt phẳng (Q) // (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
A. 4x + 3y – 12z + 78 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z – 26 = 0

B. 4x + 3y – 12z – 78 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z + 26 = 0

C. 4x + 3y – 12z + 62 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z – 20 = 0

D. 4x + 3y – 12z – 62 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z + 20 = 0

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4).
Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?
A. 1

B. 4

C. 7
Trang 9

D. Có vô số

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 4; 2), B(1; 0; –1), C(3; 2; 1). Cho các phát
biểu sau:
(1)Trung điểm BC thuộc mặt phẳng Oxy.
(2) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân.
(3)Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có chu vi là 10 + 2
(4) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích là
Số câu phát biểu đúng là
A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 1; 4), C(0; 2; 3), D(2; 2; 5). Cho
các phát biểu:
(1) Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BCD.
(2) Các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
(3) Hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng đi qua hai điểm A, C có tọa độ là (1;2;1).
(4) Trung điểm của đoạn thẳng AD trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC.
Số các phát biểu đúng là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 47. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và vuông góc mặt phẳng(Q): 2x – z – 9 = 0.
A. x + y – 2z = 0

B. x + 2z = 0

C. x –2z = 0

D. x + 2z – 3 = 0

Câu 48. Cho điểm A(–3; 1; 2) và hai đường thẳng d1:
; d2:
trình mặt phẳng (P) đi qua A, đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2.
A. x + 3y + 5z – 13 = 0

B. x – 3y – 5z + 13 = 0

C. x + 3y + 5z – 10 = 0

. Viết phương
D. x – 3y – 5z + 10 = 0

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (Q1): 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q2): 3x – y + 4z
+ 8 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng(Q1) và (Q2) là
A. 3x – y + 4z + 10 = 0

B. 3x – y + 4z + 5 = 0

Câu 50. Cho hai đường thẳng d1:
cách đều hai đường thẳng d1, d2.
A. 4x – 5y – z + 17 = 0

và d2:

B. 4x + 5y + z – 17 = 0

C. 3x – y + 4z – 10 = 0

D. 3x – y + 4z – 5 = 0

. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và
C. 4x – 5y – z + 8 = 0

D. 4x + 5y + z – 8 = 0

Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –2; –1) và đường thẳng d:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P)lớn nhất.
Trang 10

.

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12
A. (P): x + y = 0

Hướng dẫn ôn tập

B. (P): x – y +2 = 0

C. (P): x – y = 0

D. (P): x + y – 2 = 0

Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua G(1; 2; –1) và cắt Ox, Oy, Oz lần
lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
A. (P): x + 2y – z – 4 = 0 B. (P): 2x + y – 2z – 2 = 0

C. (P): x + 2y – z – 2 = 0

D. (P): 2x + y – 2z – 6 = 0

Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua H(2; 1; 1)và cắt Ox, Oy, Oz lần
lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
A. (P): 2x + y + z – 6 = 0 B. (P): x + 2y + 2z – 6 = 0

C. (P): 2x – y – z – 2 = 0

D. (P): x – 2y – 2z + 2 = 0

Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P) là mặt phẳng đi qua M(2; 1; 2) và cắt các tiaOx, Oy, Oz
lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất với a, b, c là số
dương. Viết phương trình mặt phẳng (P).
A. (P): 2x + y + 2z – 9 = 0

B. (P): x + 2y + z – 6 = 0

C. (P): 2x – y + 2z – 7 = 0 D. (P): x – 2y + z – 4 = 0

Câu 55. Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(–2;1;3), C(2; –1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A, B sao cho (P) cách đều hai điểm C, D.
A. (P): 2x + 3z – 5 = 0 hoặc (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0

B. (P): 2x – 3z + 1 = 0 hoặc (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0

C. (P): 2x + 3y – 10 = 0 hoặc (P): 4x –2y – 7z +7 = 0

D. (P): 2x– 3y+4 = 0 hoặc (P): 4x – 2y – 7z + 7 = 0

Câu 56. Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x  y + z  1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R)
vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (R) bằng

.

A. x – z + 2 = 0 hoặc x – z – 2 = 0

B. x – z + 4 = 0 hoặc x – z – 4 = 0

C. x – y + 2 = 0 hoặc x – y – 2 = 0

D. x – y + 4 = 0 hoặc x – y – 4 = 0

4. ĐƯỜNG THẲNG

Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
A.
B.
C.
D.
Câu 58. Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(2; 1; 0), B(0; 1; 2)

A. (d):

B. (d):

C. (d):

D. (d):

Câu 59. Viết phương trình đường thẳngd đi qua điểm A(4; –2; 2), song song với Δ:
A. (d):

.

B. (d):

C. (d):
D. (d):
Câu 60. Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(–1; 0; 2), vuông góc với (P): 2x – 3y + 6z + 4 = 0.
Trang 11

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

A. (d):

B. (d):

C. (d):
D. (d):
Câu 61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0 và (Q):
x + y + z – 1 = 0. Phương trình đường giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
A. (d):

B. (d):

C. (d):

D. (d):

Câu 62. Cho đường thẳng (d):
và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0. Viết phương trình đường
thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với (d).
A.

B.

C.

D.

Câu 63. Cho hai đường thẳng d1:
, d2:
thẳng đồng thời cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d1, d2.

A. d:

B. d:

C. d:

. Viết phương trình đường

D. d:

Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng d:
phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A, đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d.
A. (Δ):

B. (Δ):

C. (Δ):

D. (Δ):

Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
3y + z – 4 = 0. Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) là
A.

. Viết

và mặt phẳng (P): x –

B.

C.
D.
Câu 66. Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 0; 5), đồng thời vuông góc với hai đường thẳng
(d1):

và (d2):

A. (d):

B. (d):

C. (d):
Trang 12

D. (d):

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

Câu 67. Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 2; –2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng
Δ:
A.

B.

C.
D.
Câu 68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 3y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng
d1:
và d2:
cả hai đườngthẳng d1 và d2.

. Viết phương trình đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) và cắt

A.
B.
C.
D.
Câu 69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(–3;0;1),
B(0; –1;3). Viết phương trình đường thẳng dđi qua A và song song với (P),sao cho khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.

A. d:
5. KHOẢNG CÁCH

B. d:

C. d:

D. d:

Câu 70. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính khoảng cách từ M đến (P).
A. 18
B. 6
C. 9
D. 3
Câu 71. Cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 2 = 0 và (Q): 2x – 3y + 6z + 9 = 0. Tính khoảng cách giữa hai
mặt phẳng (P) và (Q).
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
Câu 72. Trong mặt phẳng Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1; –2), C(1;3;2), D(–2;3;–1).Độ dài
đường cao kẻ từ D của tứ diện là
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Câu 73. Cho điểm A(1; 0; 1), B(0; 2; 3) và C(0; 0; 2). Độ dài đường cao hạ từ C của tam giác ABC là
A. 2
B. 3
C. 1/2
D. 1
Câu 74. Cho A(–2; 2; 3) và đường thẳng (Δ):
A. 3

B. 5

. Tính khoảng cách từ A đến(Δ).
C. 2

Câu 75. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1:

D. 5
, d2:

.

A.
B.
C.
D.
Câu 76. Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1).Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 1
Câu 77. Cho các điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; –1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của
S trên mặt phẳng (ABC).
A. H(8/3; 8/3; –5/3) B. H(9/4; 5/2; –5/4) C. H(5/2; 11/4; –9/4) D. H(5/3; 7/3; –1)
Trang 13

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Câu 78. Cho đường thẳng Δ:

