SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BẮC NINH

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1
NĂM HỌC 2025 – 2026- Môn: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề có 02 trang)
I. TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm). Chọn phương án đúng trong mỗi câu dưới đây:
Câu 1. Với

thì biểu thức

bằng A.

Câu 2. ĐKXĐ của biểu thức

Câu 3. Hệ phương trình
A.  10.

Câu 4.

là

,

.

Câu 5. Biểu thức
A. .

là

A. .

là A.

.

B.

.

D.

.

D.  5.

.

C.

.

D.

.
.
.

thành hai đoạn
.

. Khi đó giá trị của
D. .
B.
C.

Câu 8. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình
A.

.

với

là A.
B.

.

.

chia cạnh huyền

B.

với

D.

. Khi đó giá trị của biểu thức 2a  b là

C.  2.

biến đổi được về dạng
B.
.
C.

Câu 6. Kết quả của phép tính
Câu 7. Nghiệm của BPT

C. .
C.

. Đường cao

vuông tại

. Tỉ số

.

B.

có nghiệm

B. 5.

Cho tam giác

A.

. B.

.

C.
. D.

.

là

D.

.

.

?

C.

D.

.

Câu 9. Cho hai đường tròn
và
. Khi độ dài đoạn nối tâm
thì vị trí
tương đối của hai đường tròn là A. không giao nhau. B. TX ngoài. C. cắt nhau. D. TX trong.
Câu 10. Cho là số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 20, là số tự nhiên lớn nhất có một chữ số. Khẳng
định nào sau đây đúng? A.
. B.
. C.
. D.
.
Câu 11. Căn bậc hai số học của là A.
. B. .
C.
. D. .
Câu 12. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
A.
.
Câu 13. Cho tam giác
A.

B.
vuông tại

.

.
C.
.
. Hệ thức nào sau đây đúng?

B.

Câu 14. Cho đường tròn tâm

.

C.

bán kính

và một điểm

khi A.

Câu 15. Cho

là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
. B.

B.
.

.
C.

C.

.
.

.

D.

.

bất kì sao cho

đường tròn tâm
A.

.

.

D.

D.

. Điểm

D.

.
.

thuộc

Câu 16. Giông bão thổi mạnh, một cây bị gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với phương nằm
ngang một góc
(minh hoạ ở hình vẽ). Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc
cây là
. Giả sử cây mọc vuông góc với mặt đất, chiều cao của cây khi chưa gãy là (làm tròn kết quả
đến hàng phần mười)
A.
.
B.
II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm)

.

C.

Câu 1. (2,5 điểm) a) Giải phương trình

.

D.

.

. b) Giải bất phương trình

c) Rút gọn biểu thức

với

.

.

Câu 2. (1,0 điểm) Tại một phòng làm bài kiểm tra học kì 1 năm học 2025-2026, có
học sinh tham gia
làm bài kiểm tra. Khi thu bài giám thị đếm được có tất cả
tờ giấy kiểm tra. Biết rằng tất cả học sinh đều
nộp bài và mỗi bạn nộp một hoặc hai tờ giấy kiểm tra cho giám thị. Tính số học sinh nộp bài kiểm tra bằng
hai tờ giấy kiểm tra.
Câu 3. (2,0 điểm) Cho đường tròn
. Tiếp tuyến tại điểm
a) Chứng minh bốn điểm
,
b) Kẻ đường cao
đường thẳng

, đường kính

và tiếp tuyến tại điểm
của đường tròn
, ,
cùng thuộc một đường tròn.

của

và

. Lấy điểm

, kéo dài

cắt nhau tại

. Chứng minh

cắt

thuộc

sao cho

cắt nhau tại điểm

tại điểm

là tiếp tuyến của

.

. Hai

.

c) Chứng minh
đi qua trung điểm của
.
Câu 4. (0,5 điểm) Tại một hợp tác xã trồng cam, đến mùa thu hoạch trung bình mỗi kilogram cam được bán
với giá
đồng, mỗi ngày bán được
tấn cam. Ban quản lý hợp tác xã đang xem xét việc giảm giá
bán để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, hợp tác xã nhận thấy cứ mỗi lần giảm giá thêm
đồng
cho mỗi kilogram cam thì bán thêm được tấn cam. Hỏi hợp tác xã nên định mức giá bán mới là bao nhiêu
để đạt doanh thu lớn nhất?

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BẮC NINH
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

HƯỚNG DẪN CHẤM
KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1 NĂM HỌC 2025 – 2026
Môn: Toán– Lớp 9
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 0,25 điểm.
Câu
Đáp án

1
C

2
B

3
D

4
A

5
A

6
A

7
D

8
B

9
C

10
C

11
B

12
B

13
A

14
C

15
D

16
C

II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm)
Câu

Lời giải sơ lược

Điểm

Câu 1.a (0,75 điểm)
0,25

hoặc


hay



hay

0,25

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
Câu 1.b (0,75 điểm)

và

0,25

.

0,25
0,25
Vậy nghiệm của bất phương trình là
Câu 1.c (1,0 điểm)
Với

0,25

.

,

0,25

0,25
0,25

Vậy với
thì
.
Câu 2. (1,0 điểm)
Gọi là số học sinh làm bài kiểm tra bằng
là số học sinh làm bài kiểm tra bằng

0,25

tờ giấy,

0,25

tờ giấy.

Do phòng kiểm tra có
học sinh nên ta có phương trình:
Do mỗi bạn dùng một hoặc hai tờ giấy kiểm tra để làm bài và có tất cả

tờ

0,25

nên ta có phương trình:
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
hay
Vậy có
học sinh làm bài kiểm tra bằng hai tờ giấy.
Câu 3.a (1,0 điểm)

(thỏa mãn)
0,25

M
C
E

A

B

H

O

0,25

F

D

Xét
Gọi
Xét

có:

và

là hai tiếp tuyến tại

và

của

0,25

nên
.
là trung điểm của
.
vuông tại có
là đường trung tuyến nên
0,25

Do đó ba điểm

cùng thuộc đường tròn đường kính

Tương tự ba điểm

cùng thuộc đường tròn đường kính

Vậy bốn điểm
cùng thuộc đường tròn đường kính
Câu 3.b (0,5 điểm)
Xét
có:
nên
cân tại .
Mà
là đường cao nên
là đường phân giác của
Do đó
Chứng minh được
Suy ra

.

0,25

.

0,25

.
(c.g.c)
(hai góc tương ứng).

Mà

(do

) nên

Xét
có:
Câu 3.c (0,5 điểm)

tại

tại
nên

là tiếp tuyến của

M
C
E

A

I

O

B

H

D

là giao điểm của

0,25

.
tại

.
0,25

K

Gọi

.

và

.

F

Chứng minh được
,
nên
Xét tam giác
có là trung điểm của
của
. Do đó
.
Gọi là giao điểm của
và
Ta có

(cùng vuông góc với

Lại có

nên

.

Do đó
.
Mà
nên
Câu 4. (0,5 điểm)

hay

cam sau

Số cam đã bán sau

nên

là trung điểm

nên

.
0,25

là trung điểm của

lần giảm giá là
lần giảm giá là

Tổng số tiền thu được:
Để có doanh thu lớn nhất thì

và

) hay

Gọi số lần giảm giá mà mỗi lần giảm thêm
Giá tiền

.

.

nghìn đồng là

(lần) (

)

(nghìn đồng)
(tấn) hay

(kg)

0,25

(nghìn đồng)
đạt giá trị lớn nhất

Ta có:

đạt giá trị lớn nhất khi
.
Vậy mức giá mới cho một kg cam là
đạt doanh thu lớn nhất.

(nghìn đồng) thì hợp tác xã sẽ 0,25

Cách khác:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

Nên
đạt giá trị lớn nhất khi
hay
.
Vậy mức giá mới cho một kg cam là
(nghìn đồng) thì hợp tác xã sẽ
đạt doanh thu lớn nhất.
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa.
---------- Hết ----------