Bàitoáncho HSG lớp 8 và 9:
Cho tam giác ABC vuôngtại A (AB < AC), đườngcao AH. Gọi I, K lầnlượtlàgiaocácphângiáctrongcủacác tam giác ABH, ACH.
a. Chứng minh rằngcác tam giác ABC và HIK đồngdạng.
b. BI giao CK tại J. Chứng minh rằng J làtrựctâm tam giác AIK
c. AI và AK giao BC tại N, M. Chứng minh rằngMI, NK, AH đồng qui.
d. Gọi G làtrựctâm tam giác AMN vàD, E thứtựlàhìnhchiếucủa G trên AB, AC. Chứng minh rằng A, D, I, G, K, E cùngcáchđềumộtđiểm O.
e. DE giao BC tại P. Chứng minh rằngP, O, H vàtrungđiểm S của IKcùngnằmtrênmộtđườngtròn.
Gợi ý:
a. Tam giác HIA và HKC đồngdạng, tam giác HACvà HBAđồngdạng(g.g.) => HI/KH = HA/HC = AB/AC =>tam giácABC và HIKđồngdạng (c.g.c.)
b. Các tam giác BAM, CAN cân =>cácphângiác BI, CK làđườngcao => IJ, KJ làcácđườngcaocủa tam giác AIK => J làtrựctâm tam giác AIK.
c. Các tam giác CAK, CNK bằngnhau (c.g.c.) =>gócCNK = CAK = CBI => NK//BI => NK vuônggócvới AM. Tươngtự MIvuônggócvớiAN => MI, NK, AH làcácđườngcaocủa tam giác AMN nênchúngđồng qui.
d. ADGE làhìnhchữnhậtnêngiao O củacácđườngchéo AG, DE cáchđều A, D, G, E. Lại cócác tam giác AGK, AGI vuôngtại I, K nênthêm I, K cáchđều O.

e. DễthấygócAED = AGD = ABC =>gócOPH = AED – ACB = ABC – ACB
vàgócOSH = OSI + HSI = 900 + 2.IKH = 900 + 2.ACB
=>gócOPH+ OSH = ABC – ACB + 900 + 2. ACB = ABC + ACB + 900 = 900 + 900 = 1800 =>OPHS nộitiếp =>P, O, H vàtrungđiểm S của IK cùngnằmtrênmộtđườngtròn.
/