Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2004-2005

Câu I:
1. Xác định hàm số f(x) biết nó thoả 2 điều kiện:
a. (a-b)f(a+b) – (a+b)f(a-b) = 4ab(a2-b2) , a, b
b. f(1) = 2005
2. Cho a>b>0 .Chứng minh rằng:
<
Câu II:
Cho hai dãy số (an), (bn) được xách định bởi:
a1 = 3, b1 = 2, an+1 = an2 + 2bn2 , bn+1 = 2anbn với n = 1,2,3,4
Tìm , ?
Câu III:
Cho đường tròn tâm O ; B,C thuộc (O) sao cho cung nhỏ BC bằng 1200 . H là trực tâm tam giác ABC với A bất kì thuộc cung lớn BC (A không trùng với B và C). Đường thẳng OH cắt AB, AC tại E, F ;(Nếu tam giác ABC đều thì coi OH AO).
Chứng minh rằng tam giác AEF đều.
Xác định vị trí của A trên cung lớn BC sao cho tam giác AEF có chu vi lớn nhất.
Câu IV:
A, B, C là 3 điểm thứ tự trên d. Tìm quỹ tích những điểm M thuộc nửa mặt phẳng bờ d thoả :
cotgAMB + cotg