ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN 9
(Thời gian làm bài:150 phút)

 Câu 1 (3 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A
;
b) B
với x
.
Câu 2 (4 điểm):
Cho biểu thức P =

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của x để biểu thức Q =
nhận giá trị nguyên.
Câu 3 (3 điểm):
Cho đường thẳng (
) có phương trình: 3(m - 1)x +( m - 3)y = 3
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m;
b) Tìm m để đường thẳng (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Câu 4 (3,5 điểm):
a) Giải phương trình sau:

;
b) Giải hệ phương trình sau:


Câu 5 ( 6,5 điểm):
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d
OA tại A, vẽ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với EF cắt ME,MF lần lượt tại C và D. Dây EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a) Chứng minh rằng OA.OB không đổi.
b) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.
c) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích của
HBO lớn nhất.
d) Lấy điểm I thuộc cung nhỏ EF,vẽ tiếp tuyến qua I của (O)cắt ME,MF lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PC.DQ
.

---------------- HẾT ----------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN 9
(Thời gian làm bài:150 phút)

Câu 1 (3 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
;
b)
.

Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức P =

a) Rút gọn biểu thức P;
b) So sánh P với 5;
c) Tìm giá trị của x để
nhận giá trị nguyên.
Câu 3 (3 điểm):
Cho đường thẳng (d): y =

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định;
b) Tìm m đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 3.
Câu 4 (3,0 điểm):
a) Giải phương trình sau:

;
Giải hệ phương trình sau:



Câu 5 ( 6,5 điểm):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, EF là đường kính di động. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Nối AE, AF cắt đường thẳng d lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng AE.AM = AF.AN.
b) Kẻ AD vuông góc với EF cắt MN tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
c) Gọi H là trực tâm của tam giác MFN. Chứng minh rằng khi đường kính EF di động thì H luôn thuộc một đường tròn cố định.
Câu 6 ( 1,5 điểm):
Cho
với xy > 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

---------------- HẾT ----------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN 9
(Thời gian làm bài:150 phút)


Câu 1(3,5 điểm): Cho biểu thức:


a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị của biểu thức A tại
;
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Câu 2 (4.5 điểm):Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)
;
b)


Câu 3 (3,0 điểm):Cho ba đường thẳng: (
):
;

:
;

:
(với
)
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì
luôn đi qua điểm cố định;
b) Tìm giá trị của m để ba đường thẳng trên đồng quy;
c)Gọi giao của đường thẳng
với trục Ox, Oy lần lượt là A,B. Hãy viết phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Câu 4 ( 7.0 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax