ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2019
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình
thỏa mãn các điều kiện:

và

a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
và

và

b) Biết thêm rằng
. Chứng minh rằng

Bài 2. (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả những số tự nhiên
sao cho
chia hết cho 9.
b) Cho
là số tự nhiên,
. Chứng minh rằng
không chia hết cho
với mọi số tự nhiên
sao cho

Bài 3. (2 điểm) Cho
và
là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện:
.
a) Chứng minh rằng

b) Biết rằng
Chứng minh rằng

Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có
. Gọi
lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc
. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên
. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên

a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC.
b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC.
c) Trên
lấy các điểm E và F sao cho
và
(E thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B). Chứng minh rằng
.
d) Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L. Chứng minh rằng các đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC.
Bài 5. (1,5 điểm) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ
quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng một quốc gia.
a) Gọi
là số các quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng

b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.