PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn thi: Toán 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)



Bài 1. a) Tính giá trị biểu thức

b) Chứng minh rằng:

c) Tính giá trị biểu thức

Với

d) Cho
và
. Tính

e) Cho M = (a2 + 2bc – 1)(b2 + 2ac – 1)(1 – c2 – 2ab). Trong đó a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
là một số hữu tỉ.
Bài 2. a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xyz = 2(x+ y + z).
b) Tìm các số a, b, c sao cho đa thức
chia cho
x + 2; x + 1; x – 1 đều dư 8
c) Tìm các số tự nhiên x, y biết:

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
b)

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Tính AH, BH biết BC = 50 cm và

b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng:
AH3 = BC.BD.CE
c) Giả sử BC = 2a là độ dài cố định. Tính giá trị nhỏ nhất của: BD2 + CE2
Bài 5. Cho
. Tìm giá trị lớn nhất của:


------------------Hết-----------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm; học sinh không dùng máy tính bỏ túi )

SƠ LƯỢC GIẢI
Đề thi chọn HSG huyện năm học 2019 – 2020
Môn: Toán 9


Bài
Nội dung




1a.


=







=1


1b.



A2 =

A =
(đpcm)

1c.


=
- (
+ 1) = -1
với x = -1 ta có N = -1 + 3 + 2 = 4



1d.

Ta có: xy =
và x + y =

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = (
)2 – 2.
= 3 – 1 = 2
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = (
)3 – 3.
.
=

x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 2.
-
.
=


1e

M = (a2 + bc – ac - ab)(b2 + ac – ab - bc)(ac + bc – c2 – ab)
= (a – b)(a – c)(b – a)(b – c)(c – a)(b – c)
= (a – b)2(a – c)2(b – c)2


vì a, b, c là các số hữu tỉ nên
là một số hữu tỉ

2a

Vì x, y, z là các số nguyên dương và vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử :
ta có xyz = 2(x + y + z)
6z

xy
6
x = 1 hoặc x = 2
Xét x = 1 cho y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta được (x, y, z) = (1; 3; 8), (1; 4; 5)
Xét x = 2 cho y = 2, 3 ta được (x, y, z) = (2; 2; 4)
vậy (x, y, z) = (1; 3; 8), (1; 4; 5), (2; 2; 4) và các hoán vị

2b

Từ gt ta có f(x) - 8 luôn chia hết cho x + 2; x + 1; x – 1.
=> f(x) = (x + 2)(x + 1)(x – 1) + 8.
Với x = -2, ta có: -8 + 4a – 2b + c = 8
4a – 2b +c = 16 (1)
Với x = -1, ta có: -1 + a – b + c = 8
a – b +c = 9 (2)
Với x = 1, ta có: 1 + a + b + c = 8
a + b + c = 7 (3)
từ (1), (2) và (3) ta có b = - 1
a = 2 ;