SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút


Câu 1(4 điểm). Cho hàm số
(m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng
.
Câu 2(4 điểm).
1)Giải phương trình

2)Giải phương trình

Câu 3(4 điểm).
1)Giải hệ phương trình

2)Cho dãy số
xác định như sau
(1). Chứng minh dãy số
có giới hạn hữu hạn khi

Câu 4(2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , có đỉnh
và các điểm B, C thuộc đường thẳng
. Xác định tọa độ điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Câu 5(3 điểm).
1) Chứng minh rằng

2) Cho tập A
. Lập ngẫu nhiên một số có 3 chữ số khác nhau với các chữ số chọn từ tập A. Tính xác suất để số lập được chia hết cho 6.
Câu 6(3 điểm).
Cho hình chóp đáy
là hình chữ nhật có
là hình chiếu vuông góc của
xuống
a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của
và
.
b/ Gọi
lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng
và
. Chứng minh: Các đường thẳng
và
vuông góc nhau
………Hết………
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không được sử dụng tài liệu)
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐAP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
VÒNG TRƯỜNG 2017
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút



Câu
Nội dung
Điểm

1.
Ta có:
.
Hàm số có CĐ, CT
có 2 nghiệm phân biệt

(*)
Gọi hai điểm cực trị là

Thực hiện phép chia y cho y( ta được:





Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là (:

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng

xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng

(thỏa mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng



Vậy các giá trị cần tìm của m là:




1,0







1,0




1,0










1,0

2.
PT










Vậy pt có nghiệm là
,



0,5




0,5






0,5


Điều kiện

PT



Thử lại điều kiện thỏa mãn

1,0


0,5

3
1) ĐK:

Hệ
. Trừ vế hai phương trình ta được


TH 1.
thế vào (1) ta được

TH 2.
. Từ
,


. Do đó TH 2 không xảy ra.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)
2)Chứng minh bằng phương pháp qui nạp được
với mọi n = 1,2,…
Chứng minh được dãy
giảm
Do đó
tồn tại giới hạn. Giả sử
thì

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) ta được

Vậy






1,0







1,0



0,5


0,5


1,0

4.
Gọi H là hình chiếu của A trên
, suy ra H là trung điểm BC.
Khi đó:



Suy ra B và C thuộc đường tròn tâm A và bán kính

Do đó B và C là giao điểm của
và đường tròn nên tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ:

Giải được:
hoặc











1,5






1,5

5.
1)

Tính được

Chứng minh

Suy ra,

Vậy
.
2) - Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 3 và số đó là số chẵn.
- Số chia hết cho 3 là số
có tổng ba chữ số
chia hết cho 3.
- Số chẵn là số chó chữ số tận cùng chia hết cho 2.

Để lập