Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ........................................................................................2
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM................................................................................................................................2
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA...............................................................................................................................6
C. CÁC DẠNG TOÁN.....................................................................................................................................................7
Dạng 1: Hàm số bậc ba và một số bài toán liên quan.................................................................................................7
1. Các ví dụ..............................................................................................................................................................8
2. Bài tập rèn luyện.................................................................................................................................................9
Dạng 2: Hàm số nhất biến và các bài toán liên quan.................................................................................................10
1. Các ví dụ............................................................................................................................................................11
2. Bài tập rèn luyện...............................................................................................................................................13
Dạng 3. Hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số bài toán liên quan..............................................................14
1. Các ví dụ............................................................................................................................................................16
2. Bài tập rèn luyện...............................................................................................................................................16
Dạng 4: Toán Thực Tế...............................................................................................................................................18
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN..............................................................................................................................18
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI......................................................................................................................................33
F. TRẢ LỜI NGẮN.......................................................................................................................................................36

1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm

. Tìm các điểm tại đó

bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Xét dấu
để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
-Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Chú ý. Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tim giao điểm của đồ
thị với các trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ
thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).
2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Trong mục này, ta sử dụng sơ đồ tổng quát ở Mục 1 để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc
ba.
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải
1. Tập xác định của hàm số: .
2. Sự biến thiên:
- Ta có:

. Vây

khi

hoặc

.

.

- Trên khoảng
nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng
nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
- Hàm số đạt cực tiểu tại

, giá trị cực tiểu

và

,

. Hàm số đạt cực đại tại

nên hàm số

, giá trị cực đại

.
- Giới hạn tại vô cực:
- Bảng biến thiên:

.

3. Đồ thị (H.1.28):
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm

.

- Ta có

hoặc

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

.

2

và

.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Chú ý. Đồ thị của hàm số bậc ba

:

- Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ thoả mãn
- Không có tiệm cận.

, hay

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải
1. Tập xác định của hàm số: .
2. Sự biến thiên:
- Ta có:

. Vây

với mọi

- Hàm số đồng biến trên khoảng
- Hàm số không có cực trị.

.
.

.

.

- Giới hạn tại vô cực:
- Bảng biến thiên:

;

3. Đồ thị (H.1.29):
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm

.

- Ta có
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

.

3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỐ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
3

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Trong mục này, ta sử dụng sơ đồ tổng quát ở Mục 1 để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm
phân thức hữu tỉ đơn giản.
a) Hàm số phân thức
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải
1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên:
- Ta có:

.

.

với mọi

.

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:

và

.

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
- Bảng biến thiên:

, tiệm cận ngang là đường thẳng

.

3. Đồ thị (H.1.30):

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điẻm

.

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm

.

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân
giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.
Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức
:
- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;
- Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
b) Hàm số phân thức
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
.
Lời giải
4

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

1. Tập xác định của hàm số:

.

2. Sự biến thiên: Viết

.

- Ta có:

. Vậy

- Trên các khoảng
và

và

,

hoặc

.

nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng

nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

- Hàm số đạt cực đại tại

với

; hàm số đạt cực tiểu tại

với

.

-

.

- Tiệm cận:

;

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
- Bảng biến thiên:

, tiệm cận xiên là đường thẳng

.

3. Đồ thị (H.1.31):

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Ta có

.

hoặc

.

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm

và

.

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân
giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
5

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên:
- Viết

Lời giải

.

, ta có

với mọi

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng
- Hàm số không có cực trị.

và

.
.

-

.

- Tiệm cận:

;

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

.

:

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Ta có
các điểm

, tiệm cận xiên là đường thẳng

hoặc
và

.
. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

.

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức
, đa thức tử không chia hết cho đa thức
mẫu):
- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;
- Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
1.21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)

;

6

b)

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

1.22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
b)
1.23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)

.

b)

1.24. Một cốc chứa

dung dịch

Một bình chứa dung dịch
a) Tính nồng độ

.

(potassium hydroxide) với nồng độ

khác với nồng độ

trong cốc sau khi trộn

.

được trộn vào cốc.
từ bình chứa, kí hiệu là

.

b) Coi
là hàm số xác định với
. Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Giải thích tại sao nồng độ
trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml
1.25. Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở
mạch điện được tính theo công thức

Giả sử một điện trở

và

thì điện trở tương đương

của

(theo Vật Ií đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được ki hiệu

là
thì điện trở tương đương
là hàm số của . Vẽ đồ thị của hàm số
thị đã vẽ, hãy cho biết:
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi tăng.
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá
.
C. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Hàm số bậc ba và một số bài toán liên quan.
Phương pháp
1. Khảo sát hàm bậc ba:

Tập xác định
.




Đạo hàm
Nếu
Nếu



Đạo hàm cấp hai:



là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Giới hạn:



Nếu




o
o

o
o

Nếu
thì
Bảng biến thiên:
Trường hợp
:
Nếu
hàm có hai cực trị.
Nếu
hàm số luôn tăng trên .
Trường hợp
:
Nếu
hàm có hai cực trị.
Nếu
hàm số luôn giảm trên .

hàm có hai cực trị.
hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên

thì

7

.

và dựa vào đồ

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727


Đồ thị: Vẽ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm của đồ thị với các trục tọa
độ). Kết hợp với bảng biến thiên để biết “ dáng điệu” của đồ thị hàm số.
Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba có bốn dạng sau đây:
a>0
a<0
y
y
y' = 0 có 2
nghiệm phân biệt

( Có hai cực trị)

y' = 0 vô nghiệm
hoặc có nghiệm
kép


( Không có cực
trị)

I
0

0

x

y

x

I

y
I

0

I

0

x

x

2. Các tính chất của hàm bậc ba thường gặp


Hàm có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi



Hàm số luôn đồng biến trên



Hàm số luôn giảm biến trên



Để tìm các giá trị cực trị (trong trường hợp hoành độ nghiệm tương đối xấu) ta lấy
ta được:

. Nếu

là nghiệm của

chia cho

thì

Khi đó đường thẳng đi qua hai cực trị là
.

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Đồ thị cắt
tại 3 điểm phân biệt Đồ thị hàm số có hai cực trị và các giá rị cực trị trái dấu nhau

Đồ thị cắt
tại 2 điểm phân biệt Đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên
.

Đồ thị cắt
tại 1 điểm
Hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị trái dấu.

Tiếp tuyến: Gọi là điểm uốn. Cho
.

Nếu
thì có đúng một tiếp tuyến đi qua
và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất (nếu
và lớn nhất (nếu

Nếu
thì có đúng hai tiếp tuyến đi qua .
1. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số

có đồ thị

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vào đồ thị
Ví dụ 2. Cho hàm số

.

, biện luận số nghiệm của phương trình sau theo
có đồ thị

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Ví dụ 3. Cho hàm số

.

.
.
tại điểm

, trong đó

là tham số
8

.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với

b)

Với giá trị nào của

thì hàm số đồng biến trên khoảng

Ví dụ 4. Cho hàm số

.

có đồ thị là

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm

.

.

để phương tròn sau có 6 nghiệm phân biệt

Ví dụ 5. a) Tìm các hệ số

sao cho hàm số

đạt cực đại tại điểm

và

đồ thị
của nó tiếp xúc với đường thẳng
tại giao điểm của
với trục tung.
b)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với các giá trị
vừa tìm được.
Ví dụ 6. Cho hàm số
a)

có đồ thị

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm

để đường thẳng

cắt

tại ba điểm phân biệt

sao cho

.
c)

Tìm những điểm nằm trên

mà qua đó kẻ duy nhất một tiếp tuyến đến

.

Ví dụ 7. Cho hàm số
a)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
.
b)
Xác định để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng qua đường thẳng
c)
Xác định để đường thẳng
cắt đồ thị tại các điểm
với
.
Ví dụ 8. Cho hàm số

,

là tham số

a) Xác định giá trị của
để bất phương trình sau thỏa mãn
b)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
.
c)

Gọi

là tiếp tuyến với

luận số tiếp tuyến của

đi qua

tại điểm uốn và

là điểm bất kì trên

. Tùy theo vị trí của

, hãy biện

.

Ví dụ 9. Cho hàm số

có đồ thị là

.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
xứng.

của hàm số khi

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của

tại điểm uốn đi qua một điểm cố định khi

c) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà
2. Bài tập rèn luyện

. Chứng minh rằng

có một tâm đối
thay đổi.

không đi qua với mọi giá trị

BT 1. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

.

BT 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b)
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị.

.

BT 3. a) Tìm các hệ số
sao cho đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ
là 2 và tiếp xúc với đường thẳng
tại điểm có hoành độ là .
b)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với các giá trị vừa tìm được của
.
9

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BT 4.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b)

.

Chứng minh rằng phương trình

nhỏ hơn

có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm

.

BT 5. Cho hàm số

có đồ thị là

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b)

Tùy theo

c)

Gọi

khi

, giải và biện luận phương trình
là hai điểm cực trị của của

.

, tìm điểm

BT 6. Cho hàm số
, là tham số
a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
b)
c)

trên

sao cho tam giác

.

.

Tìm tất cả các giá trị tham số
để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Tìm
để đồ thị hàm số đã cho cắt
tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

BT 7. Cho hàm số

(1)

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b)
c)

Viết phương trình tiếp tuyến của
Tìm tất cả các giá trị của tham số

hơn

.

khi

.

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
.
để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn

BT 8. Cho hàm số
a)
Chứng minh rằng đường cong (*) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi
b)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
.
c)

cân tại

Biện luận theo

số nghiệm của phương trình

BT 9. Cho hàm số
có phương trình

ba điểm phân biệt

,

của hàm số trên khi

và điểm

để

sao cho tam giác

của

và

tại

cắt đường thẳng

có diện tích bằng

Tập xác định:


o

Đạo hàm:
Nếu

cắt

tại

.

.

tại 3 điểm phân biệt

,

vuông góc với nhau.
Dạng 2: Hàm số nhất biến và các bài toán liên quan

hàm số đồng biến trên

sao cho

.

Phương pháp
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm



.

. Tìm các giá trị của tham số

BT 10. Cho hàm số
có đồ
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
b) Xác định

.

có đồ thị là

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b) Cho

.

.
10

sao cho các tiếp tuyến

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

o


Nếu
hàm số nghịch biến trên
Giới hạn, tiệm cận:



.

Bảng biến thiên:
x
y'

+∞

-d/c

-∞

+

+

a
c

a

-∞

y'

+∞

y

x

-∞

y

-

+∞

a
c

a

-∞

c



+∞

-d/c

c

Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
y

y

0

0

x

x

2. Một số tính chất thường gặp

Hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
bc > 0
ad – bc < 0

Đồ thị hàm ad
số –nhận
giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm
đối xứng

Không có bất kì tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai đường tiệm cận


o
o
o
o

Gọi

là điểm tùy ý trên

và

là tiếp tuyến tại

.

luôn nhận
làm trung điểm.
Diện tích tam giác
không đổi.
Tích số
không đổi.
Diện tích tứ giác
không đổi.

o
nằm về ở hai nhánh phân biệt của đồ thị hàm số thì các hoành độ của
phía tiệm cận đứng.
1. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số
nó.
b)

với

Xác định

nằm về hai

, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của

để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua
11

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi

Ví dụ 2. Cho hàm số
a)
b)
c)

,(

.

là tham số) có đồ thị

Xác định
để đồ thị
đi qua điểm
.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
vừa tìm được.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Ví dụ 3. Cho hàm số
có đồ thị
.
a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b) Chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
c)
Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị
với trục hoành.
d) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
Ví dụ 4. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

.

.

b) Với giá trị nào của
thì đường thẳng
đi qua điểm
đã cho

Tại hai điểm phân biệt.

Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

và có hệ số góc

cắt đồ thị của hàm số

Ví dụ 5. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng minh rằng đường thẳng
biến thiên.
c) Tìm các giá trị
của

luôn đi qua một điểm cố định của đường cong

sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong

có đồ thị

.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

.

, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

c) Tìm trên
những điểm
ngắn nhất .

sao cho tiếp tuyến tại

Ví dụ 7. Cho hàm số

(1).

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị

của hàm số (1).

b)

Tìm những điểm trên đồ thị

của

Ví dụ 8. Cho hàm số

có đồ thị là

tại

sao cho

tại

với đường thẳng đi qua

và giao điểm hai

.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm tọa độ điểm

cắt hai tiệm cận của

có tọa độ nguyên.

c)
Tìm điểm thuộc đồ thị
để tiếp tuyến của
đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9.

.

sao cho khoảng cách từ điểm

Ví dụ 9. Cho hàm số
a)

tại hai điểm thuộc cùng một nhánh

.

Ví dụ 6. Cho hàm số

a)

khi

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

.
12

đến đường thẳng

bằng

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b)
Định

Chứng minh rằng đường thẳng
để đoạn
ngắn nhất.

c)

Gọi

là đường thẳng đi qua

lượt thuộc hai nhánh của
d)

Tìm hai điểm

có hệ số góc

thuộc hai nhánh của

tại hai điểm phân biệt

. Định

. Khi đó tìm quỹ tích trung điểm

Ví dụ 10. Cho hàm số
a)

luôn cắt

để

cắt

của đoạn

sao cho độ dài đoạn

với mọi

tại hai điểm

.
lần

.
ngắn nhất.

có đồ thị là

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi

.

b)

Chứng minh các đường
và
. Tìm để
ngắn nhất.
2. Bài tập rèn luyện

có chung hai điểm

nằm trên đường thẳng

BT 1. Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b) Tìm tọa độ điểm
nhất .
BT 2. Cho hàm số

thuộc

y=

của hàm số .

sao cho khoảng cách từ điểm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

b)

Tìm những điểm trên đồ thị

là lớn

của hàm số đã cho.

cách đều hai điểm

và

.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b) Tìm trên đồ thị

tại

x+2
2x−1

a)

BT 3. Cho hàm số

tới tiếp tuyến của

của hàm số.

hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng

biết

và

.

BT 4. Cho hàm số
có đồ thị là
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Giả sử là tiếp tuyến tại điểm
lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến

của đồ thị hàm số (C). Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ
là ngắn nhất.

BT 5. Cho hàm số
có đồ thị là
.
a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
b)
Tìm tất cả các giá trị
để đồ thị hàm số
thời hoành độ và tung độ của điểm đó trái dấu nhau.

.
có ít nhất một điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng

BT 6. Cho hàm số
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của
c) Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số
13

.

với trục hoành.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BT 7. Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b) Tìm những điểm trên đồ thị

của hàm số.

có tọa độ nguyên.

c) Gọi
là giao điểm của đường thẳng
phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho
BT 8. Cho hàm số

với đồ thị hàm số
nhỏ nhất.

và đường thẳng

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

. Tìm điểm

thuộc đường

.
.

b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng
cắt
.

Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị.

Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
BT 9. Cho hàm số

có đồ thị

a) Chứng minh rằng
b) Gọi

luôn tiếp xúc nhau tại 1 điểm cố định, viết phương trình tiếp tuyến chung.

là đồ thị hàm số khi

thuộc về hai nhánh của

. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến

.

c) Trên
lấy các điểm
tung độ các điểm trên.

có hoành độ tương ứng là

. Gọi

là

Đặt
Đặt

.

Tính
BT 10. Cho hàm số

có đồ thị là

a) Chứng minh rằng họ đường thẳng
đoạn
ngắn nhất.

luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt

b) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với
thẳng lớn nhất.
c) Chứng minh

sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của

, tử và mẫu không có nghiệm chung

Viết hàm số dưới dạng
Tập xác định:
Giới hạn và tiệm cận
nên

là tiệm cận đứng
nên

là đường tiệm cận xiên
14

để

tới đường

nhận các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận làm trục đối xứng.
Dạng 3. Hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số bài toán liên quan

Phương pháp: Với hàm số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số




Tìm

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727


o

Đạo hàm
Phương trình

. Dấu của đạo hàm là dấu của
.
hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép thì hàm không có cực trị.

o

o

Phương trình
có hai nghiệm phân biệt thì hàm có hai cực trị.
Bảng biến thiên
Trường hợp có hai cực trị
-e
-∞

x

x1
+

y'

0

d
-

-

+∞
+

+∞

CĐ

y

x2
0

-∞

+∞
CT

-∞

hoặc
-e
-∞

x

-

y'

0

+

+
+∞

+∞

y

CT

o

x2

d

x1

0

+∞
-

CĐ
-∞

-∞

Trường hợp không có cực trị
x

-∞

y'
y

-

e

+∞

d
-

+∞

+∞
-∞

-∞

hoặc
x

-

-∞
+

y'

e

+∞

d
+

+∞

y
-∞

+∞
-∞

Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến và cực trị (nếu có) của
hàm số.

Đồ thị
o
Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có).
o
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. Các tính chất thường gặp

Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng


Đồ thị hàm có cực đại, cực tiểu

có hai nghiệm phân biệt khác

15

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727



Trong trường hợp đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình đường thẳng qua hai cực trị là
.


o
o

Mọi tiếp tuyến tại điểm
là trung điểm của
Diện tích tam giác



Mọi điểm



Nếu từ một điểm

cắt hai đường tiệm cận tại

thì

không đổi

có tích khoảng cách từ

đến hai đường tiệm cận là một hằng số

nằm trên một đường tiệm cận của

thì qua

kẻ duy nhất một tiếp tuyến với

.
1. Các ví dụ
Ví dụ 1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của
là tâm đối xứng của
c) Tùy theo giá trị của , hãy biện luận số nghiệm của phương trình.

.

Ví dụ 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm

.

Ví dụ 3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Từ đồ thị

suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 4. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Với giá trị nào của
thì đường thẳng
cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
c) Gọi
là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp trung điểm
của đoạn thẳng
khi biến thiên.
2. Bài tập rèn luyện
BT1. Cho hàm số
a) Tìm

biết rằng đồ thị

của hàm số đã cho đi qua điểm

có hệ số góc bằng 3.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với các giá trị của

và tiếp tuyến của
đã tìm được.

BT 2. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
b) Tìm trên

hai điểm

thuộc hai nhánh khác nhau, sao cho

ngắn nhất

BT 3. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
b) Tìm những điểm

.

trên

sao cho tổng khoảng cách từ

BT 4. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị

.
16

đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất .

tại điểm

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b) Tìm trên
đến trục
.

những điểm

sao cho khoảng cách từ

đến trục

bằng hai lần khoảng cách từ

BT 5. Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị
b. Tìm

trên

.

sao cho khoảng cách từ

đến

là nhỏ nhất (với

là giao hai tiệm cận).

BT 6. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
b) Tìm điểm

.

trên

sao cho khoảng cách từ

đến

là nhỏ nhất.

BT 7. Cho hàm số
a)

Khảo sát và vẽ đồ thị

b)

Chứng minh với mọi m đường thẳng

Tìm
để
c)
Tìm

để

.
luôn cắt

tại hai điểm

có hoành độ

.

đạt giá trị nhỏ nhất.
đạt giá trị nhỏ nhất.

BT 8. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị

với

b) Biện luận theo tham số

số nghiệm của phương trình:

c) Với giá trị nào của

.

thì hàm đã cho đồng biến trên

.
.

BT 9. Cho hàm số
a)

Khảo sát và vẽ đồ thị

b)

Tìm

.

để đường thẳng

cắt

tại hai điểm

sao cho

.

BT 10. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
với
b) Tìm
để đồ thị (1) cắt trục

.
tại hai điểm

sao cho

ngắn nhất .

BT 11. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
b) Tìm

.

để đường thẳng

cắt

tại

sao cho

BT 12. Cho hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị

.

b) Tìm trên
điểm
(có hoành độ
) sao cho tiếp tuyến tại

Chu vi nhỏ nhất.

Một tam giác có diện tích không đổi.
17

tạo với hai tiệm cận một tam giác có:

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BT 13. Cho hàm số
a)
b)

Khảo sát và vẽ đồ thị
với
.
Tìm các giá trị của
để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó tới đường thẳng
bằng nhau .
Dạng 4: Toán Thực Tế
Ví dụ 1: Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được mét vải lụa
. Tổng chi phí
sản xuất

mét vải lụa được cho bởi hàm chi phí

(nghìn đồng). Giả sự hộ làm

nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi

là số tiền bán được và

là lợi nhuận thu được.
a) Hãy viết biểu thức tính

và

theo

.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số
trên
.
c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận
tối đa. Tính lợi nhuận tối đa đó.
Ví dụ 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một
cái hộp không nắp. Tìm để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1:

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

A.

C.
Câu 2:

. B.

.

.

D.

.

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số
18

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

C.
Câu 3:

. B.

.

Chọn C

D.

.

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

A.

C.

.

. B.

.

D.

.

Lời giải

Nên chọn C ( lưu ý cách gọi gợi nhớ “ dạng cái ghế ” )
Câu 4:

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

19

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

. B.

C.
Câu 5:

.

D.

.

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

A.

.

C.

. D.

Câu 6:

.

Cho hàm số

B.

.

.
có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

20

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 7:

Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 8:

Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 9:

A.

Cho hàm số

.

Câu 10: Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B.

.

C.

có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng

có tất cả bao nhiêu số dương?

21

.

D.

.

là số thực dương, hỏi trong các số

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. .

B.

.

C.

Câu 11: Cho hàm số

Tổng
A.

D.

.

có bảng biến thiên như sau:

thuộc khoảng nào dưới đây?
.

B.

Câu 12: Cho hàm số
có tất cả bao nhiêu số dương?

A.

.

.

.

C.

D.

.

có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi trong các số

B. .
Câu 13: Cho hàm số

.

C.

.

xác định, liên tục trên

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số
22

D.

.

và có đồ thị như hình bên dưới

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 14: Cho hàm số

.

.

xác định, liên tục trên

và có đồ thị như hình bên dưới.

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

A.

.

B.

.

.

23

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

C.

.

Câu 15: Cho hàm số

D.

.

có đồ thị như hình bên dưới

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Câu 16: Cho hàm số

xác định, liên tục trên

24

và có đồ thị như hình bên dưới.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 17: Cho hàm số

có đồ thị như hình bên dưới

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số

25

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Câu 18: Cho hàm số

Số nghiệm của phương trình
A. .
Câu 19: Cho hàm số

Số nghiệm của phương trình
A. .
Câu 20: Cho hàm số

Số nghiệm của phương trình

có bảng biến thiên như sau:

là?
B. .

C. .

D. .

C. .

D. .

có bảng biến thiên như sau:

là?
B. .
có bảng biến thiên như sau:

là?

26

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. .
Câu 21: Cho hàm số

Số nghiệm của phương trình
A. .
Câu 22: Cho hàm số

Số nghiệm của phương trình
A. .
Câu 23: Cho hàm số

B. .

C. .

D. .

C. .

D. .

C. .

D. .

có bảng biến thiên như sau:

là?
B. .
có bảng biến thiên như sau:

là?
B. .
liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại mấy điểm?
A. .
B. .
C. .
D. .
3
2
f  x  ax  bx  cx  d a , b , c , d   
y  f x 
Câu 24: Cho hàm số
. Đồ thị của hàm số
như hình vẽ
3 f  x   4 0
bên. Số nghiệm thực của phương trình
là:
y
2
O

2

x

2
A. .

B. .

C. .
27

D. .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

y  f x 
  2; 2 và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của
Câu 25: Cho hàm số
liên tục trên
3 f  x   4 0
  2; 2 là:
phương trình
trên đoạn

A. .

B. .

Câu 26: Cho hàm số bậc ba
nguyên của tham số

có ba nghiệm thực phân biệt?

B. .

Câu 27: Cho hàm số
3 f  x   4 0
là:

A. .

C. .

D. .

có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình

B. .

Câu 28: Đồ thị của hàm số
A. .

D. .

có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị

để phương trình

A. .

C. .

B. .

Chọn C

C. .

D. .

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:
C. .
D.
Lời giải

.
Câu 29: Số giao điểm của đồ thị hàm số

và đồ thị hàm số
28

:

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. .

B. .

C. .

Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2 điểm phân biệt?
A. vô số.
B. .
Câu 31: Cho hàm số
thiên như sau:

.

để đồ thị hàm số

B.

cắt trục hoành tại

C...