ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN LỚP 9
Năm học: 2022 – 2023 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi có: 02 trang Hình thức: Tự luận (6 câu)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. (2,75 điểm) Rút gọn các biểu thức sau
A = (0,5 điểm)
B = (0,75 điểm)
C = (0,75 điểm)
D = với x > 0 và x # 4 (0,75 điểm)
Câu 2. (1 điểm) Giải các phương trình sau:
1/ (0,5 điểm)
2/ – 3 = 4 (0,5 điểm)
Câu 3. (1,75 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng (d1): y = 3x – 5 và
(d2): y = x + 1
1/ Vẽ 2 đường thẳng (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ (1 điểm)
2/ Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép toán (0,25 điểm)
3/ Lập phương trình đường thẳng (d3) biết (d3) song song với đường thẳng (d4) sao cho
(d4) đi qua 2 điểm M (1;13) ; N (3;23) và (d1), (d2), (d3) đồng quy tại 1 điểm (0,5 điểm)
Câu 4. (1 điểm) Sau khi băng tan, những thực vật nhỏ, được gọi là Địa y, bắt đầu phát triển trên đá. Mỗi nhóm Địa y phát triển trên một khoảng đất hình tròn. Mối quan hệ giữa đường kính d (mm) của hình tròn và số tuổi t (năm) của Địa y có thể biểu diễn tương đối theo hàm số: d = 7 với t ≥ 12. Cho công thức tính diện tích hình tròn có bán kính R là . Lấy = 3,14
1/ Tính diện tích của đất hình tròn (mm2) của 1 nhóm địa y sinh sống, biết nhóm địa y có
số tuổi là 16 tuổi (0,5 điểm)
2/ Biết 1 nhóm địa y X sinh sống trên 1 đất hình tròn có diện tích là 1384,74mm2 vào
năm 2005. Hỏi vào năm 2033 thì diện tích đất hình tròn nhóm địa y X sống tăng thêm
bao nhiêu bao nhiêu phần trăm so với diện tích đất hình tròn nhóm địa y X sống vào năm
1994 ?. (0,5 địểm)
Câu 5. (0,5 điểm) Một cửa hàng đã đưa ra chương trình giảm giá ở sản phâm chai nước ngọt cam 1 lít (thuế VAT là 15%) từ ngày 5/9/2022 đến ngày 27/9/2022 ưu đãi như sau:
+ Giá tiền ở chai thứ 1, 4, 7…. bằng nhau và đây cũng
là giá gốc
+ Giá tiền ở chai thứ 2, 5, 8…. bằng nhau
+ Giá tiền ở chai thứ 3, 6, 9…. bằng nhau
+ Giá tiền ở chai thứ 2 giảm 2000 đồng so với
chai thứ 1. Giá tiền ở chai thứ 3 giảm giá 25% so với chai thứ 2
+ Nếu khách hàng đi mua sắm ở cửa hàng vào ngày cuối tuần (chủ nhật) thì được giảm
giá 20% trên tổng hóa đơn đã mua. Biết ngày 1/9/2022 là thứ năm
Chị Tự mua sắm ở cửa hàng vào ngày 12/9/2022 với 7 chai nước ngọt cam 1 lít với số
tiền cần trả cho cửa hàng là 156400 đồng. Chị đi mua vào ngày 25/9/2022 chỉ mua chai
nước ngọt cam 1 lít với số tiền cần trả cho cửa hàng là 300840 đồng. Hỏi chị Tư đã mua
bao nhiêu mua chai nước ngọt cam 1 lít vào ngày 25/9/2022 ?.
Câu 6. (3 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D. Kẻ dây cung CK của (O) vuông góc với AB tại H. Gọi E là trung điểm của cạnh BK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OE tại F
1/ Chứng minh: BC = BK và BC.CD = AH.AB (0,75 điểm)
2/ Chứng minh: KF là tiếp tuyến của (O) và BC.BD = 2AK.OF (0,75 điểm)
3/ Trên tia đối của tia AB lấy điểm I (I nằm bên ngoài đường tròn (O)) sao cho
. Đặt t = . Chứng minh: tanAEI = (0,75 điểm)
4/ DK cắt (O) tại M, BM cắt CH tại N, AN cắt (O) tại S, OS cắt AF tại P.
Chứng minh: SI _|_ DP và tính theo R nếu 5tanADP = 16tanAEI (0,75 điểm)

&&&-------HẾT ĐỀ THI--------&&&
^^ Chúc các em làm bài tốt ^^
Đáp án đề thi
Câu 1.
A =
=
= = =
B =
=
= =
= =
C =
Ta có:

Vậy: C =
=
=
=
=
= =
D =
Ta có: nên:
D =
=
=
=

Câu 2.
1/



   x + 1 = 4  x = 3
2/ – 3 = 4
  |2x – 1| = 7  2x – 1 = 7 hoặc 2x – 1 = –7
 2x = 8 hoặc 2x = –6  x = 4 hoặc x = –3

Câu 3.
1/ Bảng giá trị của (d1): y = 3x – 5 và (d2): y = x + 1

y = 3x – 5
y = x + 1
x
1
2
0
1
y
–2
1
1
2
2/ Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng (d1) và (d2) là:
3x – 5 = x + 1  2x = 6  x = 3
Với x = 3 => y = x + 1 = 3 + 1 = 4
Vậy (d1) cắt (d2) tại điểm có tọa độ là A (3;4)
3/ Gọi phương trình đường thẳng (d4) có dạng:
y = ax + b
(d4) đi qua M (1;13) => 13 = a + b  b = 13 – a (1)
(d4) đi qua N (3;13) => 23 = 3a + b  b = 23 – 3a (2)
Từ (1), (2) => 13 – a = 23 – 3a  2a = 10  a = 5
Thế vào (1) => b = 13 – a = 13 – 5 = 8
Vậy phương trình đường thẳng (d4) có dạng: y = 5x + 8
Gọi phương trình đường thẳng (d3) có dạng: y = cx + d
(d3) // (d4) => c = 5 và d # 8 => phương trình đường thẳng (d3) có dạng: y = 5x + d
Do (d1), (d2), (d3) đồng quy tại 1 điểm => Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) thuộc (d3)
=> A (3;4) thuộc (d3) => 4 = 5.3 + d  d = –11 # 8 (nhận)
Vậy phương trình đường thẳng (d3) có dạng là: y = 5x – 11

Câu 4.
1/ Ta có: R = => Diện tích của hình tròn bán kính R là:
Đường kính của nhóm địa y 16 tuổi là: d = 7. = 14mm
Diện tích hình tròn của nhóm địa y 16 tuổi là: = 153,86mm2
2/ Đường kính của nhóm địa y X vào năm 2005 là:
1384,74 = => d = = 42mm
Số tuổi của nhóm địa y X vào năm 2005 là: 42 = 7
 = 6  t – 12 = 36  t = 48 tuổi
Số tuổi của nhóm địa y X vào năm 1994 là: 48 – (2005 – 1994) = 37 tuổi
Đường kính của nhóm địa y X vào năm 1994 là: d = 7. = 35mm
Diện tích hình tròn của nhóm địa y X vào năm 1994 là: = 306,25 mm2
Số tuổi của nhóm địa y X vào năm 2033 là: 48 + (2033 – 2005) = 76 tuổi
Đường kính của nhóm địa y X vào năm 2033 là: d = 7. = 56mm
Diện tích hình tròn của nhóm địa y X vào năm 2033 là: = 784 mm2
Tỉ lệ phần trăm tăng thêm của nhóm địa y X vào năm 2033 so với năm 1994 là:
= 156%

Câu 5.
Do chị Tư đi mua sắm vào 2 ngày 12/9/2022 và 25/9/2022 nên vẫn trong thời gian được giảm giá ở cửa hàng (5/9/2022 – 27/9/2022)
Do ngày 1/9/2022 là thứ năm nên các ngày chủ nhật trong tháng 9 của năm 2022 là các ngày 4, 11, 18, 25
+ Xét khi chị Tư đi mua sắm vào ngày 12/9/2022
Tổng số tiền của 7 chai nước cam khi chưa tính thuế VAT là: = 136000 đồng
Gọi x là giá tiền chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 1, 4, 7… (x > 0)
x – 2000 là giá tiền chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 2, 5, 8…
(x – 2000).75% = 0,75x – 1500 là giá tiền chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 3, 6, 9…
Theo đề bài ta có phương trình: 3x + 2(x – 2000) + 2(0,75x – 1500) = 136000
 3x + 2x – 4000 + 1,5x – 3000 = 136000
 6,5x = 143000  x = 22000 > 0 (nhận)
Vậy giá tiền chai nước ngọt ở vị trí 1, 4, 7… là 22000 đồng
Giá tiền chai nước ngọt ở vị trí 2, 5, 8,… là 22000 – 2000 = 20000 đồng
Giá tiền chai nước ngọt ở vị trí 3, 6, 9,… là 20000.75% = 15000 đồng
+ Xét khi chị Tư đi mua sắm vào ngày 25/9/2022 (là ngày chủ nhật)
Tổng số tiền của các chai nước cam khi chưa giảm giá là: = 376050 đồng
Tổng số tiền của các chai nước cam khi chưa tính thuế VAT là: = 327000 đồng
* Trường hợp 1: Tổng số chai nước cam là 1, 4, 7, 10…
Gọi n là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 1, 4, 7… (n > 0 và n nguyên)
n – 1 là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 2, 5, 8…
n – 1 là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 3, 6, 9…
Ta có phương trình: 22000n + 20000(n – 1) + 15000(n – 1) = 327000
 22000n + 20000n – 20000 + 15000n – 15000 = 327000
 57000n = 362000  n = 6,35 (loại)
* Trường hợp 2: Tổng số chai nước cam là 2, 5, 8, 11…
Gọi n là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 1, 4, 7… (n > 0 và n nguyên)
n là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 2, 5, 8…
n – 1 là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 3, 6, 9…
Ta có phương trình: 22000n + 20000n + 15000(n – 1) = 327000
 22000n + 20000n + 15000n – 15000 = 327000
 57000n = 342000  n = 6 (nhận)
Vậy tổng số chai nước cam chị mua là: 6 + 6 + 5 = 17 chai
* Trường hợp 3: Tổng số chai nước cam là 3, 6, 9, 12…
Gọi n là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 1, 4, 7… (n > 0 và n nguyên)
n là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 2, 5, 8…
n là số lượng chai nước ngọt ở vị trí chai thứ 3, 6, 9…
Ta có phương trình: 22000n + 20000n + 15000n = 327000
 57000n = 327000  n = 5,73 (loại)
Tóm lại chị Tư vào ngày 25/9/2022 đã mua ở cửa hàng 17 chai nước ngọt cam 1 lít

Câu 6

1/ BC = BK và BC.CD = AH.AB
Ta có: CK _|_ AB tại H => HC = HK (quan hệ đường kính và dây cung)
Xét tam giác BCK có BH là đường cao (BH _|_ CK) vừa là đường trung tuyến (HC = HK) => Tam giác BCK cân tại B => BC = BK (đpcm)
Ta có: (Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB) => AC _|_ BD
Xét tam giác ABD vuông tại A (AD là tiếp tuyến của (O)) có đường cao AC (AC _|_ BD) => AC2 = BC.CD (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét tam giác ABC vuông tại C (AC _|_ BD có đường cao CH (CH _|_ AB)
=> AC2 = AH.AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ đó suy ra BC.CD = AH.AB (= AC2) (đpcm)
2/ KF là tiếp tuyến của (O) và BC.BD = 2AK.OF
Ta có: Tam giác OKB cân tại O (OB = OK = R) có OF là đường trung tuyến (EB = EK)
=> OF cũng là tia phân giác của góc =>
Xét BOF và KOF có:
OB = OK = R ; (cmt) ; OF là cạnh chung
=> BOF và KOF (c – g – c) =>
=> OK _|_ KF. Lại có K thuộc đường tròn (O) => KF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
Xét tam giác ABK có OA = OB = R và EB = EK (gt)
=> OE là đường trung bình của tam giác ABK => AK = 2OE
Ta có: OF _|_ BK (tính chất của 2 tiếp tuyến tại B và K cắt nhau tại F)
Xét tam giác OBF vuông tại B (BF là tiếp tuyến của (O)) có đường cao BE (OF _|_ BK)
=> OB2 = OE.OF (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AK = 2OE (cmt) => AK.OF = 2OE.OF = 2OB2 = 2R2
Xét tam giác ABD vuông tại A (AD là tiếp tuyến của (O)) có đường cao AC (AC _|_ BD) => AB2 = BC.BD (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ đó: BC.BD = AB2 = 4R2 = 2.2R2 = 2AK.OF => BC.BD = 2AK.OF (đpcm)
3/ tanAEI = nếu t =
Kẻ IG _|_ BK tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh EK. Kẻ EJ _|_ IT tại J
Ta có: OE _|_ BK (cmt) và IG _|_ BK (cách vẽ) => IG // OE
=> (2 góc ở vị trí sole trong) => tanOEI = tanEIG
Mà trong tam giác IEG vuông tại G cho: tanOEI = tanEIG =
Theo như trên có: Tam giác BCK cân tại B có AB là đường cao => AB cũng là đường phân giác của =>
Xét tam giác IBG vuông tại G và tam giác ABC vuông tại C có (cmt)
=> => tanCAB = tanBIG
Mà trong tam giác IBG vuông tại G cho: tanCAB = tanBIG =
Đặt EK = EB = y => BK = 2y
Theo đề bài cho:  3tanOEI = 2tanCAB 
 3EG = 2BG  3(EK + KG) = 2(KG + BK)  3(y + KG) = 2(KG + 2y)
 3y + 3KG = 2KG + 4y  KG = y
Ta có: (Tam giác AKB nội tiếp đường tròn đường kính AB) => AK _|_ BK
Ta có: AK _|_ BK (cmt) và IG _|_ BK => IG // AK
Áp dụng định lý talet trong tam giác IBG có IG // AK: = 2
=> AB = 2AI mà AB = 2R => AI = R
Xét tam giác ACB vuông tại C và tam giác AKB vuông tại K có:
BC = BK (cmt) ; AB là cạnh chung
=> ABC = ABK (ch – cgv) =>
Ta có: AK _|_ BK và OF _|_ BK => AK // OF => (2 góc ở vị trí sole trong).
Mà (cmt) =>
Xét BOF và CAB có:
; (cmt)
=> BOF ~ CAB (g – g) => . Mà AI = OB = R =>
Ta có:

Mà (cùng phụ với ) =>
Xét CBF và CAI có:
(cmt); (cmt)
=> CBF ~ CAI (c – g – c) => và
Mà
Xét CAB và CIF có:
(cmt); (cmt)
=> CAB ~ CIF (c – g – c) => (do BC = BK)
Theo trên: =>
Ta có: tam giác OBC cân tại O (OB = OC = R) =>
Mà (góc ngoài của tam giác ABC) =>
OI = OA + AI = R + R = 2R => .
Đồng thời ta cũng có BC = BK = 2BE => =>
Xét OCI và BEC có:
(cmt); (cmt)
=> OCI ~ BEC (c – g – c) => (do OI = AB = 2R, BC = BK)
Từ đó ta có:
Nếu đặt = a, AB = x thì trong tam giác AKB vuông tại K có: sina =
Nên: t = = = sina
Trong tam giác vuông ABK có:
AK = AB.cosKAB = x.cosa ; BK = AB.sinKAB = x.sina
EB = EK = ; ET =
Tam giác AEK vuông tại K cho: AE2 = AK2 + EK2 = x2.cos2a +
=
=> AE =
Ta có: BE = EK = 2ET và AB = 2AI (cmt)
=> => AE // IT (định lý talet đảo trong tam giác BIT)
BI = AB + AI = 2R + R = 3R
Áp dụng hệ quả talet trong tam giác BIT có AE // IT:
=> IT =
Do IT // AE (cmt) => (2 góc ở vị trí sole trong)
Xét KEA và JTE có:
; (cmt)
=> KEA ~ JTE (g – g) => và
Vậy: TJ =
EJ =
IJ = IT + TJ =

Ta có: IT // AE (cmt) => (2 góc ở vị trí sole trong) => tanAEI = tanEIJ
Mà trong tam giác EIJ vuông tại J có:
tanAEI = tanEIJ =
Do sin2a + cos2a = 1 => cosa = nên tanAEI =
Mà t = sina (cmt) => TanAEI = (đpcm)
4/ SI _|_ DP và tính theo R nếu 5tanADP = 16tanAEI
Cho BM cắt AD tại L, AF cắt DI tại V, kẻ SW _|_ DP tại W
Ta có: (Tam giác AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB)
Xét BHN và BMA có:
; là góc chung
=> BHN ~ BMA (g – g) => => BM.BN = BH.AB
Xét tam giác AKB vuông tại K có đường cao HK cho:
BH.AB = BK2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ đó ta có: BK2 = BH.AB = BM.BN =>
Xét BKN và BMK có:
là góc chung ; (cmt)
=> BKN ~ BMK (c – g – c) =>
Mà tam giác BCK cân tại B (cmt) nên
Ta có: AD _|_ AB và CH _|_ AB => AD // CH
=> (2 góc ở vị trí đồng vị)
Lại có: (2 góc đối đỉnh)
Từ đó suy ra: =>
Xét LMD và LDB có:
(cmt) ; là góc chung
=> LMD ~ LDB (g – g) => => LM.LB = LD2
Xét tam giác ALB vuông tại A có đường cao AM cho:
LM.LB = AL2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ đó suy ra LD2 = AL2 => LD = AL
Do AD // CH (cmt) nên áp dụng hệ quả talet:
Trong tam giác ALB có:
Trong tam giác DLB có:
Từ đó suy ra: . Mà LD = AL (cmt) => NH = NC => HC = 2HN
Ta có: (cùng phụ với )
Xét HCA và ABD có:
; (cmt)
=> HCA ~ ABD (g – g) =>
Mà AB = 2OA và HC = 2NN (cmt) => =>
Xét HAN và ADO có:
; (cmt)
=> HAN ~ ADO (c – g – c) =>
Tam giác AHN vuông tại H cho:
Mà (cmt) => => OD _|_ AS
Tam giác OAS cân tại O (OA = OS = R) có OD là đường cao (OD _|_ AS)
=> OD cũng là tia phân giác của =>
Xét AOD và SOD có:
OA = OS = R ; (cmt) ; OD là cạnh chung
=> AOD và SOD (c – g – c) => DA = DS và
Ta có: (cmt) và (cùng phụ với ) =>
Xét BOF và ADB có:
; (cmt)
=> BOF ~ ADB (g – g) =>
Mà OB = AI = R =>
Xét BFA và AID có:
; (cmt)
=> BFA ~ AID (c – g – c) =>
Ta có: (2 góc đối đỉnh). Mà (cmt) =>
Trong tam giác ADV có: => AV _|_ ID
Xét tam giác IAD vuông tại A có đường cao AV cho:
DV.DI = AD2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét tam giác DSP vuông tại S có đường cao SW cho:
DW.DP = DS2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AD = DS (cmt) => DV.DI = DW.DP =>
Xét DVP và DWI có:
là góc chung ; (cmt)
=> DVP ~ DWI (c – g – c) =>
Ta có: => 3 điểm I, W, S thẳng hàng
=> SI _|_ DP tại W hay SI _|_ DP (đpcm)
Lấy điểm Y thuộc cạnh BS sao cho YB = 2YS, điểm U thuộc cạnh AI sao cho UI = 2UA. Kẻ UZ _|_ DI tại Z, SQ _|_ AD tại Q, FX _|_ AD tại X
Từ YB = 2YS và AB = 2AI =>
=> SI // AY (định lý talet đảo trong tam giác BSI)
Ta có: SI _|_ DP (cmt) và SI // DY (cmt) => AY _|_ DP
Do AY _|_ DP => (cùng phụ với )
(Tam giác ASB nội tiếp đường tròn đường kính AB) => BS _|_ AS
Ta có: BS _|_ AS (cmt) và OD _|_ AS (cmt)
=> OD // BS => (2 góc ở vị trí đồng vị)
Tam giác IDO có AD là đường cao (AD _|_ OI) vừa là đường trung tuyến
=> Tam giác IDO cân tại I => . Mà (cmt) =>
Xét SBA và AID có:
; (cmt)
=> SBA ~ AID (g – g) =>
Theo trên có YB = 2YS và UI = 2UA => BS = và AI =
Từ đó có: =>
Xét BAY và IDU có:
(cmt) ; (cmt)
=> BAY ~ IDU (c – g – c) =>
Mà (cmt) => => tanADP = tanIDU
Theo như trên ta có: AB = x ; a = ; t = sina
Tam giác ABD vuông tại A có: AD = AB.cota =
AI = ; UI =
Tam giác AID vuông tại A có: DI2 = AI2 + AD2
=
=> DI =
Xét IZU và IAD có:
; là góc chung
=> IZU ~ IAS (g – g) => và
Vậy: IZ =
UZ =
DZ = DI – IZ =

Trong tam giác vuông DZU có:
TanADP = TanIDU =
. Theo như trên đã có: TanAEI =
Theo đề bài ta có: 5TanADP = 16TanAEI => (*)
Do 0 < t < 1 => # 0 nên (*) trở thành:
 40(3 – 2t2) = 16(12 – 11t2)  5(3 – 2t2) = 2(12 – 11t2)
 15 – 10t2 = 24 – 22t2  12t2 = 9  t =
Vậy sinADB = => ; AD = AB.cot600 = 2R.cot600 =
Tam giác OAD vuông tại A có:
OD2 = OA2 + AD2 = R2 + => OD =
Theo trên đã có: AOD = SOD => =>
Do OD _|_ AS nên . Tam giác AOD vuông tại A nên:
Do đó: => AS.OD = 2OA.AD
=> AS =
Theo trên có: OD _|_ AS => (cùng phụ với AOB)
Xét QAS và AOD có:
; (cmt)
=> QAS ~ AOD (g – g) => và
Vậy: AQ =
QS =
DQ = AD – DQ =
Theo trên đã có: => BF =
Xét tứ giác ABFX có: => Tứ giác ABFX là hình chữ nhật
=> FX = AB = 2R ; AX = BF =
QX = AQ + AX = + R =
DX = AD + AX = + R =
Tam giác DQS vuông tại Q nên: =
Tam giác DXF vuông tại X nên: =
Do SQ _|_ AD và FX _|_ AD nên tứ giác SQXF là hình thang vuông
=
=