CHUYÊN ĐỀ 36: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 44. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn f ( x) + xf ( x) = 4 x 3 + 4 x + 2, x 

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) và y = f  ( x ) bằng
A.

5
.
2

B.

4
.
3

C.

1
.
2

D.

1
.
4

Lời giải
Ta có: f ( x) + x. f ( x) = 4 x + 4 x + 2  ( x)  f ( x) + x. f ( x) = 4 x 3 + 4 x + 2
3

x4 + 2x2 + 2x + C
x
3
nên C = 0 . Do đó f ( x) = x + 2 x + 2  f ( x) = 3 x 2 + 2

 [ x. f ( x)] = 4 x 3 + 4 x + 2  x. f ( x) = x 4 + 2 x 2 + 2 x + C  f ( x) =
Vì do f ( x ) liên tục trên

Xét phương trình hoành độ giao điểm của y = f ( x) và y = f ( x) , ta có:

x = 0
x3 + 2 x + 2 = 3x 2 + 2   x = 1 . Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) và
 x = 2
2

y = f ( x) là: S =  f ( x) − f ( x) dx =
0

1
2

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y

f x trục Ox và hai đường đường thẳng x

a; x

b là

S =  f ( x ) dx
b

a

S =  f ( x ) dx
b

a

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y

S =  f ( x ) − g ( x ) dx
b

a

f x ; y

g x và hai đường đường thẳng x

a; x

b là

S =  f ( x ) − g ( x ) dx
b

a

THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi đồ thị y

f x ,x

a, x

b quay quanh trục Ox là V = 



b

a

f 2 ( x )dx .

V =  f 2 ( x )dx
b

a

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi đồ thị y

f x ,y

g x ,x

a, x

b quay quanh trục Ox là

V =  f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
b

a

V =  f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
b

a

CÂU PHÁT TRIỂN TỪ KHO SMARTEST PRO – 100 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TN THPT
Câu 1. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + 1 , y = −2 , x = 0 và x = 1 được tính
bởi công thức nào dưới đây?
1

A. S =   ( x 2 − 1)dx .

1

1

B. S =  ( x 2 − 1)dx .

0

C. S =  ( x 2 + 3)dx .

0

1

D. S =   ( x 2 + 3)dx .

0

0

Lời giải
1

1

1

0

0

0

Ta có S =  x 2 + 1 − (−2)dx =  x 2 + 3dx =  ( x 2 + 3)dx .
Câu 2.

2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 2, x = 0, x = 1 được tính bằng công thức
nào dưới đây?
1

A.

2
 ( 2 − x )dx .
0

1

B.

1

2
 ( x + 2 ) dx .
2

C.

2
 ( x + 2 )dx .
0

0

Lời giải
1

1

0

0

Diện tích của hình phẳng là S =  x 2 − ( 2 ) dx =  x 2 − 2 dx

1

(

)

2
D.   x + 2 dx .
0

1

1

Vì x − 2  0, x  ( 0;1) nên S =  x − ( 2 ) dx =  ( 2 − x 2 ) dx .
2

2

0

Câu 3.

0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x 2 − 3 và y = x − 3 bằng

125
.
3

A.

B.

1
.
6

125
.
6
Lời giải
C.

D.


.
6

x = 0
.
x2 − 3 = x − 3  x2 − x = 0  
x = 1
1

1

S =  x 2 − 3 − ( x − 3) dx =  x 2 − x dx =
0

Câu 4.

0

1

(x
0

2

 x3 x 2  1 1
− x ) dx =  −  = .
 3 2 0 6

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường y = x 2 − 1 và y = x − 1 bằng

13
13
1
A. .
B.
.
C.
.
D. .
6
6
6
6
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là:

x = 0
.
x2 − 1 = x − 1  x2 − x = 0  
x = 1
Diện tích hình phẳng là:
1

S=
0

Câu 5.

1

 x3 x 2 
1
x − x dx =  ( x − x ) dx =  −  = .
2 0 6
 3
0
1

2

2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x 2 − 2 và y = 3x − 2 bằng
9
9
125
125
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
6
6
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường

x = 0
x 2 − 2 = 3x − 2  
x = 3
Diện tích hình phẳng
3

 3x 2 x3 
9
=  (3x − x )dx = 
−  = .
3 0 2
 2
0
3

2

Câu 6.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ; tiếp tuyến với đồ thị tại M ( 4;2 ) và
trục hoành là
3
2
8
1
A. .
B. .
C. .
D. .
8
3
3
3
Lời giải
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x tại điểm M ( 4;2 ) là:

y = y ( 4 ) . ( x − 4 ) + 2 =

1
x +1.
4

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
1
 4 x +1  0
 x  −4
1

x = x +1  
 x = 4.
2  
x
=
4
4
1



x =
 x + 1

4

x = 0  x = 0.

1
x + 1 = 0  x = −4 .
4

Do 0   −4; 4 nên ta có S =

0



−4

Câu 7.