Hướng dẫn ôn tập

và mặt phẳng (P): x  2y + 2z – 3 = 0. Gọi C là giao điểm của Δ

với (P), M là điểm thuộc Δ. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
.
A. 2
B. 3
C. 2/3
D. 4/3
Câu 79. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2). Tìm điểm N thuộc mặt phẳng Oxy sao cho
độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất.
A. (1; 1; 0)
B. (1; 2; 2)
C. (2; 1; 0)
D. (2; 2; 0)
Câu 80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1). Gọi M là điểm thuộc mặt
phẳng Oxy. Tìm tọa độ của M để P = |
| đạt giá trị nhỏ nhất.
A. (1; 2; 1)
B. (1; 1; 0)
C. (2; 1; 0)
D. (2; 2; 0)
Câu 81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 0), B(3; 0; 5), C(2; 2; 1). Gọi M là một
điểm chạy trên mặt phẳng Oyz. Giá trị của P = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất khi M có tọa độ là
A. (0; 2; 1)
B. (0; 1; 3)
C. (0; 2; 3)
D. (0; 1; 2)
Câu 82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 0), B(0; 1; 5), C(2; 0; 1). Gọi M là một
điểm chạy trên mặt phẳng Oyz. Giá trị nhỏ nhất của P = MA² + MB² + MC² là
A. 23
B. 25
C. 27
D. 21
6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Câu 83. Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và
(Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0.
A. m = –2 V m = 2 B. m = –2 V m = 4 C. m = 2 V m = 4
D. m = –4 V m = 2
Câu 84. Xác định m ,n ,p để cặp mặt phẳng sau song song
( P ) : 2x -3y -5z + p = 0, ( Q ) : ( m+2 ) x + ( n – 1 )y +10z -2 = 0
A . m = 2 , n = -3 , p 5
B. m=-2,n=3,p 1
C . m = -6 , n = 7 , p 1
D. m = 6 , n = -4 , p 2
Câu 85. Điều kiện nào sau đây không đủ để cặp mặt phẳng
( P ) : 2x - y -5z + p = 0, ( Q ) : ( m+2 ) x + ( n – 1 )y +10z -2 = 0 không cắt nhau :
A.

B.

C.

D.

Câu 86. Trong không gian Oxyz. Cho đường thẳng d :
và mặt phẳng
( P ) : mx + y + z + 5 = 0 . Với giá trị nào của m để đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) song song .
A. m = 0
B. m = 1
C. m
D. m
Câu 87. Cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của
đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
A. (–2; –6; 8)
B. (–1; –3; 4)
C. (3; 1; 0)
D. (0; 2; –1)
Câu 88. Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 6 = 0 và điểm A(2; –1; 0). Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt
phẳng (P).
A. (1; –1; 1)
B. (–1; 1; –1)
C. (3; –2; 1)
D. (5; –3; 1)

Câu 89. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng (d):
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên
đường thẳng (d).
A. (2; –3; –1)
B. (2; 3; 1)
C. (2; –3; 1)
D. (–2; 3; 1)
Trang 14

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

Câu 90. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; –4; 0), B(0; 2; 4), C(4; 2; 1). Tọa độ điểm D
trên trục Ox, sao cho AD = BC.
A. D(0; 0; 0), D(6; 0; 0)
B. D(–2; –4; 0), D(8; –4; 0)
C. D(3; 0; 0), D(0; 0; 3)
D. D(–2; 0; 0), D(8; 0; 0)
Câu 91. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0.
Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
A. B(–2; 0; –4)
B. B(–1; 3; –2)
C. B(–2; 1; –3)
D. B(–1; –2; 3)
Câu 92. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d.
A. (1; 2; 3)
B. (1; 2; 1)
C. (1; –2; 3)

và điểm A(–1; 0; 1).
D. (0; 1; 1)

Câu 93. Cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): 3x + 5y – 2z – 4 = 0. Tìm tọa độ giao
điểm của d và (P).
A. (4; 0; 4)
B. (0; 0; –2)
C. (2; 0; 1)
D. (–2; 2; 0)
Câu 94. Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 3 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 6z + 1 = 0. Vị trí tương
đối giữa (P) và (S) là
A. cắt nhau theo đường tròn có bán kính 2 B. cắt nhau theo đường tròn có bán kính 3
C. cắt nhau theo đường tròn có bán kính 4 D. chúng không cắt nhau
Câu 95. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (Δ):
và mặt phẳng (P):
10x + 2y + mz + 11 = 0, m là tham số thực. Tìm giá trị của m để (P) vuông góc với (Δ).
A. m = –2
B. m = 2
C. m = –52
D. m = 52
Câu 96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các điểm A(0; 1; 0), B(0; 1; 1),
C(2; 1; 1), D(1; 2; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 1/6
B. 1/3
C. 2/3
D. 4/3
Câu 97. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)² + (y – 1)² + z² = 9 và đường thẳng d:
. Tìm tọa độ các giao điểm của d và (S).
A. (0, –1; 1) và (2; 2; 0)
B. (0, 1; 1) và (2; –2; 0)
C. (0, –1; 1) và (2; –2; 0)
D. (0, 1; –1) và (–2; 2; 0)
Câu 98. Tìm tọa độ điểm A trên đường thẳng d:
sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(P): x – 2y – 2z + 5 = 0 bằng 3. Biết rằng A có hoành độ dương.
A. (2; –1; 0)
B. (4; –2; 1)
C. (–2; 1; –2)
D. (6; –3; 2)
Câu 99. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2; –2;1),C(–2;0;1). Tìm tọa độ của
điểm M thuộc mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
A. (2; 1; 3)
B. (–2; 5; 7)
C. (2; 3; –7)
D. (1; 2; 5)
Câu 100. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 2)² = 36 và mặt
phẳng (P): x + 2y + 2z + 18 = 0. Đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P), cắt mặt
cầu tại các giao điểm là
A. (–1; –2; –2) và (2; 4; 4)
B. (3; 6; 6) và (–2; –4; –4)
C. (4; 8; 8) và (–3; –6; –6)
D. (3; 6; 6) và (–1; –2; –2)

Trang 15

Trường THPT Nguyễn Trung Trực
hình học học kỳ 2 lớp 12

Hướng dẫn ôn tập

Câu 101. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng d1:
, d2:
. Xác định tọa độ điểm M thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến
d2bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Biết rằng M có hoành độ nguyên.
A. (–1; 0; –9)
B. (0; 1; –3)
C. (1; 2; 3)
D. (2; 3; 9)
Câu 102. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):
x + y + z – 6 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt
phẳng (P).
A. D(5/2; 1/2; –1)
B. D(3/2; –1/2; 0)
C. D(0; –1/2; 3/2)
D. (–1; 1/2; 5/2)
Câu 103. Cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b> 0, c > 0 và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0.
Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ điểm O đến (ABC) bằng1/3.
A. b = 2 và c = 2
B. b = 1/2 và c = 1/2 C. b = 2 và c = 1
D. b = 1 và c = 2
Câu 104. Cho đường thẳng Δ:
M đến Δ bằng OM với O là gốc tọa độ.
A. (–1; 0; 0) hoặc (1; 0; 0)
C. (1; 0; 0) hoặc (–2; 0; 0)

. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ
B. (2; 0; 0) hoặc (–2; 0; 0)
D. (2; 0; 0) hoặc (–1; 0; 0)

Câu 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:
và Δ2:
Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 bằng 1.
A. (6; 3; 3), (3; 0; 0) B. (4; 1; 1), (7; 4; 4) C. (3; 0; 0), (7; 4; 4) D. (5; 2; 2), (4; 1; 1)
Câu 106. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng (P):
2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. Biết M có hoành độ nguyên.
A. (3; –2; 3)
B. (2; 0; 4)
C. (–1; 0; 2)
D. (0; 1; 3)
Câu 107. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm
A(4; 4; 0). Tìm tọa độ điểm B thuộc (S) sao cho tam g...