Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
là
, với
là hình chiếu của
trên đường thẳng
.
Kí hiệu:
.
② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
là
, với
là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Kí hiệu:
.
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.


④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng
và mặt phẳng
song song với nhau là khoảng cách từ một điểm
bất kì thuộc đường
đến mặt phẳng
:


⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.



⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Đường thẳng c cắt hai đường thẳng
và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của
.
gọi là đoạn vuông góc chung của
.


Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.



KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
cho trước
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng
hạ
với
.
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài
dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường tròn, …


( Chú ý:
Nếu tồn tại đường thẳng
qua
và song song với
thì:
.
Nếu
, thì:
.
b. Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng

Các bước thực hiện:
Bước 1. Tìm hình chiếu
của
lên
.
Tìm mặt phẳng
qua O và vuông góc với
.
Tìm
.
Trong mặt phẳng
, kẻ
tại H.
( H là hình chiếu vuông góc của O lên
.
Bước 2. Khi đó
là khoảng cách từ O đến
.
( Chú ý:
Chọn mặt phẳng
sao cho dễ tìm giao tuyến với
.
Nếu đã có đường thẳng
thì kẻ
cắt
tại H.
Nếu
thì:
.
Nếu
cắt
tại I thì:


2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Trường hợp a ( b:
Dựng mặt phẳng
chứa a và vuông góc với b tại B.
Trong
dựng BA ( a tại A.
(
là đoạn vuông góc chung.
Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
Dựng mp
chứa a và song song với b.
Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM( ( (() tại M(
Từ M( dựng b(// b cắt a tại A.
Từ A dựng
cắt b tại B.
( AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)
Dựng mặt phẳng
tại O,
cắt b tại I
Dựng hình chiếu vuông góc b( của b lên

Trong mp
, vẽ OH ( b( tại H.
Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
Từ B dựng đường thẳng song song với
cắt a tại A.
( AB là đoạn vuông góc chung.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
Tìm đoạn vuông góc chung AB của
.


Cách 2. Dựng mặt phẳng
chứa a và song song với b. Khi đó:

Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:


3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng
đi qua 3 điểm
:
+ Mặt phẳng
đi qua điểm
có vtpt
có dạng:


+ Khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng
:


Công thức tính nhanh:

b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
là:

c) Góc giữa hai đường thẳng
theo công thức:

d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
:

có vecto pháp tuyến
;
có vtpt
, khi đó:



e) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
:
Tính
và
có vtpt
, thì: