1

Link: MHN

Chuyên đề giới hạn của dãy số
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT.
Định nghĩa 1:
Dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến dương vô cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại số
tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và ε) sao cho với mọi n > N0 , ta có |xn − a| nhỏ hơn ε.
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < ε.
Ta nói dãy số (xn ) dần đến dương vô cùng khi n dần đến dương vô cùng nếu với mọi số thực
dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M ) sao cho với mọi n > N0 ,
ta có xn > M .
lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , xn > M.
Ta nói dãy số (xn ) dần đến âm vô cùng khi n dần đến dương vô cùng nếu với mọi số thực âm m
nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M ) sao cho với mọi n > N0 , ta có
xn < m.
lim xn = −∞ ⇔ ∀m < 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , xn < m.
Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô
cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
Để tính giới hạn dãy số, ta có thể dùng định nghĩa (nếu đã biết giá trị của giới hạn) hoặc sử
dụng các định lý và tính chất dưới đây:

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ
Nếu (xn ), (yÅ
n ) làãcác dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số (xn + yn ), (xn −
xn
a
cùng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a − b, a · b, . (trường hợp
yn ), (xn yn ),
yn
b
dãy số thương, ta giả sử yn ̸= 0 và b ̸= 0).

Định lý 2: Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức
Cho dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn ℓ, nếu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a < xn < b thì a ≤ ℓ ≤ b.

Định lý 3: Định lý kẹp
Cho ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) trong đó (xn ) và (zn ) có cùng giới hạn hữu hạn L, và ∃N0 ∈ N :
∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn . Khi đó (yn ) cũng có giới hạn là L.
Mệnh đề 1. Nếu dãy số (xn ) hội tụ thì (xn ) bị chặn.
LATEX by Nguyễn Minh Hải

2

Link: MHN

Định lý 4: Weierstrass
Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
Mệnh đề 2.
a) Nếu dãy (xn ) tăng và có giới hạn khi n → +∞ là L thì ta có xn ≤ L với mọi n.
b) Nếu dãy (xn ) giảm và có giới hạn khi n → +∞ là L thì ta có xn ≥ L với mọi n.

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
1.TÍNH GIỚI HẠN TỪ CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định như sau:


u1 = 10

. Tính lim un .
1
n→∞
un+1 = un + 3, ∀n ≥ 1
5
®
u1 = 3
Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định bởi
.
2un+1 = un + 1, ∀n ≥ 1

Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un , ∀n ≥ 1. Tính lim Sn .
 n→∞
u 1 = 1
Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi
. Tính lim un .
u −4
n→∞
un+1 = n
, ∀n ≥ 1
u
n+6

u 1 = 1
1
Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) xác định bởi
. Tính lim un .
n→∞
un+1 = un +
, ∀n ≥ 1
n(n + 1)

a = 4
1
Ví dụ 5: Cho dãy số (an ) thỏa mãn
.
3
(n + 2)2 a = n2 a
n
n+1 − (n + 1)an an+1 , ∀n ≥ 1
Tìm lim an .

BÀI TẬP
Bài toán 0.0.1. Cho dãy số (un ) xác định bởi un =

4n + 1
. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un .
2n

Tìm lim Sn .

Bài toán 0.0.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi


u 1 = 1
un+1 = un +

Å ãn
1
, ∀n ≥ 1
2

.

Tính lim un .
n→∞

LATEX by Nguyễn Minh Hải

3

Link: MHN

Bài toán 0.0.3. Cho dãy số (un ) xác định bởi:


u1 = 0
un+1 =

®

Bài toán 0.0.4. Cho dãy số (un ) xác định như sau
Tính giới hạn lim

u 
n
n
3

1
,n ≥ 1
2 − un

. Tìm lim un .
n→∞

u1 = 2, u2 = 5
un+2 = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ 1

.

.

Bài toán 0.0.5. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 3, un+2 = 2un+1 − un + 1, n ≥ 1.
Tính lim

un
.
n2

Bài toán 0.0.6. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 2 và un+1 = 3un + 4n , ∀n ≥ 1.
Tính lim

un
.
un+1

Bài toán 0.0.7. Cho dãy số (un ) xác định bởi


u1 = 1
un+1 = un +

1
, ∀n ≥ 1
n(n + 1)

. Tính

lim un .

Bài toán 0.0.8. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) xác định bởi u1 = 1, v1 = 2 và un =
un−1 + vn−1
√
, vn = un vn−1 khi n ≥ 2. Chứng minh rằng hai dãy (un ) và (vn ) có giới hạn và
2
tìm giới hạn đó.


u1 = 2024
2
Bài toán 0.0.9. Cho dãy số (un ) được xác định bởi
un+1 = n + 4n + 3 un , n ≥ 1
2n2 + 4n
Tìm lim un .

Bài toán 0.0.10. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 1, un+1

.

p
1 + u2n − 1
=
, ∀n ≥ 1.
un

Tính lim un .

LATEX by Nguyễn Minh Hải

4

Link: MHN

Bài toán 0.0.11. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = a ∈ R và (n + 1)2 un+1 = n2 un + 2n +
1, n ≥ 1. Tính lim un .

q
»
p
√
Bài toán 0.0.12. Cho dãy số (un ) xác định bởi un = 2 2 − 2 + 2 + · · · + 2, n ≥ 1
(có n + 1 dấu căn bậc hai). Tính lim un .
n

Bài toán 0.0.13. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un + n, n ≥ 1. Tính
lim

un
.
un+1

Bài toán 0.0.14. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 1004 và u1 +u2 +· · ·+un = n2 un , ∀n ≥ 2.
Tính lim(n2 un ).

Bài toán 0.0.15. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 1 và un =

−14un−1 − 51
, ∀n ≥ 2.
5un−1 + 18

Tính lim un .

Bài toán 0.0.16. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = a > 0 và 3(n + 2)u2n+1 = 2(n + 1)u2n +
n + 4, n ≥ 1. Tính lim un .

Bài toán 0.0.17. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = a ∈ R và
un+1 =

(n + 2)un + 2023
,n ≥ 1
n

. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) và tìm a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm
giới hạn đó.

®

Bài toán 0.0.18. Cho dãy số (un ) thỏa mãn

u1 = 2
u1 + u2 + · · · + un−1 + un = n2 un , n ≥ 1

.

Tìm giới hạn lim(n2 un ).

LATEX by Nguyễn Minh Hải

5

Link: MHN

2. SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ KẸP.

u 1 = 1
4
Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi
un+1 = u2 + un , ∀n ≥ 1
n
2
1
a) Chứng minh: 0 ≤ un ≤ , ∀n
4
3
un+1
≤ , ∀n. Tính lim un .
un
4

u 1 = 1
2
Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định bởi
un+1 =

b) Chứng minh:

a) Chứng minh: un > 0 và

un
, ∀n ≥ 1
n+1

un+1
1
≤ , ∀n
un
2

b) Tính lim un .
®

u1 = 10
. Tính lim un .
√
un+1 = un , ∀n ≥ 1

u 1 = a
un + 1
Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) xác định bởi
(với −1 < a < 0)
− 1, ∀n ≥ 1
un+1 = p 2
un + 1

Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi

a) Chứng minh: 0 < un+1 + 1 ≤ √

1
a2

+1

(un + 1), ∀n ≥ 1

b) Tính lim un .
1
Ví dụ 5. Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện 1 < x1 < 2 và xn+1 = 1 + xn − x2n , ∀n ∈ N∗ .
2
Chứng minh rằng dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm limn→∞ xn .
1
x2
Ví dụ 6. Cho dãy số (xn ) thỏa x1 = và xn+1 = n − 1, ∀n ≥ 1. Chứng minh dãy (xn ) có giới
3
2
hạn và tìm giới hạn đó.
1 + un
Ví dụ 7. Cho dãy số (un ) xác định như sau u1 > 0; un+1 =
, n ≥ 1. Chứng minh rằng dãy
2 + un
số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm limn→∞ un .

BÀI TẬP
Bài toán 0.0.19. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 =

2024
và xn+1 = x3n − 3x2n + 3xn , n ≥ 1.
2025

Tính lim xn .

Bài toán 0.0.20. Cho dãy số (un ) được xác định như sau


u1 = 2024
un+1 = un +

1
,n ≥ 1
u2n

.

LATEX by Nguyễn Minh Hải

6

Link: MHN

Tính lim

u3n
.
n

Bài toán 0.0.21. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 =

2025
và xn+1 = x2n −2(xn −1)2 , ∀n ≥ 1.
2024

Tìm giới hạn của (xn ).

Bài toán 0.0.22. Cho dãy số (xn ) xác định như sau x1 = a > 0 và xn+1 = xn +
Tìm giới hạn của dãy số

x 
n

n

.

Bài toán 0.0.23. Cho dãy số (un ) xác định bởi
Chứng minh rằng un+1 − un <

1
2n+1


u1 = 1
un+1 =

…
un +

1
, ∀n ≥ 1
2n

.

, ∀n ≥ 1 và tính lim un .

®

Bài toán 0.0.24. Cho dãy số (un ) xác định bởi
Chứng minh rằng un <

n
, ∀n ≥ 1.
xn

u1 > 0
u2n ≤ un − un+1 , ∀n ≥ 1

.

1
, ∀n ≥ 1 và tính lim un .
n

n
, ∀n ≥ 1. Chứng
xn
xn
minh rằng các dãy số yn =
; zn = xn − n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
n

Bài toán 0.0.25. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = 2; xn+1 = xn +

Hướng dẫn: 1 < yn ≤ 1 +

1
2
, 0 < zn ≤
n
n+2

1
nx2n
, ∀n ≥ 1.
2
1 + (n + 1)xn
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài toán 0.0.26. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = ; xn+1 =
Chứng minh rằng dãy số yn =

x2 x 3
xn+1
+
+ ··· +
x1 x 2
xn

Hướng dẫn: yn =

1
1
− (n + 1)xn+1 , ∀n ≥ 0, lim yn =
2
2

LATEX by Nguyễn Minh Hải

7

Link: MHN

Bài toán 0.0.27. Cho dãy số (xn ) xác định bởi

x 1 = 4
xn+1 =

2n2 + 3n + 1
n + 1p 2
xn + nxn + 2n2 +
,n ≥ 1
3n
xn + 5n

. Chứng minh rằng dãy số yn =

xn
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
n+1
Hướng dẫn: xn = nan , lim an = 1

Bài toán 0.0.28. Cho dãy số (xn ) xác định x1 = 1, xn+1 =

p

n(n + 1)

xn
; ∀n ≥ 1.
+n

x2n

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài toán 0.0.29. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 =

1
n+1
và xn+1 =
xn (n − xn ); ∀n ≥ 1.
2
n2

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

3. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN.
√
u1 = 2
. Tính lim un .
Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi
√
un+1 = 2 + un , ∀n ≥ 1
®
u1 = u2 = 1
Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định bởi
. Tính lim un .
√
√
un+1 = un + un−1 , ∀n ≥ 2
®
u1 = 2024
Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi
.
u2n − 2un un+1 + 2025 = 0, ∀n ≥ 1
Chứng minh rằng (un ) có giới hạn và tính
® giới√hạn đó.
u1 = 30
un+1
p
Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) xác định bởi:
. Tính lim
.
2
un
un+1 = 30un + 3un + 2025, ∀n ≥ 1

0 < un < 1
Ví dụ 5: Cho dãy số (un ) thỏa mãn:
1
un+1 (1 − un ) > , ∀n ≥ 1
4
®

a) Chứng minh dãy (un ) là dãy số tăng
b) Tính lim un .
Ví dụ 6: Cho dãy số (un ) xác định bởi


u 1 > 0

Å
ã
(a > 0). Tính lim un .
1
a
un+1 =
un +
, ∀n ≥ 1
2
un

u0 > 0
un
Ví dụ 7: Cho dãy số (un ) xác định bởi
. Tính lim un .
, ∀n ≥ 0
un+1 =
2
1 + un
2(2un + 1)
Ví dụ 8: Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 = 1 và un+1 =
, n ≥ 1. Tìm lim un .
un + 3
LATEX by Nguyễn Minh Hải

8

Link: MHN
Ví dụ 9: Cho dãy (an ) : a1 = a2 = 1; an+1 = an +

an−1
, n ≥ 2.
n(n + 1)

Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 10. (VMO 2011) Cho dãy số (un ) : u1 = 1; un =

n−1
2n X
ui , ∀n ≥ 2.
(n − 1)2 i=1

Đặt yn = un+1 − un . Chứng minh rằng dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞.
n+2
Ví dụ 11. (VMO 2012) Cho dãy số thực (xn ) : x1 = 3; xn =
(xn−1 + 2)∀n ≥ 2.
3n
Chứng minh rằng dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tính giới hạn đó.

BÀI TẬP

u1 = 1
Bài toán 0.0.30. Cho dãy số (un ) :
un+1 =

−1
, ∀n ≥ 1
3 + un

. Chứng minh dãy (un ) có

giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài toán 0.0.31. Cho dãy số (xn ) được xác định như sau

x 1 = 1
xn+1

Å
ã
1
2024
=
xn +
,n ≥ 1
2
xn

Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn và tìm lim xn
x→+∞

Bài toán 0.0.32. Cho số thực a > 0, xét dãy số (un ) thoả mãn 0 < un < a và
un+1 (a − un ) >

a2
n ≥ 1. Tìm lim un .
4

Bài
Å toán ã0.0.33. Cho số thực a > 0, xét dãy số (un ) thoả mãn u1 > 0 và un+1 =
1
a
un +
2
un

∀n ≥ 1. Tìm lim un .

Bài
0.0.34. Cho số thực a > 0, xét dãy số (un ) thoả mãn u1 > 0 và un+1 =
Å toán ã
1
a
2un + 2
3
un

∀n ≥ 1. Tìm lim un .

Bài toán 0.0.35. Tìm tất cả các hằng số c > 0 sao cho mọi dãy số (un ) thoả mãn
un ∈ (0; 1); un+1 (1 − un ) > c, ∀n ≥ 1 đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Với giá trị c tìm được hãy
tính giới hạn của dãy (un ).
LATEX by Nguyễn Minh Hải

9

Link: MHN

Bài toán 0.0.36. Cho dãy số (un ) thoả mãn u1 = 2024 và un+1 =

2n + 1
(un + 1), ∀n ≥ 1.
3n + 1

Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn và tính lim un .

Bài toán 0.0.37. Cho dãy số (un ) thoả mãn u1 = 2026 và un+1 =

2024n + 2
(un + 1)
2025n + 2

∀n ≥ 1. Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn và tính lim un .


2025

u 1 =
2024
Bài toán 0.0.38. Cho dãy số (un ) thoả mãn
2n + 4999

un+1 = u2n − 2un +
∀n ≥ 1
n + 2499
Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn và tính lim un .

1
2

Bài toán 0.0.39. Cho dãy số (un ) : u1 = ; un+1 = un +

.

u2n
∀n ≥ 1. Chứng minh dãy (un )
n2

có giới hạn hữu hạn.
Hướng dẫn: chứng minh un + n2 ≥

Bài toán 0.0.40. Cho dãy số (un ) thoả mãn

n(n + 1)
√
, ∀n ≥ 1
2


u1 = 24, u2 = 60
un+1 = un +

un−1
∀n ≥ 2
n(n + 1)(n + 2)

.

Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn.

Bài 
toán 0.0.41. Cho các số thực dương a, b (a > b) và hai dãy số (un ); (vn ) xác định như
u1 = a; v1 = b
u + vn
√
un+1 = n
; vn+1 = un vn , ∀n ∈ N∗
2
hạn hữu hạn và lim un = lim vn ?
sau:

. Chứng minh rằng hai dãy (un ); (vn ) có giới

Bài toán 0.0.42. Cho dãy số (xn ) : x1 = 2, x2 = 1; 3xn+2 + 3 = 2 cos xn+1 + cos xn , ∀n ≥ 1.
Tính giới hạn lim xn .

®

Bài toán 0.0.43. Cho dãy số (un ) xác định bởi

u1 = 26
p
un+1 = 2un + 3u2n − 2019, ∀n ≥ 1
LATEX by Nguyễn Minh Hải

10

Link: MHN
a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số (un ) đều là số nguyên.
b) Tìm lim

un+1
.
un

Bài toán 0.0.44. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 12,
với n ≥ 1. Tìm lim

un
.
2n2 + 1

2un+1
un + n2 − n − 2
=
n2 + 5n + 6
n2 + n

Bài toán 0.0.45. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = 2024 và xn+1 (4 − 3xn ) = 1, ∀n ≥ 1.
Tính lim xn .

Bài
toán
0.0.46. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: u0 = u1 = 1 và un+1 =
√
√
un + un−1 , ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó. (Hướng
√
√
√
dẫn: un = un−1 + un−2 < 2 un ⇒ un < 4, lim un = 4)

Bài toán 0.0.47. (VMO 2005) Xét dãy số thực (xn ) được xác định bởi x1 = a và
xn+1 = 3x3n − 7x2n + 5xn , ∀n ≥ 1 với a ∈ R. Hãy xác định a để dãy số (xn ) có giới hạn hữu
hạn. Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn: Xét hiệu un+1 − un

Bài toán 0.0.48. (VMO 1998) Cho dãy số (xn ) xác định như sau x1 = a ∈ R và
xn+1

xn (x2n + 3)
=
, ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
3x2n + 1

đó.

Bài toán 0.0.49. Cho dãy số (Sn ) xác định bởi:
Å
ã
n+1
22 23
2n
Sn = n+1 2 +
+
+ ··· +
, ∀n ≥ 1
2
2
3
n
Tính giới hạn lim Sn .

Bài toán 0.0.50. Cho dãy số (xn ) thoả mãn x1 = a > 1; xn+1 =
lim xn .

…

2 + xn
, ∀n ≥ 1. Tìm
xn + 1

LATEX by Nguyễn Minh Hải

11

Link: MHN

Bài toán 0.0.51. Dãy các hàm số (fn (x)) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) fn : (0; +∞) → (0; +∞), ∀n ≥ 1
ii) f1 (x) = x, ∀x ∈ (0; +∞)
p
iii) fn+1 (x) = x2 + 6fn (x), ∀x ∈ (0; +∞), ∀n ≥ 1.
Chứng minh rằng:
a) Với mỗi n = 1, 2, . . . tồn tại duy nhất xn ∈ (0; +∞) thoả mãn fn (xn ) = 2xn .
b) (xn ) là dãy tăng và lim xn = 4.

Bài toán 0.0.52. Cho dãy số (un ) thỏa u1 = u2 = 1 và un+2 =

2 2
2π
un+1 +
sin un , ∀n ≥ 1.
5π
5

Tìm lim un .

5
Bài toán 0.0.53. Cho dãy số (un ) thỏa u1 = và un+1 =
2
Chứng minh dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.

…
3

u3n − 12un +

20n + 21
; ∀n ≥ 1.
n+1

Hướng dẫn: un > 2, lim un = 2

Bài toán 0.0.54. Cho dãy số (un ) thỏa u1 = 1, u2 = 2 và un+2 = un+1 + un . Chứng minh
rằng dãy số (vn ) xác định bởi vn =

Pn

k=1

1
, ∀n ≥ 1 có giới hạn hữu hạn.
uk
√
√ n−1 Pn 1
2
Hướng dẫn: un > ( 2) , k=1
<√
uk
2−1

4. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY TỔNG VÀ DÃY TÍCH
Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi


u1 = 1

2
un+1 = un + un , ∀n ≥ 1
2024

.

u1 u2
un
+
+ ··· +
)?
u2 u3
un+1
Ví dụ 2: Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = 2024; xn+1 = 2024x2n + xn ,
n
X
xk
Tìm giới hạn lim
.
x
k+1
k=1
®
u1 = 1
Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi
un+1 = 1 + u1 u2 . . . un , ∀n ≥ 1
n
X 1
Đặt Sn =
. Tính lim Sn .
uk
k=1
Tính lim(

n = 1, 2, . . .

.

LATEX by Nguyễn Minh Hải

12

Link: MHN
Ví dụ 4: Cho dãy số (xn ) như sau: x1 = 1 và xn+1 =
n
X
2xi + 1
Đặt un =
. Tìm lim un .
2x
+
1
i+1
i=1

(2xn + 1)2
+ xn , ∀n ≥ 1.
2

Ví dụ 5: Cho dãy số (un ) :
®
√
√
u1 = 2 + 3
√
√
√
√
√
un+1 = ( 3 − 2)u2n + (2 6 − 5)un + 3 3 − 3 2, n ≥ 1
Đặt vn =

n
X
k=1

1
√ , ∀n ≥ 1. Tìm giới hạn lim vn .
uk + 2


1


x1 =
2»
Ví dụ 6: (VMO 2009) Cho dãy số (xn ) xác định bởi
x2n−1 + 4xn−1 + xn−1


xn =
, ∀n ≥ 2
2
n
X
1
Chứng minh rằng dãy (yn ) với yn =
có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tìm giới hạn đó.
x2i
i=1 ®
x1 = 1
p
Ví dụ 7: Cho dãy số (xn ) xác định bởi
.
xn+1 = xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + 1, ∀n ≥ 1
n
X
1
Đặt yn =
, ∀n ≥ 1. Tìm lim yn .
x +2
i=1 i

n
u1 = 2
X
uk
Ví dụ 8: Cho dãy số (un ) xác định
. Tính lim
.
1
2
un+1 − un =
uk+1 − 1
(un − un ), ∀n ≥ 1
k=1
2024
®
u1 = 1
Ví dụ 9: Cho dãy số (un ) xác định bởi
.
un+1 = 1 + u1 u2 . . . un , ∀n ≥ 1
n
X
1
Đặt Sn =
. Tính lim Sn .
u
k
k=1
un + 2022
, ∀n ≥ 1
Ví dụ 10: Cho dãy số (un ) : u1 = 0; un+1 =
−un + 2024
a) Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
b) Đặt Tn =

n
X
k=1

Tn
1
. Tính giới hạn lim
.
uk − 2022
n + 2023

Ví dụ 11: Đặt f (n) = (n2 + n + 1)2 + 1, xét dãy số (un ) xác định bởi
un+1 =

f (1).f (3) . . . f (2n − 1)
, ∀n ≥ 1
f (2).f (4) . . . f (2n)

√
Tính lim n un .

BÀI TẬP
2
Bài toán 0.0.55.
Cho dãy số (xn ) xác định
Å
ã bởi x1 = 3, xn+1 = xn − 3xn + 4, ∀n ≥ 1. Tìm

giới hạn lim

1
1
1
+
+ ··· +
.
x1 − 1 x2 − 1
xn − 1

LATEX by Nguyễn Minh Hải

13

Link: MHN
1
2

Bài toán 0.0.56. Cho dãy (xn ) xác định bởi x1 = 2 và xn+1 = (x2n + 1), ∀n ≥ 1. Đặt
Sn =

n
X

1
. Tìm phần nguyên [S2008 ] và tính giới hạn lim Sn .
xk + 1

k=1

2
BàiÅ toán 0.0.57. Cho dãy (xn ) xác
ã định bởi x1 = a > 1 và xk+1 = xk , ∀n ≥ 1. Tính

x1
x2
xn
+
+ ··· +
.
x2 − 1 x3 − 1
xn+1 − 1

lim

1
2

Bài toán 0.0.58. Cho dãy số (an ) thỏa mãn a1 = , an+1 = an +
Sn =

n
X

a2n
, ∀n ≥ 1. Đặt
2020

1
, tìm lim Sn ?
n→+∞
ai + 2020

i=1

Bài toán 0.0.59. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = α > 1, 2025xn+1 = x2n + 2024xn , n ≥ 1.
Tính lim

n
X
i=1

xi
.
xi+1 − 1

Bài toán 0.0.60. Cho dãy (xn ) thoả mãn x1 = a > 1 và xn+1 =
Å

ã
1
1
1
lim 2
+
+ ··· + 2
.
x1 − 1 x22 − 1
xn − 1

Bài toán 0.0.61. Cho dãy (un ) xác định như sau
Đặt vn =

n
X
k=1

x2n + xn − 1
. Tìm
xn


u1 = 8

1
un+1 = (u2n − 7un + 25), ∀n ≥ 1
3

.

1
. Tìm lim vn .
uk − 2

Bài toán 0.0.62. Cho dãy số (un ) xác định bởi
Tính giới hạn lim

1
n

n
X

u2i

i=1

1 + u2i

!


u1 = 2025
un+1 =

2025un (1 + u2n )
,n ≥ 1
2025u2n − un + 2025

.

.

LATEX by Nguyễn Minh Hải

14

Link: MHN

Bài toán 0.0.63. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = 2; xn+1 =

x4n − xn + 1
, ∀n ≥ 1.
x3n − xn + 1

n
X
1
Chứng minh rằng dãy số (yn ) xác định bởi yn =
có giới hạn khi n → +∞ và tính giới
3
x
k
k=1

hạn đó.

Bài toán 0.0.64. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = a > 1 và xn+1 = x2n , ∀n ≥ 1. Đặt
ã
n Å
X
i−1
xi
Sn =
1−
, ∀n ≥ 1. Tính giới hạn lim Sn .
i
x
−
1
i+1
i=1

Bài toán 0.0.65. Cho dãy số (xn ) với x1 = 1; xn+1 =
n
X
x23
i
, ∀n ≥ 1. Tính giới hạn lim un .
Đặt un =
x
i+1
i=1

x24
n
+ xn , ∀n ≥ 1.
24

Bài toán 0.0.66.
Cho a, b, c, α là các số thực và a =
̸ c − b. Dãy số (un ), (vn ) được xác định


u1 = a




u2 + bun

un+1 = n
bởi công thức
c
n

X

uk


,n ≥ 1
v
=

n

u
k+1 + b − c
k=1

. Biết rằng lim un = α. Tính giới hạn lim vn .

®

Bài toán 0.0.67. Cho dãy số (un ) thoả mãn
Tính lim

n
X

√

i=1

u1 = 2024

2
√
un+1 = un un + 1 , ∀n ≥ 1

.

1
.
ui + 1

Bài toán 0.0.68. Cho dãy số (xn ) được xác định như sau:


x1 = 2
3

xn+1 =
Tính lim

n→+∞

n
X

xn
, ∀n ≥ 1
2(2n + 1)xn + 1

xi .

i=1

LATEX by Nguyễn Minh Hải

15

Link: MHN

Bài toán 0.0.69. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1, un+1 =
2024(u1 + 1)(u2 + 1)...(un + 1)
.
2025n

Tính: lim

Bài toán 0.0.70. Cho dãy (xn ) :
Đặt yn =

un
, n ≥ 1.
un + 1

n
X
i=1


x 1 = 1
xn+1 =

(2 + cos 2α)xn + cos2 α
(2 − 2 cos 2α)xn + 2 − cos 2α

.

