TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN MÔN LỚP 11
CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

GV: Nguyễn Đức Thiện –Trường THPT Yên Dũng 3


I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:

;


;

2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
( lim (un + vn) = a + b
( lim (un – vn) = a – b
( lim (un.vn) = a.b
(
(nếu b ( 0)
b) Nếu un ( 0, (n và lim un= a thì a ( 0 và lim

c) Nếu
,(n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =


1. Giới hạn đặc biệt:




2. Định lí:
a)Nếu
thì

b) Nếu lim un = a, lim vn = (( thì lim
= 0
c) Nếu lim un =a ( 0, lim vn = 0
thì lim
=

d) Nếu lim un = +(, lim vn = a
thì lim(un.vn) =

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
,
, ( – (, 0.( thì phải tìm cách khử dạng vô định.

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
( Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD: a)

b)

c)

( Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức


VD:
=
=
=

( Dùng định lí kẹp: Nếu
,(n và lim vn = 0 thì lim un = 0
VD: a) Tính
.
Vì 0 (
và
nên

b) Tính
.
Vì

nên 0 (
.
Mà
nên


Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
( Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
( Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
( Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +( nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –( nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng).
Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung)
 lim(n2 ( n + 1). ĐS: +(
lim((n2 + n + 1). ĐS: -(
lim
ĐS: +(
lim
ĐS: -(
lim(2n + cosn). ĐS: +(
lim(
n2 ( 3sin2n + 5). ĐS: +(
un =
. ĐS: +(
un = 2n ( 3n. ĐS: - (

ĐS: 0

ĐS: 0
lim
ĐS: 0

ĐS: 2/3

ĐS: 3

ĐS: 1
lim ĐS: -1/2
lim ĐS: 2
lim
ĐS: 2

ĐS: +(

ĐS: -(

ĐS: -(
Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)

ĐS: 1

ĐS: 7

ĐS: 0

ĐS: 5

ĐS: -1/2

ĐS: 1/3
Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất;)
Chú ý:
có mũ

có mũ


ĐS: 2

ĐS: 0

ĐS: 0

ĐS: 2

ĐS: 2

ĐS: -1
Tính các giới hạn sau:
Nếu bài toán có dạng: + Vô cùng – vô cùng không có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau).
+ Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống