ĐỀ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2015-2016

MÔN TOÁN 8
Thời gian làm bài: 200 phút


Bài 1 Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm x để
.
Bài 2: a) Giải phương trình sau:
(2x2 + x – 2015)2 + 4(x2 – 5x – 2016)2 = 4(2x2 + x – 2015)(x2 – 5x – 2016)
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

Bài 3: a) Tìm a, b sao cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 10x – 4 chia hết cho đa thức g(x)= x2 + x – 2
b) Biết rằng x2 + y2 = x + y. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
Chứng minh: ME // BN.
Từ C, kẻ CH
BN (H
BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số dương . Chứng minh rằng :
.
----------Hết----------
Đáp án:
Bài 1: ĐKXĐ: x ( 1; x ( -1; x (

a) Ta có:


b) A nguyên nên 2
1 – 3x


Ta có:

1 – 3x
1
-1
2
-2

x
0




1

KL
TM
Loại vi x(Z
Loại vi x(Z
Loại vì x KTMĐKXĐ

Bài 2:
a)
Đặt:


Phương trình đã cho trở thành:



Khi đó, ta có:



.


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.



b)
Ta có
(1)


(2)

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) và (1;2)
Bài 3:
a) Đa thức chia g(x) = (x – 1)(x + 2)

g(x) có hai nghiệm là 1 và – 2

f(1) = a + b + 6 = 0
f(-2) = -8a + 4b – 24 = 0
Giải hệ phương trình ta tìm được: a = – 4; b = – 2
b) Ta có: x2 + y2 = x + y

x = x2 + y2 – y; y = x2 + y2 – x

P = x2 + y2 – y – y = x2 + y2 – 2y + 1 – 1 = x2 + (y – 1)2 – 1 ( – 1

Pmin = – 1
Dấu “=” xảy ra khi:

Lại có: P = x – x2 – y2 + x = – y2 – x2 + 2x – 1 + 1
= 1– y2 – (x – 1)2 ( 1

Pmax = 1
Dấu “=” xảy ra khi:


Bài 4:


Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
Và

BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)


OE = OM và

Lại có

vì tứ giác ABCD là hình vuông



kết hợp với OE = OM
∆OEM vuông cân tại O

Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông
AB = CD và AB // CD

+ AB // CD
AB // CN

( Theo ĐL Ta- lét) (*)

Mà BE = CM (gt) và AB = CD
AE = BM thay vào (*)

Ta có :

ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)

Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN
( cặp góc đồng vị)
Mà
vì ∆OEM vuông cân tại O



∆OMC ( ∆BMH’ (g.g)