Chuyên đề 8.ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ-ĐƯỜNG THẲNG SIMSON
CHỦ ĐỀ 1.ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ
Kiến thức cần nhớ


Ptôlêmê là nhà khoa học cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ 2. Từ năm 127 đến năm 151 sau công nguyên, ông sống tại Alechxanđri (Ai Cập), nghiên cứu toán học, thiên văn học và địa lý. Ông là tác giả của thuyết hệ vũ trụ địa tâm; là mô hình cấu trúc vũ trụ đầu tiên, khẳng định một cách sai lầm rằng, các thiên thể chuyển động trên những vòng tròn có tâm là tâm trái đất nằm yên, là cơ sở cho thiên văn học trong một thòi gian dài cho đến thế kỷ 17, trước khi thuyết hệ nhật tâm của Kôpecnich ra đời.
Công trình toán học của ông khá phong phú, sau đây là một định lý mang tên ông.
Định lý. Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối diện.
Giải
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Ta cần chứng minh:

Giả sử

Lấy điểm M trên đoạn
sao cho

Suy ra
Suy ra




Suy ra



Do đó


Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn
đường kính AB có C là điểm chính giữa. Gọi M là điểm bất kì thuộc cung BC. Chứng minh rằng:

Giải


Tìm cách giải. Với
ta suy ra
và biểu diễn được qua bán kính R. Vì M là điểm bất kì thuộc cung BC, kết luận liên quan tới MA, MB, MC nên ta liên tưởng tới định lý Ptôlêmê.
Trình bày lời giải
Ta có
nên
vuông cân tại C


Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABMC ta được:


Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp và
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

Giải
Tìm cách giải.
(vì đã có

Do vậy cần chứng tỏ cặp cạnh kề góc ấy tỉ lệ tức là

Dựa vào giả thiết, tất yếu ta nghĩ tới vận dụng định lý Ptôlêmê.
Trình bày lời giải
Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABCD ta được:


Mà
nên:

 
Mặt khác
suy ra: (c.g.c)
Vậy

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn sao cho
đạt giá trị lớn nhất.
Giải


Tìm cách giải. Nếu có điểm E trên cung nhỏ BC thì ta có:
Do vậy để xuất hiện
thì ta cần xác định điểm E sao cho
tức là
Với tỉ lệ như vậy chúng ta lại nghĩ tới đường phân giác góc BEC. Do vậy bản chất của bài là dựng được điểm E.
Trình bày lời giải
Gọi I là điểm thuộc cạnh BC sao cho

Gọi D là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn (O).
Gọi E là giao điểm thứ hai của DI với (O).
Khi đó EI là phân giác của góc

Suy ra


Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ABEC, ta có:

Suy ra:



Do đó
đạt giá trị lớn nhất khi AE lớn nhất
là đường kính của (O).
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có
Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, C cắt nhau ở P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của cung BAC.
Giải
Tìm cách giải. Để chứng minh
ta cần chứng minh
Như vậy dựa vào kết luận và giả thiết đều liên quan tới cạnh và tứ giác ABCD nên ta nghĩ tới việc vận dụng định lý Ptoleme. Tuy nhiên trong bài, tứ giác này có hai tiếp tuyến ở hai đỉnh đối diện (A và C) và đường chéo đồng quy thì luôn có
(bạn nên nhớ tính chất này để sử dụng).
Trình bày lời giải




Ta có:
nên

và nên
.
Mặt khác
nên

Suy ra
(1)
Áp dụng định lý Ptôlêmê ta có:

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

Mặt khác:
nên

Vậy D là điềm chính giữa của cung BAC.
Bài tập vận dụng
1. Chứng minh rằng nếu điểm P nằm trên cung nhỏ
của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD thì


2. Cho một tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d và các đường chéo bằng p, q