TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)

KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN: TOÁN
Khối 11
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ, tên thí sinh: ……………………………………………………..
Số báo danh: …………………………………………………………
Câu 1 (1 điểm). Giải các phương trình sau:
a)



3cot  2x +  = 1 ;
6


b) cos x.cos 3 x  cos 3 x.cos 5 x  2 cos 2 x  1 .

Câu 2 (1 điểm). Điền vào ác ô của hình vuông 5  5 trong hình vẽ bên sao cho 5 số trên cùng
một hàng từ trái qua phải luôn là một cấp số cộng, 5 số trên cùng một cột từ trên xuống dưới
luôn là một cấp số cộng. Tìm số X .
Câu 3 (1 điểm). Tìm giới hạn lim
x2

2x  5  3
.
x2

 x 3  3x  2
khi x  2

Câu 4 (1 điểm). Cho hàm số f  x    x  2
. Tìm m để hàm số liên tục tại x0  2 .
m
khi x  2

Câu 5 (2 điểm). Kết quả điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh ( thang điểm 100 ) được biểu diễn ở biểu đồ
dưới đây:

Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị của mẫu số liệu ( các kết quả được qui tròn đến hàng phần trăm).
Câu 6 (4 điểm). Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm CD . G là trọng
tâm tam giác SCD , E là giao điểm của AM và BD , F là điểm trên cạnh AB sao cho AB  3 AF .
a) Tìm giao điểm của hai mặt phẳng

 SAB  và  SCD  .

b) Chứng minh EF song song mặt phẳng  SAD  .
c) Chứng minh GF song song mặt phẳng  SAD  .
d) Gọi K là giao điểm của SC và mặt phẳng  EFG  . Tính tỉ số
Hết.

KS
.
KC

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1
2023 - 2024
MÔN TOÁN – KHỐI 11
Câu

Nội dung

Điểm

Giải các phương trình sau:



3cot  2x +  = 1 .
6



a) 3cot  2x +  = 1 .
6



 
 cot  2x +   cot  
6

3
a)

x


12

k


2

b) cos x.cos 3 x  cos 3 x.cos 5 x  2 cos 2 x  1 .

; k  

1đ
0.5đ
0.25
0. 25

Nếu học sinh có ghi đk Đúng mà không giao thu gọn THA

1

b) cos x.cos 3 x  cos 3 x.cos 5 x  2 cos 2 x  1 .

0.5 đ

1
1
  cos 4 x  cos 2 x    cos 8 x  cos 2 x   cos 2 x
2
2

0.25

 cos 8 x   cos 4 x
 cos 8 x  cos    4 x 




 x  12  k 6

; k  
x     k 

4
2

0.25

Không thu gọn THA
Điền vào ác ô của hình vuông 5  5 trong hình vẽ bên sao cho 5 số trên cùng một hàng từ
trái qua phải luôn là một cấp số cộng, 5 số trên cùng một cột từ trên xuống dưới luôn là
một cấp số cộng. Tìm số X .

1đ

2
Từ trên xuống dưới cột 1 ta có u1  1; u5  17  u1  4d  d  4 nên số chính giữa là 9  w1

0.5

Từ trên xuống dưới cột 5 ta có u1  25; u5  81  u1  4d  d  14 nên số chính giữa là

53  w 5
Từ trái sang phải hàng thứ 3 có w1  9; w 5  w1  4d  53  d  11 nên số chính giữa là

X  31
Học sinh KHÔNG có lập luận mà chỉ ghi các số thì KHÔNG cho điểm

0.25
0.25

2x  5  3
.
x2
2  x  2
1
 lim

x2
 x  2  2x  5  3 3

Tìm giới hạn lim

3

x2



4



 x 3  3x  2
khi x  2

Cho hàm số f  x    x  2
. Tìm m để hàm số liên tục tại x0  2 .
m
khi x  2

f  2  m

 x  2   x 2  2x  1
x3  3x  2
lim
 lim
9
x2
x2
x2
 x  2

hàm số liên tục tại x0  2 khi m  9

1đ
0.5+0.5
1đ
0.25
0.5
0.25

Kết quả điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh ( thang điểm 100 ) được biểu diễn
ở biểu đồ dưới đây:

2đ

Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị của mẫu số liệu ( các kết quả được qui tròn đến hàng
phần trăm).

5
0.5
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

x

45.4  55.6  ...  95.2
 66,88
32

Số mốt là

10  6
.10  65
10  6  10  6
Ta gọi x1 , x2 , , x32 là điểm của 32 học sinh theo thứ tự không giảm. Khi đó ta có
M 0  60 

x1 , , x4   40;50  , x5 , , x10  50; 60  , x11 , , x20   60; 70  , x21 , , x26   70;80  ,
x27 , , x30  80;90  , x31 , x32  90;100 

32
  4  6
2
Tứ phân vị thứ hai là Q2  60 
.10  66
10

0.25
0.25
0.25

0.25
0.25

32
  4
Tứ phân vị thứ nhất là Q1  50  4
.10  56, 67
6
3.32
  4  6  10 
4
Tứ phân vị thứ ba là Q3  70 
.10  76, 67
6

0.25

Nếu học sinh không đổi tuần suất sang tần số mà tính đúng số trung bình và số mốt thì chỉ
cho 0.5 điểm toàn bài
Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm CD .
G là trọng tâm tam giác SCD , E là giao điểm của AM và BD , F là điểm trên cạnh AB
sao cho AB  3 AF .

 SAB  và  SCD  .
song song mặt phẳng  SAD  .
song song mặt phẳng  SAD  .

a) Tìm giao điểm của hai mặt phẳng
b) Chứng minh EF
c) Chứng minh GF

d) Gọi K là giao điểm của SC và mặt phẳng  EFG  . Tính tỉ số

a)

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB  và SCD 

4đ
KS
.
KC

1đ

6

S  SAB 
Ta có: 

S  SCD 

AB / /CD

AB  SAB 

CD  SCD 

Suy ra SAB   SCD   Sx / /AB / /CD.

0.25
0.25
0.25
0.25

b)

Chứng minh EF song song mặt phẳng  SAD  .

Ta có EMD  EAB nên

EB AB
BE 2

2

ED MD
BD 3

BF 2

BA 3
BE BF

 EF / / AD
Suy ra
BD BA
 EF / / AD

Ta có:  AD   SAD   EF / /  SAD 

 EF   SAD 
Mà

1đ
0.5

0.25

0.25

c)

Chứng minh GF song song mặt phẳng  SAD  .

1đ

Ta có:

ME 2 MG
 
 EG / / SA
MA 3 MS

0.25

 EG / / SA

Mà  SA   SAD   EG / /  SAD 

 EG   SAD 

0.25

 FEG  : EF  EG  E

  FEG  / /  SAD 
Ta lại có:  EF / /  SAD 

 EG / /  SAD 
Mà FG   FEG   FG / /  SAD 
Hoặc học sinh chứng minh FG// với 1 đường nào đó trong mp(SAD) mà đúng vẫn cho đủ
điểm

0.25
0.25

d)

Gọi K là giao điểm của SC và mặt phẳng  EFG  . Tính tỉ số

KS
.
KC

1

Có
 ABCD  : EF  CD  H

 SCD  : HG  SC  K
Nên K  SC   FEG 
 FEG  / /  SAD 

Có  SAD    SCD   SD  HK / / SD

 FEG    SCD   HK
HD 1
KS 1
 
 .
HC 2
KC 2
Học sinh dùng tỉ số Thales để tình đúng thì vẫn đủ điểm, học sinh dùng định lý
Menelaus mà KHÔNG chứng minh thì phần tính tính tỉ số KHÔNG cho điểm.

0.5

0.25

Mà HD  FA 

Thống nhất chấm:

0.25