ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2008-2009.
Bài 1. (4điểm) Giải hệ phương trình:
Bài 2. (5điểm) Cho dãy số (x_n) xác định như sau:
Xét dãy số
. Chứng minh dãy
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. (5 điểm) Cho 2 điểm cố định
và điểm
di động trên mặt phẳng sao cho
không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp


của tam giác
xuống ba cạnh
lần lượt là
.
và
cắt


lần lượt tại
. a) Chứng minh độ dài
không đổi. b) CM đường tròn
luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4. (3điểm) Cho
là các số thực. Với mỗi
nguyên dương,
là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên
sao cho
là các nghiệm của pt bậc ba
. Bài 5. (3 điểm) Cho tập hợp
gồm
số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp
sao cho trong
không có 2 phần tử
nào thỏa mãn
(chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên)