SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2005 - 2006
MÔN: TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút



Bài 1: a) Chứng minh nếu các số không âm a, b, c thoả mãn:

thì

b) Các số thực x, y, z thoả mãn đẳng thức:

. Chứng minh:

Bài 2: Tìm nghiệm (x, y, z) với x > 0; y > 0; z > 0 của hệ phương trình:


Bài 3: Cho tam giác ABC cố định. Hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho M, N thuộc đường thẳng BC; P, Q thứ tự thuộc các cạnh AC, AB.
Tìm vị trí của P, Q trên các cạnh AC, AB để diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
Khi hình chữ nhật MNPQ thay đổi thì giao điểm I của 2 đường chéo của nó chạy trên đường nào?
Bài 4: Trên nửa đường tròn (O), đường kính BC lấy điểm A. Vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi M, N thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB, AC. Các dây BN, CM cắt nhau tại K. Tia phân giác của các góc AHB, AHC lần lượt cắt BN, CM tại E và F. Chứng minh:
a)

b) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Bài 5: Các số dương x, y thoả mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: