Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007
Đề I
Câu I: Cho hàm số

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.
Câu II:
1. Giải phương trình:

2. Tìm m để phương trình:
có nghiệm x

Câu III: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
2. Tìm tọa độ điểm M ( (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Câu IV:
1. Tính

2. Giải hệ phương trình:


Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1. Đường tròn (C`) tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
. Viết phương trình đường thẳng AB.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải bất phương trình:
2. Cho lăng trụ đứngABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1
và
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB(MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài giải
Câu I:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (Bạn đọc tự làm)
2. Gọi (C ) là đồ thị của hàm số.
M(x,y) ( ( C ) (

Phương trình tiệm cận xiên

khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là

khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là

Ta có
: hằng số.
Câu II:
1. Giải phương trình :
(1)
(1) ( ( cos22x ( cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ( 0
(

( cos2x = 0 (

2. Đặt
( t2 ( 2 = x2 ( 2x
Bpt (2) (

Khảo sát
1 ( t ( 2
g`(t)
. Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt
bpt
có nghiệm t ( [1,2]



Câu III:
1. Ta có
cùng phương với

mp(P) có PVT

Ta có
= (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1)
Phương trình mp chứa AB và vuông góc với (P) là :
2(x + 1) + 5(y ( 3) + 1(z + 2) = 0
( 2x + 5y + z ( 11 = 0
2. Tìm M ( (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với
Mp (P). Gọi A` là điểm đối xứng với A qua (P)
Pt AA` :

AA` cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của


Vì H là trung điểm của AA` nên ta có :


Ta có
(cùng phương với (1;-1;3) )
Pt đường thẳng A`B :

Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình


Câu IV:
1. Đặt

Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1
Vậy

=

2. Giải hệ phương trình


Đặt u = x ( 1, v = y ( 1
(I) thành

Xét hàm f(x)

f ´(x)

Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R.
Nếu u > v
f(u) > f(v)

v > u ( vô lý )
Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý
Do đó hệ (II)

Đặt: g(u)





Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R.
Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)
Nên (II) (