Giới hạn dãy số
*Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= 0 ( > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(un ( vn) = limun ( limvn ; lim(un.vn) = limun ;
limvnlim = 
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
Nếu (n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = (
Nếu limun = ( thì lim = 0
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = 
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim 
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
d) lim e) lim

f)lim() g) lim
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim() c) lim)
d) lim) e) lim
f) lim g) lim

h) lim i) lim()
j) lim n() k) lim(
)
l) lim  m) lim(1 + n2 – )
n) lim 
4.Tính các giới hạn
a) lim  b) lim  c) lim
d) lim  e) lim f) lim
g) lim  với |a| < 1 ; |b| < 1
4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 =  ; un+1 = 
a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 =  ; un+1 = 
a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Tìm các số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....
7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ 
Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn
9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 (n ( N
a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n (n ≥ 3
b) Tính limxn
10.Cho dãy số xác định bởi : u1 =  ; un +1= 
a) Chứng minh rằng: un < 1 (n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 =  và un +1= 
a) Chứng minh rằng un < 3 ( n
b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c) Tính limun

Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số







*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu
thì

Định lý 3: Nếu

Nếu

Định lý 4:





*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ;  ; 0.( ; ( – (
1.Tính các giới hạn sau:
a)
b)

c)
d)

e)
f)

g)
h)

i)
k)
m,n(N
2.Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)

d)
e)
f)

g)
h)

i)
j)
k)

l)
m)