Bài 1: Cho ba số nguyên dương a, b. c thỏa mãn a3 + b3 + c3 chia hết cho 14. Chứng minh rằng abc cũng chia hết cho 14.
Hướng dẫn
Xét số nguyên n


Từ chứng minh trên ta có một số nguyên dương mũ 3 chia cho 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6
Mà a3 + b3 + c3 chia hết cho 7 nên ít nhất phải có 1 số chia hết cho 7 suy ra abc chia hết cho 7
Mà a3 + b3 + c3 chia hết cho 14 suy ra tổng chẵn nên trong ba số a,b,c có ít nhất 1 số chẵn nên abc chia hết cho 2 vậy abc cũng chia hết cho 14
Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.
Hướng dẫn
Ta có n lớn hơn 3
-Với n lẻ
có tận cùng là 2 hoặc 8 suy ra
có thận cùng là 7 hoặc 3 nên không là số chính phương
-Với n chẵn đặt
đặt

Do t là số tự nhiên nên
là Ư(15) từ đó tính được k=2 hoặc k=3 khi đó n=4 hoặc n=6