Môn: TOÁN 12
ĐỀ SỐ 05

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP
THPT NĂM 2023
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (50 câu trắc nghiệm)
Mã đề thi

Họ và tên thí sinh:.............................................................................. SBD:.....................

Câu 1:

Điểm

trong hình vẽ bên dưới biểu diễn số phức

A.
Câu 2:

B.

Trên khoảng
A.

Câu 3:

.

.

.

B.

.

C.

D.

.

.

D.

.

bằng
B.

.

Câu 4:

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 9.
B. 4.

Câu 5:

Cho cấp số nhân có
A. Thứ 6.
C. Thứ 5.

Câu 6:

Trong không gian
, cho hai điểm
đoạn thẳng
có phương trình là
A.
.
B.

Câu 7:

.

.

là

.

Đạo hàm của hàm số
A.

. Chọn kết luận đúng về số phức

C.

, đạo hàm của hàm số

05

,

. Số

C.
C. 7.

.
.

D.

.

D. 5.

là số hạng thứ mấy của cấp số này?
B. Không phải là số hạng của cấp số.
D. Thứ 7
và
. C.

. Mặt phẳng trung trực của
. D.

.

Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
hàm số đã cho và trục tung là điểm nào trong các điểm sau

Page 1

A.

Câu 8:

Biết
A.

Câu 9:

.

B.

.

C.

là một nguyên hàm của hàm số
.

B.

Hàm số

.

.

trên
C.

D.

.

. Giá trị của

.

D.

bằng
.

có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.

.

B.

.

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
kính
có phương trình là

C.

.

D.

, cho hai điểm

.
. Mặt cầu đường

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 11: Trong không gian tọa độ

, cho mặt phẳng

và đường thẳng

, sin của góc giữa đường thẳng
A.

.

Câu 12: Cho số phức
A. - 2.

B.
thỏa mãn
B. 0.

Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng

.

C.

và mặt phẳng

bằng

.

D.

, phần thực của số phức
C. - 1.

bằng
D. 1.

có đáy là tam giác đều cạnh

và

.

.

Page 2

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.

.

B.

Câu 14: Cho hình chóp

B.

Câu 15: Trong không gian

là tam giác vuông cân tại

.

B.

.

.

C.

.

B.

Câu 18: Trong không gian
A.
Câu 19: Cho hàm số

B.
liên tục trên

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
A. .
Câu 20: Biết rằng đồ thị hàm số

B. .

D.

.
. Gọi

.

D.

C. .
.

C.

.

.

bằng:

, cho mặt phẳng

.

vuông

.

Câu 17: Tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy là
A.

,

theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng

, phần ảo của số phức

.

,

và mặt phẳng

và cắt mặt phẳng

Câu 16: Cho số phức

.

bằng

C.

, cho điểm

. Tính bán kính mặt cầu
A.
B. .

A.

D.

. Thể tích của khối chóp

.

là mặt cầu tâm

C.

, có đáy

góc với mặt phẳng
A.

.

D.
, chiều cao là
.

.
.

D.

.

điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng
C.

.

và có bảng xét dấu đạo hàm

D.

.

như sau:

là
C. .
có tiệm cận đứng là

D. .
và tiệm cận ngang là

. Hiệu
Page 3

có giá trị là
A.

B.

C.

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

.

B.

Câu 22: Có bao nhiêu cách sắp xếp
A.

.

A.

.

.

C.

.

D.

.

D.

là một nguyên hàm của hàm số

nào sau đây?

.

thì
.

C.

.

B.

Câu 24: Nếu
A.

là
.

học sinh thành một hàng dọc?

B.

Câu 23: Hàm số

D.

C.

.

.

D.

.

bằng

B.

.

C.

.

D.

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 26: Cho hàm số

có đồ thị như hình sau:

.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
A.

.

Câu 27: Cho hàm số
của hàm số đã cho bằng

B.

.

C.

.

D.

có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Giá trị cực đại

Page 4

A. .

B.

Câu 28: Với mọi

,

tích

.

D.

.

C.

của khối tròn xoay thu được khi quay hình
.

đáy

. Gọi

B.

.

.

D.

là góc giữa hai mặt phẳng
B.

Câu 31: Cho hàm số

.

.

;

. Tính thể

xung quanh trục hoành.
.

D.

. Cạnh bên
và

C.

.
vuông góc với mặt

. Khi đó

.

D.

bằng
.

có 3 nghiệm thực phân biêt?
B.

.

Câu 32: Hàm số
liên tục trên
nghịch biến trên khoảng:
A.
Câu 33: Một đa giác đều có
đỉnh được chọn là

C.

.

D.

và có đạo hàm

B.

.

.

có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình
A.

;

C.

có đáy tam giác đều cạnh

.

.

, khẳng định nào dưới đây đúng?
B.

Câu 30: Cho hình chóp

A.

.

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

A.

A.

C.

thỏa mãn

A.
Câu 29: Ký hiệu

.

. Hàm số

C.

đỉnh. Chọn ngẫu nhiên

.

D.

đỉnh từ

đỉnh của đa giác đó. Xác suất để

đỉnh của một tam giác vuông, không cân là
B.

.

Câu 34: Tổng các nghiệm của phương trình

C.

.

D.

.

bằng
Page 5

A.

.

B.

.

C.

Câu 35: Xét các số phức thỏa mãn
cả các điểm biểu diễn hình học của
A.

.

B.

.

.

C.

.

D.

.

và đường thẳng

trình đường thẳng

đi qua

A.

.

A.

D.

là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất
là một đường tròn có bán kính bằng

Câu 36: Cho các đường thẳng

Câu 37: Cho điểm
tọa độ là

.

, cắt

B.

và vuông góc với
. C.

và đường thẳng
.

. Viết phương

B.

D.

.

. Tọa độ điểm đối xứng của

.

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng

.

C.

.

có tất cả các cạnh bằng
A'

D.
. Gọi

qua

có

.

là trung điểm của

B'

C'

M

A

B

C

Khoảng cách từ

A.

đến mặt phẳng

.

B.

.

Câu 39: Cho bất phương trình
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
khoảng
A.
.
Câu 40: Cho hàm số
mãn
A.
.

bằng.

C.

.

D.

.

với
là tham số. Có tất cả
để bất phương trình nghiệm đúng với mọi
thuộc

?
B.

.

liên tục trên
và
B.

.

C.
. Gọi

.

D. Vô số.

là hai nguyên hàm của
. Khi đó
C. .

trên

thỏa

bằng
D.

.
Page 6

Câu 41: Cho hàm số
bên dưới

có đạo hàm liên tục trên

. Đồ thị của hàm số

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
trị?
A.

.

B.

Câu 42: Cho số phức

C.
. Gọi

của biểu thức
A.

.

để hàm số

.

thỏa mãn

và

.

D. .

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
bằng
C.

Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng

có 7 điểm cực

.

. Giá trị của
B.

có đáy

.

D.

là tam giác cân tại

và
bằng
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
thể tích của khối lăng trụ
là
A.

.

B.

.

C.

Câu 44: Cho hàm số

.

với

Câu 45: Có bao nhiêu giá trị

và
B.

, cạnh đáy

và

bằng

D.

bằng
. Khi đó

.

và

. Diện tích hình phẳng giới hạn

bằng
.

C.

nguyên và

hai nghiệm phức thỏa mãn
A.
.
B.

.

là các số thực. Biết hàm số

có hai giá trị cực trị là
bởi các đường
A.
.

như hình vẽ

.

D.

để phương trình

.
có

.
.

C.

.

D.
Page 7

Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ

, gọi

là mặt phẳng đi qua hai điểm

sao cho khoảng cách từ điểm
có một véctơ pháp tuyến là
A.
.
B.

đến

đạt giá trị lớn nhất. Biết

, khi đó giá trị của tổng
C. .

.

Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
nghiệm nhỏ hơn ?
A. .
B.

với

là

.

.

B.

Câu 49: Trong không gian tọa độ

C.

.

.

.

C.

, cho 2 điểm

thỏa mãn
B.

Câu 50: Cho hàm số

có

D.

.

. Một mặt phẳng
đi
. Diện tích thiết diện tạo

,

.

D.

.

thay đổi trên mặt cầu

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

.

C.

.

là
D.

.

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
đồng biến trên

A.

.

và hình nón là

A.

A.

D.

để phương trình

Câu 48: Cho khối nón tròn xoay có đường cao
và bán kính đáy
qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm
của đáy bằng
bởi

,

B.

để hàm số

?

C. Vô số.
---------- HẾT ----------

D.

Page 8

1.D
11.D
21.C
31.D
41.A

2.C
12.D
22.C
32.B
42.A

3.B
13.A
23.D
33.B
43.D

4.C
14.B
24.D
34.D
44.C

BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.D
7.A
15.A
16.C
17.A
25.B
26.A
27.B
35.A
36.C
37.C
45.D
46.B
47.B

8.A
18.B
28.B
38.A
48.A

9.D
19.A
29.C
39.A
49.B

10.D
20.C
30.B
40.C
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Điểm

trong hình vẽ bên dưới biểu diễn số phức

A.

.

Ta có: điểm

Câu 2:

Trên khoảng

B.

.

. Chọn kết luận đúng về số phức

C.
Lời giải

.

là điểm biểu diễn của số phức

, đạo hàm của hàm số

D.

.

.

nên số phức liên hợp

là

Page 9

A.

.

B.

Đạo hàm của hàm số
Câu 3:

.

C.
Lời giải

trên khoảng

Đạo hàm của hàm số
A.

.

.

D.

là:

.

.

bằng
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có

.
Câu 4:

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 9.
B. 4.

C. 7.

.

D. 5.

Lời giải

Các nghiệm nguyên thỏa mãn là

Câu 5:

Cho cấp số nhân có
A. Thứ 6.
C. Thứ 5.

Giả sử

.

,
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số này?
B. Không phải là số hạng của cấp số.
D. Thứ 7
Lời giải

. Ta có

.

.

Vậy
Câu 6:

là số hạng thứ 6.

Trong không gian
, cho hai điểm
đoạn thẳng
có phương trình là
A.
.
B.

và
. C.
Lời giải

. Mặt phẳng trung trực của
. D.

.

Page 10

Gọi

là trung điểm của đoạn thẳng

Ta có

. Suy ra

.

.

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

đi qua trung điểm

làm vtpt, nên có phương trình là
Câu 7:

của

và nhận

.

Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
hàm số đã cho và trục tung là điểm nào trong các điểm sau

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ

Câu 8:

Biết
A.

là một nguyên hàm của hàm số
.

B.

.

trên

C.
Lời giải

.

. Giá trị của

.

D.

bằng
.

Chọn A

Ta có:
Câu 9:

Hàm số

có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
Page 11

Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
+

.

+ Hàm số có 3 cực trị nên

.

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
kính
có phương trình là

, cho hai điểm

A.

.

C.

.

Gọi

là trung điểm

.

ta có

. Mặt cầu đường

B.

.

D.
Lời giải

.

là tâm mặt cầu.

Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
Câu 11: Trong không gian tọa độ

.

, cho mặt phẳng

và đường thẳng

, sin của góc giữa đường thẳng
A.

.

B.

.

Mặt phẳng

.

và mặt phẳng

.

.
.

.

Khi đó

Ta có:

D.

có một vectơ chỉ phương là

là góc giữa đường thẳng

Câu 12: Cho số phức
A. - 2.

bằng

có một vectơ pháp tuyến là

Đường thẳng
Gọi

C.
Lời giải

và mặt phẳng

.
thỏa mãn
B. 0.

, phần thực của số phức
C. - 1.
Lời giải

bằng
D. 1.

.
Page 12

Suy ra

. Vậy phần thực của số phức

Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng

bằng 1.

có đáy là tam giác đều cạnh

và

.

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.

.

Tam giác

B.

đều cạnh

.

C.
Lời giải

D.

.

nên

Do khối lăng trụ

là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là

Thể tích khối lăng trụ là
Câu 14: Cho hình chóp
góc với mặt phẳng
A.

.

, có đáy

là tam giác vuông cân tại

. Thể tích của khối chóp
B.

.

C.
Lời giải

,

,

vuông

bằng
.

D.

.

Page 13

Thể tích của khối chóp

Câu 15: Trong không gian
là mặt cầu tâm

:

, cho điểm
và cắt mặt phẳng

. Tính bán kính mặt cầu
A.
B. .

Gọi

cắt mặt cầu

lên mặt phẳng

D.

.

. Khi đó

theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng

.

.

Vậy bán kính mặt cầu là:

.

. Gọi

theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng
C. .
Lời giải

Đường tròn này có bán kính

Câu 16: Cho số phức

và mặt phẳng

.

là hình chiếu vuông góc của

Mặt phẳng

A.

.

.

, phần ảo của số phức
B.

.

bằng:
C.

.

D.

.

Lời giải
Ta có:

, vậy phần ảo của số phức

bằng  .
Page 14

Câu 17: Tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

, chiều cao là
.

.
D.

Độ dài đường sinh của hình nón:

.

Diện tích xung quanh của hình nón là
Câu 18: Trong không gian
A.

B.

Dễ thấy:
Câu 19: Cho hàm số

.

, cho mặt phẳng

.

.

điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng

C.
Lời giải

.

nên
liên tục trên

và có bảng xét dấu đạo hàm

là

A. .

C. .
Lời giải

B. .

Hàm số

liên tục trên

hàm số

có 2 điểm cực trị.

Tiêm cận đứng của đồ thị hàm
Tiêm cận ngang của đồ thị hàm
Theo giả thiết ta có:

D.

.

.

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 20: Biết rằng đồ thị hàm số
có giá trị là
A.
B.

.

và đạo hàm đổi dấu khi qua

có tiệm cận đứng là
C.
Lời giải
là:
là:

như sau:

D. .
và

, do vậy đồ thị

và tiệm cận ngang là

. Hiệu

D.

.
.

.

Page 15

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

.

B.

là
.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Ta có:

.

Câu 22: Có bao nhiêu cách sắp xếp
A.

.

học sinh thành một hàng dọc?

B.

.

C. .
Lời giải.

D.

.

Chọn C
Mỗi cách sắp xếp
tất cả

học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của tập có

cách sắp xếp.

Câu 23: Hàm số
A.

là một nguyên hàm của hàm số
.

Hàm số

B.

.

C.
Lời giải

Câu 24: Nếu

D.

.

.

.

thì
.

nào sau đây?
.

là một nguyên hàm của hàm số

Suy ra hàm số cần tìm là

A.

phần tử. Vậy có

bằng

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
A.

.

C.

.

B.
D.
Lời giải

.
.
Page 16

.
Câu 26: Cho hàm số

có đồ thị như hình sau:

.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

Dựa vào đồ thị hàm số thì hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng
Câu 27: Cho hàm số
của hàm số đã cho bằng

A. .

.

C. .
Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại
Do đó giá trị cực đại của hàm số bằng

A.

,

D.

.

.

.

thỏa mãn
.

.

có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Giá trị cực đại

B.

Câu 28: Với mọi

và

, khẳng định nào dưới đây đúng?
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có

Câu 29: Ký hiệu
tích

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

của khối tròn xoay thu được khi quay hình

;

;

. Tính thể

xung quanh trục hoành.
Page 17

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

Xét phương trình:

D.

.

.

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành là:
.
Câu 30: Cho hình chóp
đáy
A.

. Gọi
.

có đáy tam giác đều cạnh

. Cạnh bên

là góc giữa hai mặt phẳng
B.

.

và

C.
Lời giải

vuông góc với mặt
. Khi đó

.

D.

bằng
.

Chọn B
S

C

A
M
B

Ta có

; gọi

là trung điểm

, tam giác

đều nên

.

.
Từ, và ta có

.

.

.
Page 18

Câu 31: Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình
A.

.

có 3 nghiệm thực phân biêt?
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 32: Hàm số
liên tục trên
nghịch biến trên khoảng:
A.

và có đạo hàm

B.

Xét hàm số

. Hàm số

C.
Lời giải

D.

có

.

.
Suy ra bảng xét dấu của hàm

:

Từ bảng xét dấu của hàm
Câu 33: Một đa giác đều có
đỉnh được chọn là
A.

.

suy ra hàm số

đỉnh. Chọn ngẫu nhiên

nghịch biến trên khoảng
đỉnh từ

đỉnh của đa giác đó. Xác suất để

đỉnh của một tam giác vuông, không cân là
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.
Page 19

Chọn ngẫu nhiên

đỉnh từ

Đa giác đều có

đỉnh ta có

đỉnh sẽ có

chéo sẽ tạo thành

.

đường chéo đi qua tâm của đa giá

C. Mà cứ

hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành

số tam giác vuông được tạo thành là
Mặt khác, trong số

đường

tam giác vuông. Do đó,

.

hình chữ nhật lại có

hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là

.
Gọi

là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”
.

Xác suất của biến cố

là:

.

Câu 34: Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

TXĐ

bằng

.

C.
Lời giải

, phương trình trên trở thành

. Với

.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là
Câu 35: Xét các số phức thỏa mãn
cả các điểm biểu diễn hình học của
.

B.

.

.

là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất
là một đường tròn có bán kính bằng
C. .
Lời giải

có biểu diễn hình học là điểm

Ta có

D.

.

.

.

Phần thực của số phức trên là
Do đó

.

.

Với

Gọi

D.

. Ta có

Đặt

A.

.

là số thuần ảo khi và chỉ khi

.
.

Page 20

Khi đó quỹ tích của

là đường tròn tâm

và bán kính

.

Câu 36: Cho các đường thẳng

và đường thẳng

trình đường thẳng

đi qua

A.

.

C.

.

, cắt

. Viết phương

và vuông góc với

B.

.

D.

.
Lời giải

Gọi

là một vectơ chỉ phương của

,

Do

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

và

Suy ra

.

Vậy

. Phương trình đường thẳng

Câu 37: Cho điểm
tọa độ là
A.

cần tìm là

và đường thẳng
.

Gọi

B.

là hình chiếu của

.

. Tọa độ điểm đối xứng của

.

C.
Lời giải

.

D.

trên

Ta có

qua

có

.

.
,

có VTCP

.

Vì
Gọi

.

.
là điểm đối xứng của

Khi đó:
Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng

qua

suy ra

là trung điểm

.

.
có tất cả các cạnh bằng

. Gọi

là trung điểm của

Page 21

A'

B'

C'

M

A

B

C

Khoảng cách từ

A.

đến mặt phẳng

.

B.

bằng.

.

C.
Lời giải
A'

.

D.

.

B'

C'

M

H

A

B
K
C

Gọi

là trung điểm của

, dựng

Ta có:

tại
.

.
Xét tam giác vuông

Vậy

ta có:

.

Page 22

Câu 39: Cho bất phương trình
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
khoảng
A.
.

với
là tham số. Có tất cả
để bất phương trình nghiệm đúng với mọi
thuộc

?
B.

.

C.
Lời giải

.

D. Vô số.

Ta có

.
* Xét

trên

Vậy để thoả mãn thì
trên

. Ta có bảng biến thiên của

Vậy để thoả mãn thì
Câu 40: Cho hàm số
mãn
A.
.

với

.

.

* Xét

Khi đó

. Ta có

trên

.

, suy ra có

giá trị nguyên của tham số

liên tục trên
và
B.

.

. Gọi

.

là hai nguyên hàm của
. Khi đó
C. .
Lời giải

trên

thỏa

bằng
D.

.

Ta có:

Vậy:
Câu 41: Cho hàm số
bên dưới

có đạo hàm liên tục trên

. Đồ thị của hàm số

như hình vẽ

Page 23

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
trị?
A.

.

B.

.

để hàm số

có 7 điểm cực

C. .
Lời giải

Ta có

D. .

. Từ đồ thị, suy ra

. Đặt

có 7 điểm cực trị thì

để hàm số

đổi dấu qua 7 nghiệm đó. Từ đó suy ra
đề
Câu 42: Cho số phức
của biểu thức

có 7 cực trị khi

. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
thỏa mãn

. Gọi

và

. Giá trị của

có 7 nghiệm phân biệt và
vì, đồng thời theo

.

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
bằng
Page 24

A.

.

B.

Đặt
Vì

.

C.
Lời giải

nên
nên

.

D.

.

.

. Do đó, ta có:
.

Ta lại có

.

Suy ra

.

Vậy

, với

. Dễ thấy

Ta có

liên tục trên đoạn

.

Do đó

,

Ta có:

,

,

Vậy giá trị lớn nhất của

Khi đó

.

,

là

.

; giá trị nhỏ nhất của

là

.

.

Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng

có đáy

là tam giác cân tại

và
bằng
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
thể tích của khối lăng trụ
là
A.

.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

, cạnh đáy

và

D.

bằng

bằng
. Khi đó

.

Page 25

A'

C'
N
B'
H

C

A
M
B

Gọi

,

lần lượt là trung điểm của

Tam giác

cân tại

và

suy ra

. Kẻ

.

Mặt khác

Như vậy
Ta có:

Tam giác

vuông tại

, suy ra

Tam giác

vuông tại

, có

là đường cao

Từ đó
Câu 44: Cho hàm số

với

là các số thực. Biết hàm số

có hai giá trị cực trị là
bởi các đường
A.
.

và
B.

và

. Diện tích hình phẳng giới hạn

bằng
.

C.
Lời giải

.

D.

.

Xét hàm số
Page 26

Ta có

.

Theo giả thiết ta có phương trình

có hai nghiệm

và

.

Xét phương trình
Diện tích hình phẳng cần tính là:

.
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị

nguyên và

hai nghiệm phức thỏa mãn
A.
.
B.

để phương trình

có

.
.

C.
Lời giải

.

D.

TH1. Nếu
Khi đó phương trình có hai nghiệm thực

và

Ta có
TH2. Nếu
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức

và

Mà

Kết hợp hai TH suy ra
Mà

thì phương trình luôn có hai nghiệm phức thỏa mãn

.

.

Page 27

Vậy có

giá trị

cần tìm.

Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ

, gọi

là mặt phẳng đi qua hai điểm

sao cho khoảng cách từ điểm
có một véctơ pháp tuyến là
A.
.
B.

,

.

là

lần lượt là hình chiếu của

Ta tìm được điểm

là
D.

.

.

trên

và đường thẳng

.

. Ta luôn có bất đẳng thức

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Mặt phẳng

đạt giá trị lớn nhất. Biết

, khi đó giá trị của tổng
C. .
Lời giải

Phương trình tham số của đường thẳng
Gọi

đến

.

. Khi đó

.

có một vectơ pháp tuyến là

Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
nghiệm nhỏ hơn ?
A. .
B.

. Vậy ta có

với
.

,

.

để phương trình
C.
Lời giải

.

có

D.

.

Chọn B

Ta có

.

Với

do đó

Hàm số

.

có

,

và

,

.

.

Vì vậy

.

Trường hợp 1:

trường hợp này có

cặp số thỏa mãn.

Trường hợp 2:

trường hợp này có

cặp số thỏa mãn.

Page 28

Trường hợp 3:

trường hợp này có

Trường hợp 4: với mỗi

cặp số thỏa mãn.

thì

hợp này có tất cả

có

cặp số thỏa mãn.

Câu 48: Cho khối nón tròn xoay có đường cao
và bán kính đáy
qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm
của đáy bằng

.

B.

Thiết diện tạo bởi

Từ

. Một mặt phẳng
đi
. Diện tích thiết diện tạo

và hình nón là

A.

Gọi

, trường

cặp số thỏa mãn.

Vậy có tất cả

bởi

cách chọn

và hình nón là

là trung điểm

kẻ

vuông tại

.

C.
Lời giải

.

D.

.

.

.

. Ta có:

.

:

.

.
Page 29

vuông tại

.

Vậy

.

Câu 49: Trong không gian tọa độ

, cho 2 điểm

thỏa mãn
A.

.

Mặt cầu
Ta có:

B.

:

,

thay đổi trên mặt cầu

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

.

C. .
Lời giải

có tâm

là
D.

, bán kính

.

.

,
Page 30

.
Dấu “=” xảy ra khi hai véc tơ

cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 50: Cho hàm số

là

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
đồng biến trên

A.

.

B.

để hàm số

?
C. Vô số.
Lời giải

D.

Ta có

không xác định tại
Ta có bảng xét dấu sau:

Để hàm số đồng biến trên

Có

giá trị nguyên dương của

.

---------- HẾT ----------

Page 31