4

1
x + 1 dx + 
4
0

x−

1
8
x − 1dx = .
4
3

1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1 và đường cong y = x + 1 bằng
3
1
9
14
1
A. .
B. .
C.
.
D. .
6
2
3
4
Lời giải

(

)

 x + 3 2 = 3 x +1 2
x = 3
1
(
)

Giải phương trình hoành độ giao điểm x + 1 = x + 1  
cận
3
x = 0
 x  −3
của tích phân là x = a = 0 và x = b = 3
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
3

S=
0

Câu 8.

1
1
1

x + 1 − x + 1 dx =   x + 1 − x + 1  dx = (đvdt).
3
3
6

0
3

Gọi S là số đo của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 x 2 + 3 x + 1 và parabol
 
y = x 2 − x − 2 . Khi đó sin   bằng
S
A. −

2
.
2

B.

2
.
2

C.

3
.
2

D. −

3
.
2

Lời giải

 x = −3
Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai parabol: 2 x 2 + 3x + 1 = x 2 − x − 2  
.
 x = −1
−1
4
Khi đó: S =  ( 2 x 2 + 3x + 1) − ( x 2 − x − 2 ) dx = .
−3
3
 
 
2
 
Suy ra: sin   = sin   =
.
4
S
  2
3
Câu 9.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 và đường thẳng y = 3 có diện tích bằng

A. 8 .

B. 10 .

C.

32
.
3

D.

28
.
3

Lời giải

 x − 4 x + 3, khi x  1  x  3
y = x2 − 4x + 3 = 
.
2
−
x
+
4
x
−
3,
khi
1

x

3

2

x = 0
Khi x  ( − ;1  3; +  ) , xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 4 x + 3 = 3  
.
x = 4
Khi x  (1;3) , xét phương trình hoành độ giao điểm: − x 2 + 4 x − 3 = 3 (Phương trình vô nghiệm).
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

(

)

(

)

(

)

S =  3 − ( x 2 − 4 x + 3) dx +  3 − ( − x 2 + 4 x − 3) dx +  3 − ( x 2 − 4 x + 3) dx = 8 .
1

0

3

1

4

3

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d , (a, b, c, d  ; a  0) có đồ thị (C ) . Biết rằng đồ thị
(C ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương và đồ thị của hàm số y = f  ( x ) cho bởi

hình vẽ dưới đây. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và trục hoành.

A. S =

21
.
4

B. S = 9 .

C. S =

15
.
4

D. S =

27
.
4

Lời giải
Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta có y = f  ( x ) = −3x 2 + 3 .
Do đó f ( x ) =  f  ( x )dx = − x3 + 3x + C .
Vì đồ thị (C ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên ta có phương trình
− x3 + 3x + C = 0 có nghiệm bội chẵn dương. Do đó − x3 + 3x + C = ( x − a ) ( b − x ) , a  0 .
2

 2a + b = 0
a = 1


 − x3 + 3x + C = − x 3 + ( 2a + b ) x 2 − ( a 2 + 2ab ) x + a 2b  a 2 + 2ab = −3  b = −2 .
 a 2b = C
C = −2


Do đó f ( x ) = − x3 + 3x − 2 .

x = 1
Ta có − x3 + 3x − 2 = 0  
.
 x = −2
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và trục hoành là
1

S=

 −x

−2

3

+ 3x − 2 dx =

27
.
4

Câu 11. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 , y = −3x + 10 , y = 1 trong
miền x  0 là
17
2
19
20
A. S = .
B. S = .
C. S = .
D. S =
.
6
3
6
3
Lời giải

Xét x 2 = 1  x = 1  x = 1 ( x  0 ) .

x = 2
 x = 2 ( x  0) .
Xét x 2 = −3x + 10  
 x = −5
Xét −3x + 10 = 1  x = 3 .
2

3

Vậy S =  ( x − 1) dx +  ( −3x + 10 − 1) dx =
2

1

2

17
.
6

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên

. Biết rằng đồ thị hàm số y = f  ( x ) như

hình vẽ dưới đây.

Lập hàm số g ( x ) = f ( x ) − x 2 − x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g ( −1)  g (1) .

B. g ( −1) = g (1) .

C. g (1) = g ( 2 ) .

D. g (1)  g ( 2 ) .

Lời giải
Xét hàm số h ( x ) = f  ( x ) − ( 2 x + 1) . Khi đó hàm số h ( x ) liên tục trên các đoạn  −1;1 , 1; 2 và
có g ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = h ( x ) .

 x = −1
x = 1

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
là
 y = f ( x)
 y = 2x +1

1

S1 = 

−1

1

f  ( x ) − ( 2 x + 1) dx =   f  ( x ) − ( 2 x + 1)  dx = g ( x ) −1 = g (1) − g ( −1) .
1

−1

Vì S1  0 nên g (1)  g ( −1) .
x = 1
x = 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
là
 y = f ( x)
 y = 2x +1

2

2

1

1

S2 =  f  ( x ) − ( 2 x + 1) dx =  ( 2 x + 1) − f  ( x )  dx = − g ( x ) 1 = g (1) − g ( 2 ) .
2

Vì S 2  0 nên g (1)  g ( 2 ) .
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên

và đồ thị hàm số y = f  ( x ) trên đoạn

 −2;6 như hình vẽ. Tìm khẳng định đúng.

A. max y = f ( −2 ) .
−2;6

B. max y = f ( 2 ) .
−2;6

C. max y = f ( 6 ) .
−2;6

Lời giải

D. max y = f ( −1) .
−2;6

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra max y = max  f ( −1) ; f ( 6 ) .
−2;6

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f  ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = −1
và x = 2 là
2

S1 = −  f  ( x ) dx = − f ( x ) −1 = f ( −1) − f ( 2 ) .
2

−1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f  ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 2
và x = 6 là
6

S2 =  f  ( x ) dx = f ( x ) 2 = f ( 6 ) − f ( 2 ) .
6

2

Từ hình vẽ suy ra S2  S1  f ( 6 ) − f ( 2 )  f ( −1) − f ( 2 )  f ( 6 )  f ( −1) .
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên

và đồ thị của f  ( x ) trên đoạn  −2;6 như

hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. f ( −2 )  f ( −1) .

B. f ( 2 )  f ( 6 ) .

C. f ( 0 )  f ( −1) .

D. f ( −2 )  f ( 2 ) .

Lời giải
Dựa vào đồ thị của hàm f  ( x ) trên đoạn  −2;6 ta suy ra bảng biến thiên của hàm số f ( x ) trên
đoạn  −2;6 như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( −2 )  f ( −1) ; f ( 2 )  f ( 6 ) nên loại phương án A, B
Trên khoảng ( −1;0 ) hàm số f ( x ) nghịch biến nên f ( −1)  f ( 0 ) nên loại phương án C

So sánh f ( −2 ) và f ( 2 ) :
Gọi S1 , S 2 là diện tích hình phẳng được tô đậm như trên hình vẽ.
Ta có:

S1 =

−1

−1

−2

−2

 f  ( x ) dx =  f  ( x ) dx = f ( −1) − f ( −2) .
2

2

−1

−1

S2 =  f  ( x ) dx = −  f  ( x ) dx = f ( −1) − f ( 2 ) .
Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S 2 nên f ( −1) − f ( −2 )  f ( −1) − f ( 2 )  f ( −2 )  f ( 2 ) .
Câu 15. Cho

hàm

y = f ( x)

số

2 f ( x) + f ( x) = e

−2 x

có

( 2 x + 1) , x 

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa

và f ( 0 ) = 1 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ( x ) và x = 1; x = 2 và trục hoành bằng

A.

5 −2
e − 5e −4 .
2

B.

5 −2
e + 5e −4 .
2

5
C. e−2 − 5e4 .
2
Lời giải

D.

5 2
e − 5e−4 .
2

Xét 2 f ( x ) + f  ( x ) = e−2 x ( 2 x + 1) , x 
 2e2 x f ( x ) + e2 x f  ( x ) = 2 x + 1  ( e 2 x f ( x ) ) = 2 x + 1
  e 2 x f ( x )  dx =  ( 2 x + 1) dx  e2 x f ( x ) = x 2 + x + C Vì f ( 0 ) = 1  1 = C

(

)

(

)

 e2 x f ( x ) = x 2 + x + 1  f ( x ) = e −2 x x 2 + x + 1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và x = 1; x = 2 và trục hoành bằng
2

S =  ( x + x + 1) e
2

1

2

−2 x

dx =  ( x 2 + x + 1) e −2 x dx .

Tính K =  ( 2 x + 1) e−2 x dx
1

2

1

mãn

du = 2dx
u = 2 x + 1


Đặt 
1 −2 x
−2 x
dv = e dx v = − e

2
Vậy
2

2

1
1
1
K =  ( 2 x + 1) e−2 x dx = − e−2 x ( 2 x + 1) 12 +  e−2 x dx = − e−2 x ( 2 x + 1) 12 − e−2 x 12 = −3 e−4 + 2e −2 .
2
2
2
1
1
2

Tính S =  ( x 2 + x + 1) e−2 x dx .
1

du = ( 2 x + 1) dx
u = x 2 + x + 1 

Đặt 
1 −2 x
−2 x
dv = e dx
v = − e

2
Vậy
2

1
1
7
3
1
5
S = − e−2 x ( x 2 + x + 1) 12 +  ( 2 x + 1) e −2 x dx = − e −4 + e −2 + ( −3e −4 + 2e −2 ) = e−2 − 5e−4 .
2
21
2
2
2
2
Câu 16. Cho

hàm

số

f  ( x ) + 2 x. f

đường y =
A.

y = f ( x)

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

\ 0

và

thỏa

mãn

( x ) = 0, f ( x )  0, x  \ 0 và f (1) = 1 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
f ( x ) , y = f  ( x ) và x = −1 bằng
2

1
.
8

B.

1
.
2

C. 1 .

D.

1
.
4

Lời giải
Xét f  ( x ) + 2 x. f 2 ( x ) = 0, f ( x )  0, x 

\ 0

 1 
1
 2
= −2 x  
=  2 xdx = x 2 + C
 = 2x 
f ( x)
f ( x)
 f ( x ) 
1
2
Với f (1) = 1  C = 0 nên f ( x ) = 2  f  ( x ) = − 3
x
x
1
2
Phương trình hoành độ giao điểm: f ( x ) = f  ( x )  2 = − 3  x = −2 .
x
x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = f  ( x ) và x = −1 bằng:
f ( x)

−1

S=



−2

−1

1 2
 1 2
1 1 
+ 3 dx = −   2 + 3  dx =  + 2 
2
x
x
x
x 
x x 
−2 

−1
−2

1
= .
4

Câu 17. Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm xác định trên ( 0;+ ) . Biết rằng f ( x)  0 với mọi
x  ( 0; + ) thỏa mãn f ( 0 ) = 2 , và 3 ( f ( x ) − xf  ( x ) ) = 2 f  ( x ) + f 2 ( x ) . Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng x − 6 y + 12 = 0 .
A.

