PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút



Bài 1 (4 điểm):
a) Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13
b) Rút gọn biểu thức: A = (2+1)(22+1)(24+1) ....... (2256 + 1) + 1
Bài 2 (4 điểm):
a) Tính A = x2015 + y2015 + z2015. Biết x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
có giá trị nguyên
Bài 3 (4 điểm): Giải phương trình: x3 - x2 - x =

Bài 4 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông cân tại A, trung tuyến BM, qua A kẻ đường thẳng vuông BM cắt BC tại D. Chứng minh: BD = 2DC.
Bài 5 (4 điểm): Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân, đỉnh F có góc đáy là 150. Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều.
-------------- Hết --------------

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 2
MÔN TOÁN 9 (2015-2016)
Bài 1 (4 điểm) :
a) (2đ) Ta có: 270 + 370 = ( 22)35 + (32)35 = 435 + 9354 + 9) hay (435 + 93513
Vậy 270 + 370 ⋮13
b) (2đ) Ta có:
A = (2-1)(2+1)(22+1) ........ (2256 + 1) + 1
= (22-1)(22+1) .......... (2256 +1) + 1
= (24-1)(24+ 1) ......... (2256 +1) + 1
................
= [(2256)2 –1] + 1 = 2512

Bài 2 (4 điểm): a) Tính A = x2015 + y2015 + z2015
Với x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1

(x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0

3(x + y)(y + z)(z + x) = 0
Nếu x + y = 0 thì z = 1 => A = 1
Nếu y + z = 0 thì x = 1 => A = 1
Nếu z + x = 0 thì y = 1 => A = 1
Tóm lại với x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 thì A = x2015 + y2015 + z2015 = 1
b) P =
(0,5đ)
x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên
để P có giá trị nguyên thì
phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ)
=> * 2x - 1 = 1 => x = 1
* 2x - 1 = -1 => x = 0
* 2x - 1 = 5 => x = 3
* 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5đ)
Vậy x =
thì P có giá trị nguyên.
Khi đó các giá trị nguyên của P là:
x = 1 => P = 8
x = 0 => P = -3
x = 3 => P = 6
x = -2 => P = -1 (0,5đ)
Bài 3 (4 điểm):
Phương trình đã cho tương đương với : 3(x3 - x2 - x) =1
4 x3 = x3 + 3x2 + 3x+1
4x3 = (x + 1)3


vậy nghiệm là: x =

Bài 4 (4 điểm):








Dựng hình vuông ABEC, gọi N là trung điểm AB, EN cắt BD tại K,hai tam giác giác vuông MAB và NBE bằng nhau (c.g.c)
NE ( BM mà AD ( BM

NE // AD, ∆ABD có NA =NB, NK //AD
BK = KD
BD = 2BK(1)
Khi ∆MAB = ∆ NBE

=
mà
=



=

Xét ∆EKBvà ∆ADC có
=
, EB = AC,
=
(=450)

∆EKB= ∆ADC (g.c.g)
BK = DC
2BK = 2DC(2),
từ (1) và (2) suy ra BD = 2DC.
Bài 5 (4 điểm):

D C