TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
TỔ TOÁN


KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẦN 1
Năm học: 2019 - 2020

Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu


Câu I (4,0 điểm)
1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
,biết rằng
đi qua điểm
.
2. Giải phương trình:

Câu II (4,0 điểm)
1. Giải phương trình:
.

2. Giải hệ phương trình:

.
Câu III (4,0 điểm)
1. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

.
2. Gọi
là tập hợp các số tự nhiên có
chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số


.
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
. Tính Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
Câu IV (4,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho tam giác ABC cân tại
. Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho
và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm
là trung điểm đoạn HC. Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm trên đường thẳng

2. Trong mặt phẳng với trục toạ độ
cho hình thang cân

. Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
trên các đường thẳng
. Giả sử
lần lượt là trung điểm của
. Viết phương trình đường thẳng
biết
và đỉnh
nằm trên đường thẳng
,
.
Câu V (4,0 điểm)
1. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
là điểm trên
sao cho -
.
Mặt phẳng
qua
cắt các cạnh
,
,
lần lượt tại
,
,
. Tính giá trị của biểu thức
.
2. Cho hình chóp
đáy là hình thang, đáy lớn
,
,
. Mặt bên
là tam giác đều. Mặt phẳng
qua điểm
trên cạnh
và song song với các cạnh
,
.
cắt
lần lượt tại
. Đặt

. Tính giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
.
........................Hết....................



ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Câu
NỘI DUNG
Điểm

I
1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
, biết rằng
đi qua điểm
.

2.0

4,0 điểm
Do
đi qua điểm
nên ta có

0.50


Khi đó ta có hàm số

Ta có đỉnh



0.50


Bảng biến thiên







0.50









0.50


2. Giải phương trình sau


2.0


Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với:



0.50


 Đặt




Phương trình dã cho trở thành:







0.50


+ Với:



0.50


+ Với:



- Kết luận. Phương trình có các nghiệm

.



0.50

II
1. Giải phương trình:

2.0

4,0
điểm
 Điều kiện:






0.50








hoặc
.


0.50


Với

hoặc

Với



0.50


So với điều kiện nghiệm của phương trình:

0.50


2. Giải hệ phương trình:

2.0


Điều kiện:
.
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :





0.50






Với điều kiện
ta có :
.
Nên từ
ta có :
.


0.50


Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta được phương trình :


Điều kiện
. Vì
.
Với mọi
ta có:




0.50








(tmđk). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
.





0.50


III

1. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:


2.0

4,0
điểm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có


Áp dụng tương tự ta được