Violet
Dethi
8tuoilaptrinh

Tin tức thư viện

Khắc phục hiện tượng không xuất hiện menu Bộ công cụ Violet trên PowerPoint và Word

12099162 Kính chào các thầy, cô. Khi cài đặt phần mềm , trên PowerPoint và Word sẽ mặc định xuất hiện menu Bộ công cụ Violet để thầy, cô có thể sử dụng các tính năng đặc biệt của phần mềm ngay trên PowerPoint và Word. Tuy nhiên sau khi cài đặt phần mềm , với nhiều máy tính sẽ...
Xem tiếp

Quảng cáo

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (024) 66 745 632
  • 096 181 2005
  • contact@bachkim.vn

Tìm kiếm Đề thi, Kiểm tra

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Nhấn vào đây để tải về
Hiển thị toàn màn hình
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Đỗ thị kim anh
Ngày gửi: 12h:19' 12-12-2020
Dung lượng: 598.0 KB
Số lượt tải: 186
Số lượt thích: 0 người







Chuyên đề 8.ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ-ĐƯỜNG THẲNG SIMSON
CHỦ ĐỀ 1.ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ
Kiến thức cần nhớ

Ptôlêmê là nhà khoa học cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ 2. Từ năm 127 đến năm 151 sau công nguyên, ông sống tại Alechxanđri (Ai Cập), nghiên cứu toán học, thiên văn học và địa lý. Ông là tác giả của thuyết hệ vũ trụ địa tâm; là mô hình cấu trúc vũ trụ đầu tiên, khẳng định một cách sai lầm rằng, các thiên thể chuyển động trên những vòng tròn có tâm là tâm trái đất nằm yên, là cơ sở cho thiên văn học trong một thòi gian dài cho đến thế kỷ 17, trước khi thuyết hệ nhật tâm của Kôpecnich ra đời.
Công trình toán học của ông khá phong phú, sau đây là một định lý mang tên ông.
Định lý. Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối diện.
Giải
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Ta cần chứng minh: 
Giả sử 
Lấy điểm M trên đoạn  sao cho 
Suy ra
Suy ra 


Suy ra 

Do đó 

Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn  đường kính AB có C là điểm chính giữa. Gọi M là điểm bất kì thuộc cung BC. Chứng minh rằng: 
Giải

Tìm cách giải. Với  ta suy ra  và biểu diễn được qua bán kính R. Vì M là điểm bất kì thuộc cung BC, kết luận liên quan tới MA, MB, MC nên ta liên tưởng tới định lý Ptôlêmê.
Trình bày lời giải
Ta có  nên  vuông cân tại C

Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABMC ta được:

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp và  Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 
Giải
Tìm cách giải.  (vì đã có 
Do vậy cần chứng tỏ cặp cạnh kề góc ấy tỉ lệ tức là 
Dựa vào giả thiết, tất yếu ta nghĩ tới vận dụng định lý Ptôlêmê.
Trình bày lời giải
Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABCD ta được:

Mà  nên:
  
Mặt khác  suy ra: (c.g.c)
Vậy 
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn sao cho  đạt giá trị lớn nhất.
Giải

Tìm cách giải. Nếu có điểm E trên cung nhỏ BC thì ta có:  Do vậy để xuất hiện  thì ta cần xác định điểm E sao cho  tức là  Với tỉ lệ như vậy chúng ta lại nghĩ tới đường phân giác góc BEC. Do vậy bản chất của bài là dựng được điểm E.
Trình bày lời giải
Gọi I là điểm thuộc cạnh BC sao cho 
Gọi D là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn (O).
Gọi E là giao điểm thứ hai của DI với (O).
Khi đó EI là phân giác của góc
Suy ra 
Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ABEC, ta có: 
Suy ra: 

Do đó  đạt giá trị lớn nhất khi AE lớn nhất  là đường kính của (O).
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có  Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, C cắt nhau ở P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của cung BAC.
Giải
Tìm cách giải. Để chứng minh  ta cần chứng minh  Như vậy dựa vào kết luận và giả thiết đều liên quan tới cạnh và tứ giác ABCD nên ta nghĩ tới việc vận dụng định lý Ptoleme. Tuy nhiên trong bài, tứ giác này có hai tiếp tuyến ở hai đỉnh đối diện (A và C) và đường chéo đồng quy thì luôn có  (bạn nên nhớ tính chất này để sử dụng).
Trình bày lời giải



Ta có:  nên 
và nên  .
Mặt khác  nên 
Suy ra  (1)
Áp dụng định lý Ptôlêmê ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Mặt khác:  nên 
Vậy D là điềm chính giữa của cung BAC.
Bài tập vận dụng
1. Chứng minh rằng nếu điểm P nằm trên cung nhỏ  của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD thì

2. Cho một tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d và các đường chéo bằng p, q
 
Gửi ý kiến