( Phần dùng lượng giác với hàm số phía sau chưa phải làm nha. Kiến thức đó lên 11, 12 mới dùng được)
2. Hệ đối xứng loại (kiểu) II:
a. Định nghĩa:
Là hệ phương trình có dạng tổng quát
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)
b. Phương pháp giải chung:
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.
c. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:
- Phương pháp đánh giá.
- Phương pháp đồ thị.
- Phương pháp điều kiện cần và đủ.
d. Ví dụ:
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình
(11)
GIẢI
Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được:



Với x= y thay vào (*) ta có :


Với x=1- y thay vào (*) ta có :

(vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (1; 1) và (2; 2).
* Các trường hợp khác:
i) Có những hệ phương trình sau khi đưa ra dạng tích không biểu diễn được x theo y mà phải sử dụng cách đánh giá.
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình

GIẢI
Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được:




Do
với
nên (***)
thay vào (*) ta được:

Vậy hệ (12) có 3 nghiệm (0;0) ; (
;
) ; (-
; -
)
ii) Có những hệ phương trình sau khi đưa ra dạng tích không biểu diễn được x theo y mà cũng không sử dụng được cách đánh giá.
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình

GIẢI
Nhận xét: Nếu dùng cách giải thông thường trừ (*) cho (**) vế với vế ta được:


Đối với trường hợp (***) nếu kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ thì rất phức tạp. Ta có thể giải theo cách sau:
Trừ và cộng (*) và (**) vế với vế ta được:





TH1:

TH2:

TH3:

TH4:

Vậy hệ phương trình (13) có 5 nghiệm (0; 0); (
;
); ( -
; -
) ; (1; -1) ; (-1; 1).
iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại II không giải được theo phương pháp quen thuộc ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II giải được theo phương pháp quen thuộc.
Ví dụ 14. Giải hệ phương trình

GIẢI
Đặt

Hệ (14) trở thành
theo phương pháp thông thường ta được nghiệm của hệ (14) là (1;1)
Ví dụ 15. Giải hệ phương trình

GIẢI:
Đặt

Hệ phương trình (15) trở thành

Giải theo phương pháp thông thường ta được nghiệm của hệ (15’) là :


Vậy hệ phương trình (15) có các nghiệm là (0; 0) ; (3; 3) ; (3; -3) ; (-3; 3) ; (-3; -3) ;
(
;
); (
;
) ; (
;
) ; (
;
);
(
;
); (
;
) ; (
;
) ; (
;
)
iv) Một số dạng hệ phương trình đối xứng loại II thường được giải theo phương pháp biến đổi tương đương.
Ví dụ 16. Giải hệ phương trình

GIẢI:
Điều kiện

Các vế của hệ phương trình (16) dều không âm. Bình phương hai vế ta được:



=>

Thay x=y vào (*) ta được:


Vậy hệ phương trình (16) có nghiệm (11; 11).
v) Một số trường hợp khi điều kiện để các biểu thức có nghĩa ta suy ra được điều kiện cho ẩn từ đó có thể dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ bằng phép lượng giác hóa. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình

GIẢI:
Điều kiện

Đặt

Biến đổi phương trình về dạng:




Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm (0; 0) ; (1; 1).
vi) Một số trường hợp hệ phương trình đối xứng loại II không giải được theo các phương pháp quen và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về các giải quen thuộc. Khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 18. Giải hệ phương trình

GIẢI:
Điều kiện

Cộng vế theo vế của 2 phương trình của hệ ta có:

(*)
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:


=>