TÍNH ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ
PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1:

Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Câu 2:

Cho hàm số

có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến

trên khoảng nào dưới đây?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Câu 3:

Cho hàm số

và

.
có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của

hàm số đã cho là

A.

.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn A
Câu 4:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số
A.

.

là:

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Do đó hàm số đạt cực đại tại
Câu 5:

Cho hàm số

. Vậy chọn đáp án

có đạp hàm

,

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

.
Lời giải

Chọn D
Ta có
Câu 6:

Hàm số đồng biến trên khoảng

Cho hàm số

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Khoảng nghịch biến của hàm số
A.

.

.

B.

là
.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 7:

Cho hàm số

Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A.
.
B.
.
Chọn A

.
có đồ thị là đường cong trong hình bên.

C.
Lời giải

.

D.

.

Dựa vào đồ thị ta thấy điểm cực đại của hàm số là
Câu 8:

Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

Giá trị cực tiểu của hàm số
A.

.

.

và dấu của đạo hàm cho bởi bảng sau:

bằng?

B.

.

C.

.

D. Không tồn tại.

Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 9:

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm

, giá trị cực tiểu bằng

, do đó

.

Biết rằng bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của một hàm số trong các hàm số được liệt kê
ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
x
y'
y

–∞

2

+∞

–

–

1

+∞
–∞

A.

.

B.

1

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Hàm số

có

và có

(thoả bảng biến thiên).

Các hàm số còn lại đều không thoả.
Câu 10: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
biến trên khoảng
A.

.

để hàm số

đồng

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có:

.

Hàm số đồng biến trên khoảng

khi và chỉ khi
.

.

Câu 11: Hàm số
quả nào sau đây đúng
A.
.

có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là M, m. Khi đó kết
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Ta có

.
.

Vậy
Câu 12: Cho hàm số

.
có đạo hàm

trên

có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
B.

C. 2.

Hỏi hàm số
D. 1

Lời giải
Chọn C
Xét

.

Trong các nghiệm trên thì
Do đó hàm số

có

là nghiệm đơn;

là nghiệm kép.

điểm cực trị.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở
mỗi câu, thí sinh chỉ chọn đúng hoặc sai.
Câu 1:

Cho hàm số bậc ba

có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây.

a) Hàm số nghịch biến trên các khoảng
b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là

và

.

.

c) Gọi a và b lần lượt là hoành độ của điểm cực tiểu và điểm cực đại của hàm số ta có
.

d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

.

Lời giải
a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

a) Hàm số nghịch biến trên các khoảng

và

. Sai

Vì hàm số đồng biến trên các khoảng khoảng
b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là
c) Gọi

và

d) Đúng

và

.

. Đúng

lần lượt là hoành độ của điểm cực tiểu và điểm cực đại của hàm số ta có
. Đúng

Vì hàm số của điểm cực tiểu là

và điểm cực đại là

nên

.

d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

.

Đúng
Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
điểm
Câu 2:

. Phương trình đường thẳng đi qua hai

là:

Cho hàm số

.
liên tục trên

và có đạo hàm

a) Hàm số đạt cực trị tại

.

b) Hàm số

nghịch biến trên

c) Hàm số

đồng biến trên

d) Hàm số

.

.
.

nghịch biến trên

.

Lời giải
a) Sai
b) Đúng
a) Hàm số đạt cực trị tại

Vì

c) Sai
. Sai

.

Tuy nhiên

là nghiệm bậc chẵn của

b) Hàm số

nghịch biến trên

nên
. Đúng

Cho
Suy ra hàm số

d) Đúng

nghịch biến trên

.

không là điểm cực trị.

c) Hàm số

đồng biến trên

. Sai

Cho
Ta lập được bảng biến thiên

Theo bảng biến thiên thì
biến trên

nhưng

nên hàm số

không thể đồng

.

d) Hàm số

nghịch biến trên

Do

. Đúng

nên ta có
.

Điều kiện hàm

nghịch biến là

Hàm số chỉ nghịch biến trên
Câu 3:

Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

a) Giá trị cực đại của hàm số
b) Hàm số

.

bằng

đồng biến trên khoảng

c)
d) Đồ thị hàm số
a) Đúng

có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác có diện tích bằng
Lời giải
b) Sai

a) Giá trị cực đại của hàm số bằng
b) Hàm số đồng biến trên các khoảng

c) Đúng

d) Đúng

Đúng
và

Đúng

c)

Đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng

d) Đồ thị hàm số

nên

có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác có diện tích bằng

Đúng

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
Tam giác
Ta có
Câu 4:

Cho hàm số

cân ở

. Gọi
Diện tích

là trung điểm đoạn
là

có bảng biến thiên như sau

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng
b) Hàm số đồng biến trên khoảng

và

.

.

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với hoành độ không âm là
d) Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích bằng

.

Lời giải
a) Sai

b) Đúng

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng
Vì hàm số đồng biến trên các khoảng
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
Vì hàm số đồng biến trên các khoảng

c) Đúng

và
và
Đúng.
và

Sai.
.

d) Đúng

.

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với hoành độ không âm là
Đúng
Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ không âm là

và

nên đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với hoành độ không âm là

.

d) Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích bằng
Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ không âm là
nên diện tích tam giác

,

là

Đúng
và

.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1:

Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động
thời gian tính bằng giây,
Trả lời:

, trong đó

,

tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại thời điểm
Lời giải

là

.

.

Ta có
Vận tốc của vật tại thời điểm
Câu 2:

là

Sau khi phát hiện bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất
hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ

là

. Nếu xem

là tốc độ truyền

bệnh (người/ ngày) tại thời điểm . Hỏi đến ngày thứ mấy thì tốc độ truyền bệnh là 675 (người/
ngày).
Lời giải
Trả lời: 15
Ta

có

.

Vì

tốc

độ

truyền

bệnh

là

675

(người/

ngày)

nên

.
Câu 3:

Một chuyển động theo quy luật là
với giây là khoảng thời gian tính từ
khi vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời
gian đó. Tính quãng đường vật đi được bắt đầu từ lúc vật chuyển động tới thời điểm vật đạt
được vận tốc lớn nhất.
Lời giải
Trả lời:
.
Ta có:

.
.
.

Vậy vận tốc đạt được giá trị lớn nhất tại thời điểm
là:
Câu 4:

. Khi đó quãng đường vật đi được

.

Cho các số thực dương

thỏa mãn bất phương trình

. Hỏi giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số phần tram)
Lời giải

Trả lời: 1,91.
Theo bất đẳng thức cô-si:
,
Theo đề ra, ta có:
Từ

và

,

.

.

suy ra,

.

Xét hàm số:

.

BBT

Từ bảng biến thiên, dễ dàng nhận thấy giá trị nhỏ nhất của

là

.
Câu 5:

Một màn ảnh chữ nhật cao
m được đặt ở độ cao
m so với tầm mắt (tính từ đầu mép
dưới của màn hình như hình vẽ). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng
sao cho góc nhìn
lớn nhất. Hãy xác định độ dài

để nhìn rõ nhất (

gọi là góc nhìn).

Lời giải
Trả lời:
Với bài toán này ta cần xác định
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
Đặt

(m) với

để góc

lớn nhất.

lớn nhất.

, ta có

Xét hàm số
Bài toán trở thành tìm

để

đạt giá trị lớn nhất. Ta có

,
Ta có bảng biến thiên

Vậy
Câu 6:

Một doanh nghiệp sản xuất hàng hóa. Biết tổng chi phí sản xuất

đơn vị sản phẩm là:

(nghìn đồng). Tổng số tiền thu được khi bán

đơn vị sản

phẩm đó là:

(nghìn đồng). Tìm doanh thu tối ưu của doanh nghiệp đó.

(đơn vị doanh thu tối ưu tính bằng triệu đồng).
Lời giải
Trả lời:
Điều kiện:

.

Doanh nhiệp thu được lợi nhuận là:

Ta có:

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có nhận xét sau:
Khi

thì

nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận tăng.

Khi

thì

nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận giảm.

Vậy mức sản lượng tối ưu là
Doanh thu lúc đó là:

.
nghìn đồng hay

-----HẾT-----

triệu đồng.