1
, ∀n ≥ 1. Tìm α để dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2xi + 1

1
2

Bài toán 0.0.71. Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x1 = 3 và xn+1 = (x2n + 1), n ≥ 1
Đặt Sn =

n
X
k=1

1
. Tìm phần nguyên [S2025 ] và lim Sn .
xk + 1

®

Bài toán 0.0.72. Cho dãy số (un ) xác định bởi:
Ö
u2017
1

u1 = a ≥ 1
un+1 = un (u2017
+ 1) , ∀n ≥ 1
è n

u2017
u2017
2
n
+
+
·
·
·
+
u2
u3
un+1
√
√
√
u2 + √
u3 + √
un+1 + √
u1
u2
un

Tìm lim

.

Bài toán 0.0.73. Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x1 = 1; xn+1 =
Đặt un =

n
X
(2xi + 1)2023
i=1

2xi+1 + 1

. Tìm lim un ?

®

Bài toán 0.0.74. Cho dãy số (un ) xác định bởi:
Tính lim

n→+∞

n
X
i=1

(2xn + 1)2024
+ xn , ∀n ≥ 1.
2024

u1 = α > 1
2024un+1 = u2n + 2023un , n ≥ 1

.

ui
?
ui+1 − 1

®

Bài toán 0.0.75. Cho dãy số (un ) xác định bởi:

u1 = π
un+1 = u2n − 2, ∀n ≥ 1

.

LATEX by Nguyễn Minh Hải

16

Link: MHN
u2n+1
.
2
2
n→+∞ u2
1 .u2 ...un

Tìm lim

Bài toán 0.0.76. Cho dãy số (un ) xác định bởi:
n
X
ui − 1
Xét dãy số (Sn ) với Sn =
. Tính lim Sn .
u −2
i=1 i+1

®

Bài toán 0.0.77. Cho dãy (un ) xác định bởi
Đặt Sn =

2
un+1 = un + 2021un + 2 , ∀n ≥ 1
2024

√
u1 = 5
un+1 = u2n − 2, ∀n ≥ 1

.

n
X

u2
k=1 k


u1 = 2025
un+1 =

u3n + 20242
, ∀n ≥ 1
u2n − un + 4048

n
X
k=1

.

1
, ∀n ≥ 1. Tính lim vn .
+ 2018

Bài toán 0.0.79. Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x1 = 1; xn+1 = 1 +
Đặt yn =

.

1
1
1
+
+ ··· +
. Tính lim Sn .
u1 u1 u2
u1 u2 ...un

Bài toán 0.0.78. Cho dãy số (un ) xác định bởi
Đặt vn =


u 1 = 3

n
X

x3k , ∀n ≥ 1.

k=1

xk
, ∀n ≥ 1. Chứng minh dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn
1 + x2k

đó.

Bài toán 0.0.80. Cho dãy số (un ) thỏa mãn
Đặt Sn =

n
X


u1 = 1
un+1 = √

2un
, ∀n ≥ 1
5un + 1 + 1

.

u2i . Chứng minh dãy (Sn ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

i=1

LATEX by Nguyễn Minh Hải

17

Link: MHN

Bài toán 0.0.81. Cho dãy số (un ) xác định bởi:

u1 = 1, u2 = 2024
Å
ã
2023un
2023
un+1 =
+ 1+
un−1 , n ≥ 2
n
n−1
ã
Å
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
.
Tính lim
n→+∞ u1
u2 u3
un

LATEX by Nguyễn Minh Hải

18

Link: MHN

LỜI KẾT
Tài liệu này hoàn toàn được lấy từ tài liệu 'Bài tập giới hạn dãy số cho lớp 10 Toán 2' của
giáo viên: Nguyễn Phong Vũ. Tuy nhiên tài liệu ở trên mạng và phải trả phí mới tải được nên tôi
đánh tài liệu này mong giúp các bạn có thể học tập và nghiên cứu dạng toán này một cách dễ dàng
hơn. Xin cảm ơn !!!

LATEX by Nguyễn Minh Hải