275
− ln 6 .
12

B. ln 6 .

C.

35
− ln 6 .
12

D. 120 + ln 6 .

Lời giải
Do f ( x)  0 ta có

3 ( f ( x ) − xf  ( x ) ) = 2 f  ( x ) + f 2 ( x ) 

 3x + 2 
3 f ( x ) − ( 3x + 2 ) f  ( x )
=
1


 = 1
f 2 ( x)
f
x
(
)





3x + 2
= x+C
f ( x)

Vì f (0) = 2 nên


3.0 + 2
= 0+C  C =1
f ( 0)

3x + 2
3x + 2
= x +1  f ( x) =
f ( x)
x +1

Ta có

x = 0
3x + 2 1
1
5
= x + 2  x2 − x = 0  
.
x +1 6
6
6
x = 5

Diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng x − 6 y + 12 = 0 là
5

S=
0

3x + 2  1
35

−  x + 2  dx = − ln 6 .
x +1  6
12


Câu 18. Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm xác định trên ( 0;+ ) . Biết rằng f ( x)  0 với mọi
x  ( 0; + ) thỏa mãn f ( x) ( ln f ( x) − 3x 2 + 5 x − 1) + xf '( x) = 0 và f (2) = 1 . Tính diện tích giới

hạn bởi đồ thị hàm số y = ( 4 x − 5) f ( x) , trục hoành và đường thẳng x = 2 .
9

A. 1 − e16 .

B.

9
− 
1
16
1
−
e

.
2


C. 1 − e

−

9
16

9
−


D. 2 1 − e 16  .



.

Lời giải
Ta có f ( x) ( ln f ( x) − 3x 2 + 5 x − 1) + xf '( x) = 0  f ( x) ln f ( x) + xf '( x) = (3 x 2 − 5 x + 1) f ( x)
Do f ( x)  0 với mọi x  ( 0; + ) nên ta chia 2 vế phương trình đó cho f ( x) ta được
ln f ( x) + x.

f '( x)
= 3 x 2 − 5 x + 1  ( x ln f ( x) ) = 3 x 2 − 5 x + 1
f ( x)

5
 x ln f ( x) = x3 − x 2 + x + C (*)
2
5
Vì f (2) = 1 nên ta có 2ln f (2) = 23 − .22 + 2 + C  C = 0
2
 x ln f ( x) = x 3 −

5
x 2 − x +1
5 2
5
x + x  ln f ( x) = x 2 − x + 1  f ( x) = e 2
2
2

Ta có ( 4 x − 5 ) f ( x) = 0  ( 4 x − 5 ) e

5
x 2 − x +1
2

=0 x=

5
.
4

Diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ( 4 x − 5) f ( x) , trục hoành và đường thẳng x = 2 là
2

2

5
4

5
4

S =  ( 4 x − 5 ) f ( x ) dx =  ( 4 x − 5 ) e
Câu 19. Cho f ( x) là hàm số liên tục trên

9
− 

dx =2 1 − e 16  .



5
x 2 − x +1
2

thỏa mãn f ( x ) + f  ( x ) = x, x 

và f ( 0 ) = −1 . Tính

diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f ( x) và y = x − 1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. 1 .
2
6
3
2

Lời giải
Xét: f ( x ) + f  ( x ) = x

(1) .

Nhân 2 vế của (1) với e x ta được e x . f ( x ) + e x . f  ( x ) = x.e x .

Hay e x . f ( x )  = x.e x  e x . f ( x ) =  x.e x dx .
Xét I =  x.e xdx .

 u = x  du = dx
Đặt  x
.
x
e dx = dv  v = e

I =  x.e xdx = x.e x −  e xdx = x.e x − e x + C . Suy ra e x f ( x ) = x.e x − e x + C .
Theo giả thiết f (0) = −1 nên C = 0  f ( x ) = x − 1 .

x = 0
Xét phương trình: x 2 − 1 = x − 1  
x = 1
1

x

Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm:

2

0

1
− x dx = .
6

Câu 20. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1) = −2 và f ( x) = xf ( x) − 2 x 3 + 3x 2 với mọi x  0 . Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành.
189
27
A. 27 .
B.
.
C.
.
D. 189 .
4
4
Lời giải
f ( x) − xf ( x) = −2 x 3 + 3 x 2 

Do đó

1. f ( x) − x. f ( x) −2 x 3 + 3 x 2
 f ( x ) 
=

= 2x − 3
2
2
x
x
 x 

f ( x)
= x 2 − 3x + C (1) , với C 
x

Vì f (1) = −2 theo giả thiết, nên thay x = 1 vào hai vế của (1) ta thu được C = 0 , từ đó
f ( x) = x3 − 3x 2 .
3

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

x

3

− 3x 2 dx =

0

27
.
4

BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

C

A

B

D

A

C

A

B

A

D

A

D

C

D

A

D

C

D

B

C

CHUYÊN ĐỀ 37: NGHIỆM PHỨC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 45. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m2 = 0 ( m là số thực). Có bao nhiêu giá
trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 2?
A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Ta có:  = 2m + 2
TH1:   0  m  −1.
Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: z1 = z2 =

c
= m2 .
a

m = 1
Suy ra: 2 m2 = 2  
.
 m = −1 (l )
TH2:   0  m  −1.
Vì a.c = m 2  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt z1.z2  0 hoặc z1.z2  0.

 m = −2 (l )
Suy ra: z1 + z2 = 2  z1 + z2 = 2  2m + 2 = 2  
.
m = 0
Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Giải phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc 2 dạng Az 2 + Bz + C = 0 (1) , trong đó A, B, C là những số thực, A  0
Xét biệt thức  = B 2 − 4 AC
Nếu   0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt z1 =
Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm thực kép z1 = z2 =
Nếu   0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phức z1 =

z2 =

−B − 
2A

−B
2A

−B + i 
2A

−B + 
;
2A

;

z2 =

−B − i 
2A

Hệ thức Vi-ét
−B

 S = z1 + z2 = A
Ta có 
P = z z = C
1 2

A

CÂU PHÁT TRIỂN TỪ KHO SMARTEST PRO – 100 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TN THPT
Câu 1.
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 4 z + 8 = 0 . Khi đó biểu thức
K = z1 + z2 − z1z2 bằng

A. −4 2 .

B. −8 + 4 2 .

C. 8 + 4 2 .
Lời giải

 z = 2 + 2i
Ta có z 2 − 4 z + 8 = 0  
.
 z = 2 − 2i
Do đó K = z1 + z2 − z1 z2 = 2 + 2i + 2 − 2i − 8 = 4 2 − 8 .

D. 4 2 .

Câu 2.

Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 3z + 10 = 0 . Tính S = ( z1 + z2 ) − z1 z2
2

A. −1 .

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

D. 7 .

Ta có z1 + z2 = 3, z1 z2 = 10 , khi đó S = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = 32 − 10 = −1 .
2

Câu 3.

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + z + 2 = 0 . Khi đó z1 + z2 bằng
A. 4 .

B. 2 2 .

C. 2 .
Lời giải

D.

2.

Phương trình z 2 + z + 2 = 0 , có  = 1 − 4.1.2 = −7  0 .
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức z1,2 =
Do đó z1 + z2 =

−1  i 7
.
2

−1 + i 7 −1 − i 7
+
= 2+ 2 =2 2.
2
2

Vậy z1 + z2 = 2 2 .
Câu 4.

Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2 + 2 z + 5 = 0 . Giá trị của z12 + z22 bằng
A. 10 .

B. 12 .

C. 2 34 .
Lời giải

D. 4 5 .

 z = −1 + 2i
z2 + 2z + 5 = 0   1
.
 z2 = −1 − 2i

z12 + z22 = z1 + z2 = ( −1) + 22 + ( −1) + ( −2 ) = 10 .
2

Câu 5.

2

2

2

2

Biết số phức z là nghiệm của phương trình z 2 − 4 z + 13 = 0 và m là số thực dương thỏa mãn
z + m = 5 . Xác định m
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. −6 .
Lời giải
Giải phương trình z 2 − 4 z + 13 = 0 .
Ta có  = 16 − 4.13 = −36  0 .
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức z = 2  3i .
Với z = 2  3i ta có z + m = 5  2 + m  3i = 5 

( 2 + m)

2

m = 2
2
+ 9 = 5  ( 2 + m ) = 16  
 m = −6

Vì m là số thực dương nên chọn m = 2 .
Câu 6.

Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 + z + 1 = 0 , đặt w = z12011 + z22011 . Khi đó
A. w = 22021 .

B. w = −1.

C. w = 22021 i .
Lời giải

D. w = 1 .

 z1 + z2 = −1
Có z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 + z + 1 = 0  
 z1.z2 = 1


1
 z1 = − +
2
Phương trình z 2 + z + 1 = 0  

1
 z2 = − −

2
3

3
i
2
3
i
2

3

 1
 1
3 
3 
Ta có  − +
i  = 1;  − −
i  = 1 .
 2 2 
 2 2 

z 2013 z 2013 ( z1 )
= 1 2 + 22 =
z1
z2
z12

3 671

w= z

2011
1

+z

2011
2

(z )
+

3 671
2

z22

1 1 ( z + z ) − 2 z1.z2
= 2+ 2 = 1 2
2
z1 z2
( z1.z2 )
2

'

( −1) − 2.1 = −1 .
2
(1)
2

=

Câu 7.

Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2 − 3z + 4 = 0. Xét  =
phức  dưới dạng  = x + yi ( x, y  ) .
3
3
A.  = + 2i
B.  = − + 2i
2
4

3
C.  = 2 + i
2
Lời giải

1 1
+ + iz1 z2 , viết số
z1 z2

D.  =

3
+ 2i
4

3
Theo viet, ta có z1 + z2 = ; z1z2 = 2 .
2
3
2
+ i.4 3
z1 + z2 + i ( z1z2 )
1 1
=2
= + 2i .
Khi đó, w = + + iz1 z2 =
z1 z2
z1 z2
2
4

Câu 8.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình z 2 + m = 0 có hai nghiệm là hai số
phức phân biệt.
A. m  0 .
B. m  0 .
C. m  0 .
D. m  0 .
Lời giải
Ta có: z 2 + m = 0  z 2 = −m (1) .
Phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt khi m  0 .

Câu 9.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình z 2 − 2 z + 1 − m2 = 0 có
nghiệm phức z thỏa mãn z = 2 ?
A. 4.

B. 1.

C. 2.
D. 3.
Lời giải
 z −1 = m
z = 1+ m
2

Ta có z 2 − 2 z + 1 − m2 = 0  ( z − 1) = m2  
.
 z − 1 = −m
 z = 1− m
 m = 1 (TM )
1 + m = 2

Với z = 1 + m , vì z = 2 nên 1 + m = 2  
.
1 + m = −2
 m = −3 ( l )
 m = −1 ( l )
1 − m = 2

Với z = 1 − m , vì z = 2 nên 1 − m = 2  
.
1 − m = −2
 m = 3 (TM )

Vậy ta có m = 1 và m = 3 thỏa mãn bài toán.

Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình z 2 + 2mz + 3m + 4 = 0 có hai nghiệm không là số
thực?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Ta có: z 2 + 2mz + 3m + 4 = 0 (1)
 = m2 − 3m − 4

Phương trình (1) có 2 nghiệm không phải là số thực khi và chỉ khi
  0  m2 − 3m − 4  0  −1  m  4.

Kết hợp với m nguyên ta nhận m  0;1; 2;3 .
Câu 11. Biết số phức z là nghiệm của phương trình z 2 − 4 z + 13 = 0 và m là số thực dương thỏa mãn
z + m = 5 . Xác định m
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. −6 .
Lời giải
Giải phương trình z 2 − 4 z + 13 = 0 .
Ta có  = 16 − 4.13 = −36  0 .
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức z = 2  3i .
Với z = 2  3i ta có z + m = 5  2 + m  3i = 5 

( 2 + m)

2

m = 2
2
+ 9 = 5  ( 2 + m ) = 16  
 m = −6

Vì m là số thực dương nên chọn m = 2 .
Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z 2 − 2mz + 6m − 5 = 0 có hai nghiệm
phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 ?
A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .
Lời giải

D. 3 .

Trường hợp 1: Phương trình có 2 nghiệm phức (không thực) liên hợp z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2
Khi đó  '  0  m2 − 6m + 5  0  1  m  5 .
Trường hợp 2: Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 .

 m 2 − 6m + 5  0
   0

 m =0.
Khi đó cần có 
 z1 + z2 = 0 m = 0
 Vì m nguyên nên m 0;2;3;4 . Vậy có 4 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 13. Trên tập hợp số phức, biết phương trình z 2 + mz + m2 − 2 = 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm
phức z1 , z2 . Gọi A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 và z0 = i . Có bao nhiêu
giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải

(

)

Ta có:  = m 2 − 4 m 2 − 2 = −3m 2 + 8

TH1:   0  −3m 2 + 8  0 

−2 6
2 6
. Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực
m
3
3

phân biệt là z1 , z2 .
Vì A, B  Ox nên AB = z1 − z2 =

( z1 − z2 )

2

=

( z1 + z2 )

2

− 4 z1 z2 = −3m 2 + 8 .

Mặt khác, ta có C ( 0;1)  d ( C; AB ) = 1 .

 SABC =

1
−3m2 + 8
2 3
AB.d ( C; AB ) =
=1 m = 
( Thỏa mãn đk).
2
2
3


2 6
 m
3
TH2:   0  −3m 2 + 8  0  
.

−2 6
m 
3


Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là z1,2 =
Ta có: AB = z1 − z2 = i  =

2

.

−3m 2 + 8 = 3m 2 − 8 và C ( 0;1) .

Phương trình đường thẳng AB là x +

Do đó, SABC =

−m  i 

1
AB.d ( C ; AB ) =
2

m
m
.
= 0 nên d ( C ; AB ) =
2
2

m 3m2 − 8
4

 m2 = 4
=1  2
 m = 2 ( Thỏa mãn đk).
 m = − 4 (VN)

3

Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài.

c
c
tối giản) có hai nghiệm
= 0 ( với phân số
d
d
phức. Gọi A , B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác
OAB đều (với O là gốc tọa độ), tính P = c + 2d .
A. 18 .
B. 22 .
C. −10 .
D. −14 .

Câu 14. Trên tập hợp số phức, cho phương trình x 2 − 4 x +

Lời giải

c
= 0 có hai nghiệm thực thì ba điểm A, B, O cùng nằm trên một
d
đường thẳng (không thỏa mãn).
Nếu phương trình x 2 − 4 x +

Vậy x 2 − 4 x +

c
c
= 0 có hai nghiệm phức có phần ảo khác 0   = 4 −  0 .
d
d

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức x1 = 2 +

 i ; x2 = 2 −

 i .

Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của x1 ; x2 trên mặt phẳng Oxy , ta có:

(

) (

A 2;  ; B 2; −

)

 .

Ta có: AB = 2  ; OA = OB = 4 +  .
Tam giác OAB đều khi và chỉ khi AB = OA = OB  2  = 4 +   4  = 4 + 

  =

4
4
c
4
c 16
. Vì   0 nên  = − hay 4 − = −  = .
3
3
d
3
d 3

Từ đó ta có c = 16 ; d = 3 .
Vậy: P = c + 2d = 22 .
Câu 15. Cho phương trình 8 z 2 − 4 ( a + 1) z + 4a + 1 = 0 với a là tham số. Tìm số giá trị của a 
phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn
dương.
A. 0 .

B. 2 .

để

z1
là số ảo, trong đó z2 là số phức có phần ảo
z2
C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Từ giả thiết suy ra z1 , z2 không phải là số thực. Khi đó
  0  4 ( a + 1) − 8 ( 4a + 1)  0  4 ( a 2 − 6a − 1)  0
2

Suy ra z1 =

a + 1 − − ( a 2 − 6a − 1) i 2
4

; z2 =

(*)

a + 1 + − ( a 2 − 6a − 1) i 2
4

= z1

z1
a = 0
2
là số ảo  z12 là số ảo  ( a + 1) −  − ( a 2 − 6a − 1) = 0  a 2 − 2a = 0  
(thoả mãn
z2
a = 2
điều kiện (*) )
Câu 16. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2mz + 2m2 − 2m = 0 , với m là tham số thực. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m  ( −10;10 ) để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn

z1 − 2 = z2 − 2 .
A. 17 .

B. 16 .

C. 15 .

D. 14 .

Lời giải
Đặt w = z − 2 , ta được phương trình: ( w + 2 ) − 2m ( w + 2 ) + 2m 2 − 2m = 0
2

 w2 − ( 2m − 4 ) w + 2m2 − 6m + 4 = 0

(1) .

Khi đó bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt w1 , w2 thỏa mãn

w1 = w2 .
Xét phương trình (1) có  = ( m − 2 ) − 2m 2 + 6m − 4 = −m 2 + 2m .
2

Trường hợp 1:   0  m  ( 0;2 ) . Mà m

nên m = 1 . Thay vào phương trình ta được:

w = 0
w2 + 2 w = 0  
. Không thỏa mãn yêu cầu đề bà.
 w = −2

Trường hợp 2:   0  m  ( −;0 )  ( 2; + ) . Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phức
phân biệt không phải số thực, hai nghiệm này là hai số phức liên hợp nên mô-đun của chúng luôn
bằng nhau.
Kết hợp với điều kiện m là số nguyên và m  ( −10;10 ) .
Suy ra m −9; −8;....; −1  3; 4;...;9 .Vậy có 16 giá trị của m thoả mãn.
Câu 17. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − ( m − 1) z + m2 + 2m = 0 ( m là tham số thực). Tìm
tổng các giá trị của m sao cho phương trình đó có 2 nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn

z1 + z2 = z1 − z2 .
A. −2 .

B. −8 .

C. 4 .

D. −3 .

Lời giải
Ta có  = −3m2 − 10m + 1 .
TH1:   0 , phương trình đã cho có 2 nghiệm thực z1 , z2 , khi đó

m = 0
(thỏa mãn điều kiện   0 ).
z1 + z2 = z1 − z2  z1.z2 = 0  m 2 + 2m = 0  
 m = −2
TH2:   0 , phương trình có 2 nghiệm phức z1,2 =

m − 1  i −
, khi đó
2

z1 + z2 = z1 − z2  m − 1 = i −  ( m − 1) = −  m2 + 6m − 1 = 0 (*) .
2

Phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt (thỏa mãn điều kiện   0 ) và tổng hai nghiệm
này bằng −6 .
Vậy tổng các giá trị của m sao cho phương trình z 2 − ( m − 1) z + m2 + 2m = 0 có 2 nghiệm phức
z1 , z2 , thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 bằng −8 .

Câu 18. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 2 ) z + m2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao

1
1
+
= 1?
z1 z2
D. 4 .

nhiêu giá trị của m để phương trình đó có 2 nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn
A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

Ta có  = 4m + 4 .
TH1:   0  m  −1 , phương trình đã cho có 2 nghiệm thực z1 , z2 , khi đó

( z + z ) − 2 z1.z2 + 2 = 1
1
1
+
=1 1 2
2
z1 z2
z1.z2
( z1.z2 )
2

4 ( m + 2 ) − 2m 2
2



(m )

2 2

+

2
=1
m2

 4 ( m + 2 ) = m4  m = 1  5 .
2

Kết hợp với điều kiện, m = 1 + 5 thỏa mãn.
TH2:   0  m  −1 , phương trình có 2 nghiệm phức z1,2 = m + 2  i − thỏa mãn z1 = z2
, khi đó

