SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi : Toán lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/10/2011
(Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu)



Câu 1(4 điểm)
Giải phương trình


Câu 2(4 điểm)
Tìm m để hàm số
có cực đại, cực tiểu. Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y = 2x + 3 góc 450 .

Câu 3(4 điểm)
Cho dãy số (xn) thỏa mãn
(
)
Đặt
. Tính Limun .

Câu 4(4 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

Câu 5(4 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A`B`C` có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC =
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A` trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.
a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A`BC) theo a.
b. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA` và B`C`.
-----------------------------Hết-----------------------------

Đáp án Đề HSG Lạng Sơn 2011 lớp 12
Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình:
.do nên 1+6x > . Đặt u = 1+6x, v =
, khi đó phương trình cho trở thành
hay u – 2v = ± 3.
*) u – 2v = 3 ta được


*) u – 2v = -3 ta được


Phương trình có 2 nghiệm x = 1,

Câu 2(4điểm) Tìm m để hàm số
có cực đại , cực tiểu. Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y= 2x + 3 một góc 450.
Giải . Tập xác định của hàm số: D = R
y’ = 3x2 +6x- (m+1) để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay
.
Ta có

Do các hoành độ của các cực trị là nghiệm của y’ = 0 lên các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn đường thẳng

Đường thẳng qua 2 cực trị tạo với đường thẳng y = 2x + 3 một góc 450 thì ta có



Câu 3 (4 điểm)
Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

Đặt

Xét hàm số
đồng biến trên (7/2 ; +∞) nên x1 = 8 > 7/2 nên x2 >x1 tương tự ta có xn+1>xn mọi
ta chứng minh (xn ) là dãy không bị chặn trên. Thật vậy nếu dãy (xn ) bị chặn trên thì nó hội tụ về x > 8 hay phương trình
có nghiệm x = 5 > 8 (mâu thuẫn).
Ta có




Cho k chạy từ 1 đến n ta có
vậy Limun =1/3
Câu 4 (4điểm) Đặt


x, y, z > 0 khi đó

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopki cho 2 dãy số dương

Ta được



Vậy GTLN của P là3/4 khi x= y = z hay a = b = c
Câu 5 (4điểm)
/


Goi I là trung điểm của AB Khi đó A’I là đường cao của hình lăng trụ (giả thiết)
Ta có A’I =

diện tích của tam giác ABC là

Ta có tam giác A’AC vuông tại A vì



gọi E là trung điểm của A’C thì BE là đường cao của tam giác A’BC
(vì A’B = BC = 2a) .


Diên tích tam giác A’BC

Goi V là thể tích của khối chóp A’.ABC thì

Góc giữa AA’ và B’C’ cũng là góc giữa AA’ và BC gọi là α ta có

Trên đây là lời giải vắn tắt có gì sai sót mong các thầy cô góp ý. Cảm ơn thầy Hoàng Văn Thi đã đưa đề lên .