Giới Hạn Của Hàm Số
Bài 1 : Định nghĩa Và Một Số Định Lý
1.Giới hạn tại một điểm :
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = và dãy số biết
a) Tính f.
b) Tính limvà limf

a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng (a;b ) , có thể trừ điểm a;b) .Hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới , nếu mọi dãy số ( sao cho lim thì lim f= L .
Ta viết : .
b) Giới hạn vô cực :
Đ.n :
2. Giới hạn tại vô cực :
Đ.n:

3. Định lý về giới hạn :
Định lý 1 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x dần tới a thì :

Bài tập
Vấn đề 1: Tìm Giới Hạn Của Hàm Số Tại Điểm a
Phương pháp : Sử dụng các giới hạn cơ bản sau :
. Với C là hằng số .

Bài 1 : Tính các giới hạn sau :
a) , b) , c) , .
Bài 2: Tính các giới hạn sau :


Bài 2: Giới Hạn Một Bên
1.Định nghĩa :
a) Giới hạn bên phải : cho hàm số f(x) xác định trên b) .
b) Giới hạn bên trái : cho hàm số f(x) xác định trên (a. Ta có :
2. Định lý : Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) có giới hạn bằng L là giới hạn bên phải bằng giới hạn bên trái và bằng L .
Ta có : .
3. Một số kết quả :


Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau

Ví dụ 2: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau : f(x
Bài tập

1. Tìm giới hạn của hàm số sau


2. Tìm giới hạn của hàm số sau


3. Cho hàm số : f(x) =
Tìm m để hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn đó .

Bài 3: Khử Các Dạng Vô Định

3.Các dạng vô định :
Khi tính giới hạn của hàm số ta gặp các giới hạn sau : gọi là dạng vô định . Khi đó ta không sử dụng được các định lý về giới hạn và cũng không biết giới hạn này là bao nhiêu .Để tính được các giới hạn ta phải khử các dạng vô định trên .

Vấn đề 1 : Khử Dạng Vô Định .
Phương pháp : Giả sử có dạng . Ta khử dạng này như sau :
Phân tích f(x) = (x-a)fx) và g(x) = (x-a)gx) .
Khi đó : , sau đó tính bình thường .
Bài Tập
Bài 1 : Tìm các giới hạn sau :
a) b) c) d)
Bài 2 : Tìm các giới hạn sau :
a) b) c)
Bài 3: Tìm các giới hạn sau
a) b) c) d)
e)
Vấn đề 2: Khử Dạng Vô Định
Phương pháp : Giả sử có dạng . Ta khử dạng này như sau :
Chia cả tử và mẫu cho xlà số hạng có số mũ lớn nhất của tử và mẫu.
Bài tập
Bài 4 : Tính các giới hạn sau :
a) b) c) d)
e)
Vấn đề 3: Khử Dạng Vô Định
Giả sử lim f(x) và limg(x) = thì lim[f(x) – g(x)] có dạng
Phương pháp : Đưa dạng về dạng
Bài Tập
Bài 5 : Tính các giới hạn sau
a) b) , c) d)
e) f)


Vấn đề 4: Giới Hạn Hàm Số Lượng Giác
Phương pháp : Sử dụng định lý sau :
Định lý
Hệ quả: Nếu thì .
Bài Tập
Bài 6 . Tính các giới hạn :
a) b) c) d)
e) , f) g)