1
1
+
= 1  z1 = z2 = 2 
z1 z2

( m + 2 ) + ( −) = 2  m2 = 4  m = 2 .
2

Kết hợp với điều kiện, m = −2 thỏa mãn.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 19. Cho m là số thực, biết phương trình z 2 + mz + 5 = 0 có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm
có phần ảo là 1 . Tính tổng môđun của hai nghiệm.
A. 3 .
B. 5 .
C. 2 5 .
D. 4 .
Lời giải
Ta có  = m2 − 20
Phương trình có hai nghiệm phức thì   0  −2 5  m  2 5 .

m
20 − m2
m
20 − m2
i và z2 = − −
i
Khi đó phương trình có hai nghiệm là: z1 = − +
2
2
2
2
Theo đề ra ta có:

20 − m2
= 1  m = 4 .
2

 z1 = −2 + i
 z1 = 2 + i
Khi đó phương trình trở thành z 2  4 z + 5 = 0  
hoặc 
 z2 = −2 − i
 z2 = 2 − i
z1 = z2 = 5 .
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 z 2 + 4(m − 1) z + m 2 − 3m = 0 có
hai nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 2
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Ta có  = 4m + 4 .
TH1:  = 4m + 4  0  m  −1 .
Phương trình: 4 z 2 + 4(m − 1) z + m 2 − 3m = 0 có hai nghiệm phức z1 , z2 nên z2 = z1

 z2 = z1 = z1 .
m 2 − 3m
m 2 − 3m
m 2 − 3m
 z1 z2 =
 z1 . z2 =
Theo vi et ta có z1 z2 =
.
4
4
4

Theo bài ra ta có: z1 + z2 = 2  z1 + z1 = 2  z1 = 1  z1 = z2 = 1

 m = −1
 m2 − 3m = 4  
không thoả mãn điều kiện.
m=4
TH2:  = 4m + 4  0  m  −1 .

Phương trình:
z2 =

4 z 2 + 4(m − 1) z + m 2 − 3m = 0

có hai nghiệm thực

z1 =

m −1+ m +1
,
2

m −1− m +1
.
2

 z1 z2 = m 2 − 3m
Theo vi et ta có 
.
 z1 + z2 = m − 1
Theo bài ra ta có:
z1 + z2 = 2  ( z1 + z2 ) = 4 .
2

 ( z1 + z2 ) − 2 z1.z2 + 2 z1.z2 = 4
2

 ( m − 1) − 2 ( m 2 − 3m ) + 2 m 2 − 3m = 4
2

 −m 2 + 4m − 3 + 2 m 2 − 3m = 0 (*)

 −1  m  0
+ Nếu 
thì phương trình (*) trở thành:
m  3
 m = −1
(thoả mãn điều kiện)
−m 2 + 4m − 3 + 2 ( m 2 − 3m ) = 0  m2 − 2m − 3 = 0  
m = 3
+ Nếu 0  m  3 thì phương trình (*) trở thành:
1

m=

−m + 4m − 3 + 2 ( −m + 3m ) = 0  −3m + 10m − 3 = 0 
3 kết hợp với điều kiện suy ra

m = 3
1
m= .
3
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán
2

1
B

2
A

3
B

2

2

4
A

5
B

6
B

7
B

8
A

BẢNG ĐÁP ÁN
9 10 11 12
C B B A

13
C

14
B

15
B

16
B

17
B

18
A

19
C

20
C

CHUYÊN ĐỀ 38: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

x − 2 y −1 z −1
=
=
. Gọi ( P ) là
2
2
−3
mặt phẳng đi qua A và chứa d . Khoảng cách từ điểm M ( 5; −1;3) đến ( P ) bằng

Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0;1; 2 ) và đường thẳng d :

A. 5 .

B.

1
.
3

C. 1 .

D.

11
.
3

Lời giải
Lấy B ( 2;1;1)  d ta có AB = ( 2;0; −1) .
Ta có  AB, ud  = ( 2; 4; 4 ) = 2 (1; 2; 2 )
Mặt phẳng ( P ) đi qua A và chứa d suy ra nP = (1; 2; 2 ) .
Phương trình mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0
Vậy d ( M , ( P ) ) =

xM + 2 yM + 2 zM − 6

= 1.
12 + 22 + 22
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
Khi đó d ( M 0 , ( ) ) =

| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
A2 + B 2 + C 2

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a và M ( x; y ; z ) .
Khi đó d ( M ,  ) =

 a , M 0 M 


a

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng (  ) và mặt phẳng ( P) : ax + by + cz + d = 0 song song.
Khi đó d ( M , ( P ) ) =

axM + byM + czM + d
a 2 + b2 + c2

với M ( xM ; yM ; zM )  (  )

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng song song ( P ) : ax + by + cz + d = 0 và ( Q ) : ax + by + cz + d  = 0 .
Khi đó d ( ( Q ) , ( P ) ) =

d − d
a 2 + b2 + c2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng song song  và d qua điểm M 0 có véctơ chỉ phương u d .

Khi đó d ( M , d ) =

 M M , ud 


với M ( xM ; yM ; zM )  (  )
ud

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho 2 đường thẳng chéo nhau đường chéo 1 ,  2 .
Khi đó d ( 1 ,  2 ) =

AB. u1 , u2 
u1 , u2 



với ( A  1 , B   2 )

CÂU PHÁT TRIỂN TỪ KHO SMARTEST PRO – 100 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TN THPT
Câu 1. Trong không g...