Hướng dẫn giải một số câu khó của bài hình đơn giản
Lời bàn: Đôi khi chỉ từ 1 bài hình học rất đơn giản lại suy ra những câu hỏi chứng minh rất khó. Mời các bạn và thầy cô tham khảo và thử sức
Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) có đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Kí hiệu S là diện tích và P là chu vi


Chứng minh rằng:
1/ 2/
3/ 4/
5/
6/ BE.CD = BD.HD + EH.EC + 3BD.EC
7/ 8/
9/
10/ = 1
11/
12/
13/

14/

Hướng dẫn giải
Để chứng minh được các câu trên chúng ta cần biết các kết quả hệ thức lượng trong tam giác vuông và suy ra từ các tam giác đồng dạng
AB2 =BH.BC ; AC2 =AC.BC ; AH2 =BH.HC ; AH.BC = AB.AC ; AB.HC=AC.HB
…Tương tự cho tam giác AHB và AHC. BD.BC = BH.AB ; EC.BC = HC.AC
.Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ; AD.AE = HD.HE = BD.EC ; AB.EC = AH.HC
; BD.AC =AH.HB ; EC.HB = AH.HE ; BD.HC = AH.HD ;
AD.AE.BC = BD.EC.BC= AH3
Để chứng minh hệ thức trên ta có: AD.AE.BC.AH = AD.AE.AB.AC = AD.AB.AE.AC
= AH2.AH2 = AH4 => AD.AE.BC = AH3 ; AB3 = BD . BC2 ; AC3 = EC . BC2
Để chứng minh hệ thức trên ta có AB4 = BH2 . BC2 = BD.AB.BC2 => AB3 = BD.BC2
Quay trở lại bài toán ta có:
1/
=>

Từ hệ thức trên áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có hệ thức cần chứng minh
2/
Ta có biến đổi

và

Ta có VP = = VT
Vậy công thức được chứng minh
3/
Ta có biến đổi
=> VT = BC2
Ta có => VP = BC2
Vậy VT = VP công thức được chứng minh
4/
Ta có:

(1)
=> =>
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta có:

(2) . VT = (2) : (1) = = VP
Vậy công thức được chứng minh xong
5/
Ta có: VT2 = BD.BC + AH.EC + = BD.BC + AH.EC +
= BD.BC + AH.EC + 2AH2 = BH.AB + HE.HC + BH.HC + HE.AB (Do HB.HC = AD.AB= HE.AB = AH2 , BD.BC = BH.AB ; AH.EC =HE.HC ; BD.EC.BC = AH3 nhờ vào các hệ thức lượng trong tam giác vuông). Những câu về sau sẽ không nhắc lại
VP2 = (BH + HE).(AB + HC) = BH.AB + BH.HC + HE.AB + HE.HC
Vậy VT2 =VP2 , VT>0 , VP>0 nên VT = VP vậy công thức được chứng minh.
6/ BE.CD = BD.HD + EH.EC + 3BD.EC
Ta có: VT2 = (AE2 + AB2).(AD2 + AC2 ) = AD2.AE2 + AE2.AC2 + AB2.AD2 + AB2.AC2
= + 2AH4 + AH2.BC2 =
=> VT =
= BD.EC + AH.BC
Ta lại có AH.BC =

Vậy VT = BD.HD + EH.EC + 3BD.EC = VP. Công thức được chứng minh xong.
7/
Biến đổi VT =
= HB + HC = BC
VP = = BC
Vậy VT = VP. Công thức được chứng minh xong
8/
Theo như câu 3 ta đã có
Biến đổi VT =
=> =>
Đồng thời => =>
Suy ra VP = = VT. Vậy công thức được chứng minh xong.
9/
Biến đổi
Tương tự ta có Từ đó dễ thấy VT =
và =>
Đồng thời => .