SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI THỬ SỐ 1
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2018 - 2019

Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu


Câu I (4,0 điểm)
1. Cho hàm số
(*). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi
Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị các hàm số (*) tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung.
2. Giải bất phương trình
.
Câu II (4,0 điểm)
1. Giải phương trình

2. Giải hệ phương trình

Câu III (4,0 điểm)
1. Cho
là các số thực dương thoả mãn
. Chứng minh bất đẳng thức

.
2. Cho
. Xét dãy số

. Tính
.
Câu IV (4,0 điểm)
1. Từ tập
có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho
.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho tứ giác
nội tiếp đường tròn
có tâm
Tiếp tuyến của đường tròn
tại
cắt các tiếp tuyến tại
lần lượt tại
Phương trình đường thẳng


Tìm tọa độ giao điểm
của các tiếp tuyến với đường tròn
tại
và tại

Câu V (4,0 điểm)
1. Cho hình chóp
có
,
,
là điểm bất kì trong không gian. Gọi
là tổng khoảng cách từ
đến tất cả các đường thẳng
,
,
,
,
,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2. Cho hình chóp tam giác đều
cạnh đáy
, đường cao
. Gọi
là điểm thuộc đường cao
của tam giác
. Xét mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với
. Đặt

. Tìm
để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
có diện tích lớn nhất.
…………………..Hết………………….

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Câu
NỘI DUNG
Điểm

I
1. Cho hàm số
(*)
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi
Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị các hàm số (*) tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung.
2.0

4,0 điểm
Lập bảng biến thiên
0.50


Vẽ đồ thị
0.50


Yêu cầu bài toán
Phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt







0.50




Kết hợp nghiệm, kết luận


0.50


2. Giải bất phương trình
.
2.0


Điều kiện:

Ta có:




0.50







0.50







0.50



luôn đúng

Kết luận: Tập nghiệm cần tìm của bất phương trình là


0.50

II
1. Giải phương trình

2.0

4,0
điểm
Điều kiện:
(*).
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:






0.50





0.50


Với


0.50


Với

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là:
và




0.50


2. Giải hệ phương trình


2.0


Điều kiện

Từ
: sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

và

, cộng hai kết quả trên ta được




0.50



, tương tự ta cũng có
,
suy ra

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi




0.50


Thế vào phương trình
ta được pt:


Giải pt






0.50



.

(Loại)
Khi
. Thử lại
thỏa mãn hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
.


0.50

III
1. Cho
là các số thực dương thoả mãn
. Chứng minh bất đẳng thức

.
2.0

4,0
điểm


0.50


Tương tự có
;
.
Do đó, cộng theo vế các bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Schur cùng giả thiết
ta được


0.50


Hay

Mặt khác

0.50


Từ
và
suy ra

Do vậy

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi