Tập hợp
1.  Mét sè kh¸i niÖm
+  TËp hîp A, chøa c¸c phÇn tö x, y, ...,
                   A = {x, y, ...}, x  A, y  A
+  TËp hîp A chøa c¸c phÇn tö x tháa m·n ®iÒu kiÖn P.
                   A = {x\ x tháa m·n ®iÒu kiÖn P}
+   gäi lµ tËp rçng (tËp hîp kh«ng cã phÇn tö).
+  A  B th× A lµ tËp con cña tËp B.
+  A = B th× tËp A vµ tËp B ®Òu lµ tËp con cña nhau.
2.  C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp
+  Hîp
                   A  B = {x  A hoÆc x  B}
+  A  B = B  A ; (A  B)  C = A  (B  C)
AA=A;AAB;BAB
A=A
+  Giao
       A  B = {x  A vµ x  B}
+  A  B = B  A ; A  B  B ; A  B  A
A  A = A ; (A  B)  C = (A  C)  (B  C)
A   =  ; (A B)  C = (A  C)  (B  C)
+  (A  B)  C = A  (B  C)
+  HiÖu
       A \ B = {x | x  A vµ x  B}
       A \ A = 
       (A \ B)  C = (A  C) \ B = (A  C) \ (B  C)
       A \ B = A \ (A  B)
1

       A = (A  B)  (A \ B)
+  PhÇn bï   
                 CAS = A\ S (S  A)
3.  TËp hîp sè
+  TËp hîp sè tù nhiªn
                   N = {0, 1, 2, ...}
+  TËp hîp sè nguyªn
                   Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}
+  TËp hîp sè h÷u tØ
                  
+  TËp hîp sè thùc
                          R = {a0, a1, a2, ...| a0  Z, ak  {0, 1, 2, ..., 9}}
Nh vËy ta cã :
                 N  Z  Q  R

 

Hµm sè
¸nh x¹
Hµm sè
Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n

 

anh x¹
 Cho hai tËp hîp X, Y. Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y, Y lµ mét qui t¾c cho øng víi
mçi x  X mét vµ chØ mét phÇn tö y  Y, ký hiÖu lµ

2

                  
X lµ tËp nguån, Y lµ tËp ®Ých, phÇn tö y = f(x) lµ ¶nh cña phÇn tö x  X.
¸nh x¹ tÝch
                  
                  
Th× F gäi lµ ¸nh x¹ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g, ký hiÖu lµ F = g0f.

 

Hµm sè
Cho hai tËp hîp sè X vµ Y (X  R, Y  R). Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét
hµm sè f tõ X ®Õn Y, ký hiÖu lµ :
                  
x gäi lµ ®èi sè
y = f(x) gäi lµ hµm sè
*  TËp x¸c ®Þnh
TËp hîp c¸c sè thùc x sao cho nhê biÓu thøc cña hµm sè ta tÝnh ®îc y = f(x), ®ã
lµ tËp x¸c ®Þnh X = Df
*  TËp gi¸ trÞ
                   E = {f(x)| x  X}
                   E = f(X)
+  §å thÞ hµm sè
                   (C) = {(x ; y)| x  X, y = f(x)}
+  TÝnh chÊt cña hµm sè
3

*  Hµm sè ®¬n ®iÖu
Y = f(x) ®ång biÕn trªn

y = f(x) nghÞch biÕn trªn
 

*  Hµm sè ch½n
x  X  -x  X vµ f(-x) = f(x)
*  Hµm sè lÎ
x  X  -x  X vµ f(-x) = -f(x)
*  Hµm sè tuÇn hoµn chu kú T
x  X  x + T  X; x - T  X vµ f(x + T) = f(x) = f(x - T)
+  Hµm sè hîp
y = f(u) tËp x¸c ®Þnh D, u = g(x) tËp x¸c ®Þnh D
y = f[g(x)] lµ hµm hîp víi tËp x¸c ®Þnh
+  Hµm sè ngîc
Gi¶ sö hµm sè y = f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc gi¶m) trªn D vµ miÒn gi¸ trÞ T. Hµm
sè ngîc cña f lµ :

                  
Thêng ký hiÖu lµ
Gi¶ sö ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ (C) vµ hµm sè
 lµ (C') trong hÖ
täa ®é Oxy th× (C) ®èi xøng víi (C') qua ®êng ph©n gi¸c cña gãc I vµ gãc III : y
= x.

4

 

Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n
1.  Hµm sè bËc nhÊt
y = ax + b  (1) (a

0; a, b  R), D = R, E = R.

a > 0 hµm sè (1) ®ång biÕn, a < 0 hµm sè nghÞch biÕn.
(C) lµ mét ®êng th¼ng
2.  Hµm sè bËc hai

                               D = R
Víi a > 0,

                  
Hµm sè ®ång biÕn :
                                   
Hµm sè nghÞch biÕn :
                                   
§å thÞ (C) lµ mét parabol cã trôc ®èi xøng lµ ®êng th¼ng
®Ønh

 vµ cã bÒ lâm quay vÒ phÝa trªn.

Víi a < 0,

                  
Hµm sè ®ång biÕn :

5

, cã täa ®é

                              
Hµm sè nghÞch biÕn :
                               

(C) lµ parabol, cã trôc ®èi xøng
quay xuèng díi.

vµ ®Ønh

 vµ cã bÒ lâm

3.  Hµm sè lòy thõa
      y = x , tËp x¸c ®Þnh vµ tËp gi¸ trÞ, ®å thÞ tuú thuéc vµo   R.
4.  Hµm sè mò
y = ax
D = R, E = (0 ; +)
Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn
Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn
§å thÞ

  

                           

5.  Hµm sè logarit

D = (0 ; +), E = R
Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn
Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn
§å thÞ

6

                                       
                                           

 

Trêng hîp a = e > 1 ta cã y = lnx (®å thÞ nh h×nh díi)

                          
 

Giíi h¹n cña hµm sè
1. Giíi h¹n cña d·y sè

2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y
§Þnh lÝ 1 (§iÒu kiÖn cÇn)
NÕu mét d·y sè cã giíi h¹n th× d·y sè ®ã bÞ chÆn.
§Þnh lÝ 2 (tÝnh chÊt duy nhÊt cña giíi h¹n)
NÕu mét d·y (Un) cã giíi h¹n th× giíi h¹n ®ã lµ duy nhÊt.
§Þnh lÝ 3 (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n)
Mét d·y sè cã t¨gn vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n. Mét d·y sè gi¶m vµ bÞ chÆn
díi th× cã giíi h¹n.
§Þnh lÝ 4
Cho hai d·y sè (Un) vµ (Vn) cã c¸c giíi h¹n

7

th× :

3. Giíi h¹n cña hµm sè
§Þnh nghÜa

4. Mét sè giíi h¹n ®¸ng chó ý

5. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n
§Þnh lÝ 1 :

 lµ duy nhÊt
8

§Þnh lÝ 2 :

 
§Þnh lÝ 3 : Ba hµm sè f(x), g(x), h(x) x¸c ®Þnh t¹i mét l©n cËn cña ®iÓm x0 (cã
thÓ trõ ra ®iÓm x0)
x

x0 thuéc l©n cËn ®ã f(x)  g(x)  h(x)

 

Hµm sè liªn tôc
1. Mét sè ®Þnh nghÜa
Cho hµm sè y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D.
Hµm sè y = f(x) liªn tôc t¹i x0 nÕu :

Thay cho (2), nÕu chØ cã

th× hµm sè f(x) liªn tôc vÒ bªn ph¶i cña x0.
Thay cho (2), nÕu chØ cã

 th× hµm sè liªn tôc vÒ bªn tr¸i cña x0.

Hµm sè y = f(x) lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0, x0  D nÕu

Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc
9

kho¶ng (a ; b).
Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b)
®ång thêi nã liªn tôc vÒ bªn ph¶i ®iÓm a vµ liªn tôc vÒ bªn tr¸i ®iÓm b.
2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm sè liªn tôc
Gi¶ sö y = f(x) vµ y = g(x) lµ hµm sè liªn tôc t¹i x0 th× :
f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) vµ f(x)g(x) liªn tôc t¹i x0.
 liªn tôc t¹i x0
Gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) vµ x1, x2  (a ; b) víi f(x1)
f(x2). Khi ®ã víi mçi sè M n»m gi÷a f(x1), f(x2) ®Òu tån t¹i mét ®iÓm c  (a ;
b) sao cho f(c) = M.
HÖ qu¶ : gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) cã gi¸ trÞ d¬ng vµ gi¸
trÞ ©m trªn kho¶ng ®ã, th× ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x = c thuéc
kho¶ng (a ; b).
3. TÝnh liªn tôc cña c¸c hµm sè s¬ cÊp
y = f(x) lµ hµm sè s¬ cÊp x¸c ®Þnh trªn D th× hµm sè nµy liªn tôc trªn D.
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè hîp
NÕu y = f(u), u = g(x) lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc th× hµm sè hîp y = f[g(x)] lµ
mét hµm sè liªn tôc.

 

§¹o hµm
§Þnh nghÜa ®¹o hµm
C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm
§¹o hµm cÊp cao
Vi ph©n
§¹o hµm vµ liªn tôc
Qui t¾c L'hospital
10

 

§Þnh nghÜa ®¹o hµm
§¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0 lµ :

§¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 :

§¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 :

Hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b)  hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi
®iÓm x0 .(a ; b)
Hµm sè y = f(x) ®¹o hµm trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b)
vµ cã ®¹o hµm bªn ph¶i t¹i a vµ bªn tr¸i t¹i b.
C¸ch tÝnh ®¹o hµm : Muèn tÝnh ®¹o hµm hµm sè y = f(x), ta cÇn thùc hiÖn 3 bíc
sau :
1) Cho sè gia x t¹i x0 vµ tÝnh

2) LËp tØ sè :

3) T×m

 

C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm

11

13)  y = f(x) cã hµm sè ngưîc

12

 

§¹o hµm cÊp cao
y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i x, y' = f'(x)
y' = f'(x) cã ®¹o hµm t¹i x th× ®¹o hµm nµy lµ ®¹o hµm cÊp 2, ký hiÖu lµ y'' =
f''(x) = [f'(x)]'.
§¹o hµm cÊp n cña hµm sè y = f(x)
      
§¹o hµm cÊp n cña mét hµm sè

13

 

Vi ph©n

y' = f(x), D = (a ; b) vµ cã f'(x) t¹i
, vi ph©n cña hµm sè t¹i ®iÓm x lµ dy
= y'dx (hoÆc df(x) = f'(x)dx)
Vi ph©n hµm sè hîp : y = f(u) vµ u = g(x) th× dy = f'(u)du
øng dông vi ph©n vµo phÐp tÝnh gÇn ®óng
 

 

§¹o hµm vµ liªn tôc
NÕu hµm sè y = f(x) ®¹o hµm t¹i ®iÓm

 th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm ®ã.

§iÒu ®¶o l¹i kh«ng ®óng. Mét hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm
®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã.

 cã thÓ kh«ng cã

 

Qui t¾c L'hospital

Dïng ®Ó tÝnh giíi h¹n c¸c d¹ng v« ®Þnh
= g(x) x¸c ®̃nh trªn (a ; b) chøa

 vµ

. NƠu hai hµm sè y = f(x) vµ y

 vµ cã ®¹o hµm trªn (a ; b) th× :

                       
 

§êng tiÖm cËn
1. Nh¸nh v« tËn
(C) lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) cã nh¸nh v« tËn  x  hay f(x) .
14

2. TiÖm cËn cña ®êng cong
§êng th¼ng (D) ®îc gäi lµ tiÖm cËn cña nh¸nh v« tËn (N)  (C) nÕu kho¶ng
c¸ch MH tõ M ®Õn (D) (M  (N)) dÇn ®Õn 0 khi M ch¹y trªn (N) ra xa v« tËn.

3. C¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) : y = f(x)
TiÖm cËn ®øng x = x0 nÕu :
 hay
TiÖm cËn ngang
(C) cã tiÖm cËn ngang y = y0 nÕu :
                      
Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn ph¶i y = b nÕu :
                      
Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn tr¸i y = b' nÕu :
                  
TiÖm cËn xiªn
§êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i nÕu :
      
§êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn tr¸i nÕu :
      
§êng tiÖm cËn xiªn (D), y = ax + b (vÒ bªn ph¶i)

15

(h÷u h¹n)
(D) vÒ bªn tr¸i th× t¬ng tù.
4. §êng tiÖm cËn cña ®å thÞ (C) mét sè hµm hay gÆp :

cã hai ®êng tiÖm cËn
TiÖm cËn ®øng
                          
TiÖm cËn ngang
                      

cã hai ®êng tiÖm cËn.
TiÖm cËn ®øng
                      
TiÖm cËn xiªn
                          

 víi

 cã hai ®êng tiÖm cËn.
16

TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D1) :
      
TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D2) :
      
Chó ý : NÕu ph©n tÝch ®îc f(x) = g(x) + (x), trong ®ã g(x) lµ ®a thøc bËc lín h¬n
1 vµ

 th× (C) cã tiÖm cËn cong y = g(x).

 

Kh¶o s¸t hµm sè
1. DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè
+  §Þnh lÝ Lag¬r¨ng
NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b)
th× tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) sao cho f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a
; b).
+  NÕu f'(x) > 0  x  (a ; b)  f(x) ®ång biÕn trªn (a ; b).
+  NÕu f'(x) > 0  x  (a ; b)  f(x) nghÞch biÕn trªn (a ; b).
+  §iÓm tíi h¹n
y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D.
§iÓm x0  D mµ f'(x0) = 0  x0 gäi lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè f(x).
2. Cùc ®¹i vµ cùc tiÓu
+  §Þnh nghÜa
Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) chøa x0
+  §iÓm x0 ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè f(x), nÕu tån t¹i mét  - l©n cËn
cña x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho víi mäi x x0 cña l©n cËn ®ã ta cã f(x) > f( x0)
+  §iÓm  x0 ®îc gäi lµ ®iÓm cùc ®¹i cña hµm sè f(x), nÕu tån t¹i mét  - l©n cËn
cña x0(x0 –  ; x0 + )  sao cho víi mäi x x0  cña l©n cËn ®ã ta cã f(x) <
17

f( x0)
+  C¸c dÊu hiÖu ®iÓm cùc trÞ
+  §iÒu kiÖn cÇn
Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn (a ; b) chøa x0. Hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x0 khi x0 lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè (f '(x0) = 0)
+  §iÒu kiÖn ®ñ
DÊu hiÖu 1 : NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn mét l©n cËn x0(x0 –  ; x0 +
) cña ®iÓm x0 vµ cã ®¹o hµm trong l©n cËn ®ã (cã thÓ trõ x0)
NÕu f'(x) > 0 trªn (x0 –  ; x0) vµ f'(x) < 0 trªn (x0 ; x0 + )  y = f(x) ®¹t cùc
tiÓu t¹i x0.
DÊu hiÖu 2 : NÕu hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn mét l©n cËn noµ ®ã cña ®iÓm
x0,  cã ®¹o hµm liªn tôc cÊp 2 t¹i x0 vµ f'(x) = 0, f ''(x0) 0 th× x0 lµ mét ®iÓm
cùc trÞ.
+  x0 lµ mét ®iÓm cùc tiÓu nÕu f ''(x0) > 0
+  x0 lµ mét ®iÓm cùc ®¹i nÕu f ''(x0) < 0
3. Quy t¾c t×m Max vµ Min cña hµm sè
y = f(x) liªn tôc vµ chØ cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm tíi h¹n trªn ®o¹n [a ; b]
1) T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n x1, x2, ..., xn cña f(x) trªn [a ; b].
2) TÝnh f(x1), f(x2), ..., f(xn) vµ f(a), f(b)
3) Chän sè max{f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a), f(b)}
Ký hiÖu Max[a ; b]f(x) 
HoÆc min{f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(xa), f(xb)} kÝ hiÖu lµ min[a ; b]f(x)
4. TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uçn cña ®å thÞ
+  Kh¸i niÖm låi, lâm, ®iÓm uèn.
Trªn ®å thÞ (C) cña hµm sè y = f(x) ta nãi (C) låi trªn kho¶ng (a ; b) lâm trªn
kho¶ng (b ; d) vµ B lµ ®iÓm uèn.

18

Gäi (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i mäi ®iÓm M  (C)
*  (C) låi trªn (a ; b)  (C) n»m díi d.
*  (C) lâm trªn (a ; b)  (C) n»m trªn d
*  B lµ ®iÓm uèn cña (C)  qua B(C) thay ®æi tÝnh låi lâm.
+  DÊu hiÖu låi, lâm, ®iÓm uèn
*  Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm cÊp hai trªn (a ; b)
-  NÕu f''(x) < 0  x  (a ; b)  (C) låi trªn (a ; b)
-  NÕu f''(x) > 0 x  (a ; b)  (C) lâm trªn (a ; b)
*  Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn (x0 - ; x0 +) vµ cã ®¹o hµm cÊp 2 trong
l©n cËn ®ã (cã thÓ trõ ®iÓm x0). NÕu f''(x) ®æi dÊu khi x qua ®iÓm x0 th× B(x0 ;
y0) lµ ®iÓm uèn cña (C).
§¶o l¹i gi¶ sö hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm liªn tôc ®Õn cÊp 2 trªn kho¶ng (a ; b).
Khi ®ã nÕu ®iÓm (x0 ; y0) víi x0  (a ; b) lµ ®iÓm uèn cña (C)  f''(x) = 0
*  Quy t¾c t×m ®iÓm uèn
-  Gi¶i ph¬ng tr×nh f''(x) = 0
-  LËp b¶ng xÐt dÊu cña f''(x). Hoµnh ®é ®iÓm uèn lµ c¸c nghiÖm cña f''(x) = 0
t¹i ®ã f''(x) ®æi dÊu.
5. C¸c bíc tiÕn hµnh kh¶o s¸t mät hµm sè
1) T×m tËp x¸c ®Þnh D cña hµm sè, xÐt tÝnh ch½n vµ lÎ vµ tuÇn hoµn (nÕu cã).
NÕu hµm ®· cho lµ hµm ch½n (hay hµm lÎ) th× chØ kh¶o s¸t nöa tËp x¸c ®Þnh råi
lÊy ®èi xøng qua trôc Oy (hay qua gèc täa ®é O).
+  NÕu hµm ®· cho lµ hµm tuÇn hoµn chu kú T th× chØ kh¶o s¸t trªn mét chu kú,
råi tÞnh tiÕn däc theo trôc Ox mét ®o¹n b»ng T.
2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè
+  TÝnh ®¹o hµm.
19

+  T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n (f'(x) = 0).
+  XÐt dÊu cña f'(x) suy ra chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè.
+  T×m c¸c cùc trÞ (nÕu cã).
Kh¶o s¸t tÝnh låi, lâm, ®iÓm uèn (nÕu cã)
3) XÐt nh¸nh v« cùc cña ®å thÞ (C), t×m c¸c tiÖm cËn cña (C) (nÕu cã).
4) LËp b¶ng biÕn thiªn.
5) VÏ ®å thÞ
+  T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é.
+  LÊy thªm mét ®iÓm (ngoµi nh÷ng ®iÓm ®· ghi ë b¶ng biÕn thiªn).

 

Nguyªn hµm
1. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt cña nguyªn hµm
+  §Þnh nghÜa
*  Hµm sè F(x) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a ; b) 
F'(x) = f(x), x  (a ; b).
*  NÕu thay (a ; b) lµ [a ; b] th× ph¶i cã thªm ®iÒu kiÖn F'(a+) = f(a) v–) = f(b)
Ký hiÖu : f(x)dx = F(x) + C.
+  TÝnh chÊt

+  Sù tån t¹i cña nguyªn hµm
20

Mäi hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] ®Òu cã nguyªn hµm trªn ®o¹n ®ã.
2. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm
+  ¸p dông tÝnh chÊt
VËn dông c¸c tÝnh chÊt cña nguyªn hµm ®Ó ®a viÖc tÝnh nguyªn hµm phøc t¹p vÒ
nh÷ng nguyªn hµm ®¬n gi¶n h¬n.
+  Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
*  Ta cã f(x)dx = f[g(t)]g'(t)dt khi f(x), g(t), g'(t) liªn tôc vµ x = g(t).
*  Quy t¾c tÝnh
1)  §Æt x = g(t)  (2) hoÆc t = (x)  (3).
2)  LÊy vi ph©n hai vÕ cña (2) hoÆc (3).
3)  BiÓu thÞ f(x)dx theo t vµ ®êng trßn, gi¶ sö f(x)dx = (t)dt.
4)  TÝnh (t)dt = F(t) + C
5)  Thay t =(x) trong F(t)
+  Ph¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm tõng phÇn.
*  C«ng thøc tÝnh nguyªn hµm tõng phÇn
                   udv = uv vdu                                   (*)
*  Quy t¾c tÝnh
1)  ViÕt f(x)dx díi d¹ng udv
2)  TÝnh du vµ v
3)  TÝnh òvdu
4)  ¸p dông tÝnh c«ng thøc (*)
+  Nguyªn hµm cña hµm sè h÷u tØ d¹ng

* NÕu

 kh«ng cã nghiÖm ta viÕt :

21

Sö dông ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè sÏ t×m ®îc :

*  NÕu x2 + bx + c = 0 cã nghiÖm lµ x1, x2 th× :

Trong ®ã :

3. B¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n

TÝch ph©n

 
22

1. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt
+  §Þnh nghÜa
Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a ; b] vµ F(x) lµ mét nguyªn hµm cña nã th× tÝch
ph©n cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n [a ; b] lµ :

                                   
a, b gäi lµ cËn tÝch ph©n, f(x) lµ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n (®©y còng lµ c«ng thøc
Niut¬n - Laib«nit)
+  TÝnh chÊt

3) NÕu f(x)  q(x) vµ a < b th× :

Trong trêng hîp f(x)  0, a < b th× :

2. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
+  Sö dông ®Þnh nghÜa
+  Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè

23

+ Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn

3. øng dông cña tÝch ph©n
+  TÝnh diÖn tÝch c¸c h×nh ph¼ng
*  Cho hµm sè y = (f) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] th× diÖn tÝch h×nh thang cong
giíi h¹n bëi ®å thÞ y = f(x), x = a, x = b, y = 0 lµ

*  DiÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = f1(x), y = f2(x), ®êng
ph¼ng x = a, x = b.

+ TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay
*  H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trôc Ox

   

                                         

*  H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi x = g(y), y = a, y = b, x = 0 quay quanh trôc Oy :

 

                                          

24

 

BiÓu thøc ®¹i sè
1.  TÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n trªn sè
+  TÝnh chÊt giao ho¸n cña phÐp céng vµ nh©n
                   a + b = b + a
                   ab = ba
+  TÝnh chÊt kÕt hîp cña phÐp céng vµ nh©n
                   (a + b) + c = a + (b + c)
                   (a.b).c = a.(b.c)           
+  TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng
                   (a + b)c = ac + bc
+  TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp trõ
                   (a - b)c = ac - bc
2. BiÓu thøc ph©n
+  TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc
                  
+  C¸c phÐp to¸n cña ph©n thøc     

25

                   

  

3. TØ lÖ thøc
+  TØ lÖ thøc lµ mét ®¼ng thøc cña hai tØ sè
                       
a, d lµ hai ngo¹i tØ ; b, c lµ hai trung tØ.
+  TÝnh chÊt c¬ b¶n cña tØ lÖ thøc :
                   ad = bc
+  Mét sè tÝnh chÊt kh¸c
Víi a, b, c, d

0 vµ

 th× :

                        

 

Luü thõa vµ c¨n sè
Lòy thõa
C¨n bËc n
26

 

Luü thõa
+ Mét sè ®Þnh nghÜa
* Luü thõa sè mò nguyªn

* Luü thõa sè mò h÷u tØ

* Luü thõa sè mò v« tØ
 (a > 0, x lµ sè v« tØ > 0)
      (xn) lµ d·y sè gÇn ®óng thiÕu cña x)

+  C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña luü thõa
Gi¶ sö a > 0, b > 0 x, y  R ta cã :

+  Mét sè tÝnh chÊt kh¸c
27

*  x, y  R, x < y
+ Víi a > 1  ax < ay
+ Víi 0 < a < 1  ax > ay
* (xn)  R, a > 0 mµ :
                    

 

C¨n bËc n

+  §̃nh nghÜa : n  N*, c¨n bËc n cña sè a lµ mét sè b sao cho bn = a,  kÝ hiÖu lµ
*  Mäi sè a chØ că mét c¨n bËc lÎ
*  Sè ©m kh«ng că c¨n bËc ch½n
*  Sè d¬ng că hai c¨n bËc ch½n, hai c¨n Êy că sè tr̃ ®èi nhau. Gi¸ tr̃ d¬ng cña
c¨n bËc ch½n n cña sè a > 0 kƯ hiÖu lµ
+ 

.

 víi a > 0 gäi lµ c¨n sè häc

+ 

 
 

 

D·y sè - CÊp sè céng - CÊp sè nh©n
28

D·y sè
CÊp sè céng
CÊp sè nh©n
Mét sè c«ng thøc kh¸c
 

D·y sè
+  §Þnh nghÜa
Gäi N* = {1, 2, 3, ...}
Mét d·y sè lµ mét hµm sè u tõ N* tíi R
       u : N*  R
           n  U(n)
KÝ hiÖu Un = U(n), viÕt d·y sè díi d¹ng
       U1, U2, U3, ....Un
+  C¸ch cho d·y sè
*  D·y sè cho bëi c«ng thøc :
                                 Un = 2n + 1
*  D·y sè cho bëi c¸ch m« t¶ c¸c sè h¹ng liªn tiÕp cña nã
*  D·y sè cho bëi c«ng thøc truy håi ch¼ng h¹n d·y sè Phibonasi :
                       U1 = U2 = 1, Un = Un - 2 + Un - 1    víi n  3
DÔ dµng ta cã d¹ng khai triÓn cña d·y :
1, 1, 2, 3, 5, 8...
*  D·y sè b»ng quy n¹p :
-  Cho sè h¹ng thø nhÊt U1
-  Víi n > 1 cho c«ng thøc Un khi biÕt Un - 1
29

+  D·y sè t¨ng, gi¶m
*  D·y sè (Un) gäi lµ t¨ng nÕu n  N*, Un < Un + 1 
*  D·y sè (Un) gäi lµ gi¶m nÕu n  N*, Un > Un + 1 
+  D·y sè bÞ chÆn
*  D·y sè (Un) bÞ chÆn trªn nÕu  M sao cho n  N*, Un  M 
*  D·y sè (Un) bÞ chÆn díi nÕu  M sao cho n  N*, Un  m
*  Un gäi lµ bÞ chÆn nÕu  M, m sao cho m  Un  M.
+  C¸c phÐp to¸n trªn d·y sè
* (Un)  (Vn) = (Un ± Vn)
* (Un) = (Un)
* (Un).(Vn) = (Un.Vn)

 

 

CÊp sè céng
+  §Þnh nghÜa
CÊp sè céng lµ mét d·y sè trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai ®Òu lµ tæng cña sè
h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c 0 gäi lµ c«ng sai.
        n  N*, Un + 1 = Un + d
+  TÝnh chÊt cña cÊp sè céng
* Un + 1  Un = Un + 2  Un + 1

+  Sè h¹ng tæng qu¸t
       Un = U1 + d(n  1)
30

+  Tæng n sè h¹ng ®Çu

      
 
 

CÊp sè nh©n
+  §Þnh nghÜa
CÊp sè nh©n lµ mét d·y sè trong ®ã sè h¹ng ®Çu kh¸c kh«ng vµ kÓ tõ sè h¹ng
thø hai ®Òu b»ng tÝch cña sè h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c
0 vµ kh¸c 1 gäi lµ c«ng béi.
        n  N*, Un + 1 = Un.q 
+  TÝnh chÊt :

+  Sè h¹ng tæng qu¸t :
Un = U1.qn - 1
+  Tæng n sè h¹ng ®Çu tiªn

+  Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n
Víi |q| < 1

  
 

Mét sè c«ng thøc kh¸c cña d·y sè

31

 

L«garÝt
1. Kh¸i niÖm
LogaN (a > 0, a 

1, N > 0) lµ logarit cña N theo c¬ sè a.

2. C¸c ®¼ng thøc c¬ b¶n cña logarit

*  lgN lµ logarit thËp ph©n (c¬ sè 10)
      
*  LnN lµ logarit tù nhiªn (logarit c¬ sè e)

3. TÝnh chÊt cña logarit

32

4.  §æi c¬ sè

5.  Logarit thËp ph©n

 

Tæ hîp - C«ng thøc Newt¬n
Ho¸n vÞ
ChØnh hîp
Tæ hîp
Tam gi¸c Pascal
C«ng thøc Newt¬n
33

 

Ho¸n vÞ
+  §Þnh nghÜa
Mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ mét bé gåm n phÇn tö ®ã, ®îc s¾p xÕp theo mét
thø tù nhÊt ®Þnh, mçi phÇn tö cã mÆt ®óng mét lÇn.
Sè tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ kh¸c nhau cña n phÇn tö ký hiÖu lµ Pn
+  C«ng thøc :
        Pn =1.2.3.....n = n 

 

ChØnh hîp
+  §Þnh nghÜa
Mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (0 < k  n) lµ mét bé s¾p thø tù gåm k
phÇn tö lÊy ra tõ n phÇn tö ®· cho. Sè tÊt c¶ c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö
ký hiÖu lµ

.

C«ng thøc :

(Qui íc 0! = 1)

 

Tæ hîp

34

+  §Þnh nghÜa
Cho mét tËp hîp A gåm n phÇn tö (n nguyªn d¬ng). Mét tæ hîp chËp k cña n
phÇn tö (0  k  n) lµ mét tËp con cña A gåm k phÇn tö. Sè tÊt c¶ c¸c tæ hîp
chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ
+  C«ng thøc

+  TÝnh chÊt

 

Tam gi¸c Pascal
n = 0           1
n = 1           1          1
n = 2           1          2          1
n = 3           1          3          3          1
n = 4           1          4          6          4          1
n = 5           1          5          10        10       
5          1
n = 6           1          6          15        20        15       
6          1
n = 7           1          7          21        35        35       
21        7          1
n = 8           1          8          28        56        70       
56        28        8          1
35

n = 9           1          9          36        84        126     
126      84        36        9          1
n = 10         1          10        45        120      210     
252      210      120      45        10        1

 

C«ng thøc Newt¬n
Tk lµ sè h¹ng thø k + 1 cña khai triÓn nhÞ thøc :
                  

 

Phư¬ng tr×nh vµ hÖ phư¬ng tr×nh
Phư¬ng tr×nh
HÖ ph¬ng tr×nh

 

Ph¬ng tr×nh
1.   Mét sè khai triÓn
+  §¼ng thøc f(x) = g(x)  (1) trong ®ã f(x) vµ g(x) lµ nh÷ng biÓu thøc cña x, ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh mét Èn sè, x lµ Èn sè.
+  Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) lµ t×m gi¸ trÞ x = x0 ®Ó cã ®¼ng thøc ®óng f(x0) = g(x0).
+  T¬ng tù f(x1, x2, x3, ...., xn) = g(x1, x2, x3, ...., xn) ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh n Èn,
(n  N*)
36

+  TËp hîp c¸c gi¸ trÞ x0 gäi lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kÝ hiÖu lµ
M, nÕu ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm th× tËp hîp c¸c nghiÖm lµ tËp .
2.  Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng - phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng
+  Ph¬ng tr×nh f(x) = 0  (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ M1.
Ph¬ng tr×nh g(x) = 0  (2) cã tËp hîp nghiÖm lµ M2.
*  NÕu M1 = M2  (1) vµ (2) t¬ng ®¬ng
+  NÕu M1  M2  (2) lµ ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh (1).
+  Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0  (1) vµ f(x) + h(x) = h(x)  (2) lµ t¬ng ®¬ng nÕu h(x)
cã miÒn x¸c ®Þnh chøa tËp nghiÖm (1).
+  Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0  (1) vµ f(x).h(x) = 0  (2) t¬ng ®¬ng  h(x)
miÒn x¸c ®Þnh h(x) chøa miÒm x¸c ®Þnh cña f(x).
3.  Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
+  D¹ng ax + b = 0 (x lµ Èn a, b  R miÒn x¸c ®Þnh lµ R).
NghiÖm
*  a

0 : cã nghiÖm duy nhÊt :

               
*  a = 0, b

0 : V«  nghiÖm

*  a = 0, b = 0 : V« sè nghiÖm trªn R
4.  Ph¬ng tr×nh bËc hai
+  ax2 + bx + c = 0.   = b2 - 4ac
*  NÕu  > 0 th× M = {x1, x2}
      
khi b = 2b', '' = b'2 - ac th× :
      
*  NÕu   = 0, th× M = {x1}
37

0 vµ

       
*  NÕu  < 0, th× M = .
+  Mét sè trêng hîp thêng gÆp

NÕu  > 0, M = {x1, x2}

  < 0, M = .
* ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = 0

§Þnh lÝ ViÐt
NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã

+  XÐt dÊu nghiÖm (quy íc x1 > x2)

38

5.   Ph¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai
* ax4 + bx2 + c = 0  (1)  (a

0) (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng)

§Æt :

Phư¬ng tr×nh (1) ®a vÒ ay2 + by + c = 0   (2). Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) t×m nghiÖm
y  0, sau ®ã t×m x b»ng c«ng thøc
 
* (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 víi a + b = c + d.
§Æt y = (x + a)(x + b)

§Æt :

Chia hai vÕ cña phư¬ng tr×nh cho x2 (v× x = 0 kh«ng ph¶i nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh).
6.  Ph¬ng tr×nh bËc ba
+  D¹ng x3 + px + q = 0     (1) 
C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) (c«ng thøc Cac®an«)

+  D¹ng y3 + ay2 + by + c = 0
§Æt
trªn.

 ta cã ph¬ng tr×nh d¹ng x3 + px + q = 0 vµ cã c«ng thøc gi¶i nh

7.  Ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai
39

    
8.  Ph¬ng tr×nh tuyÖt ®èi

9.  Ph¬ng tr×nh mò

*  N  0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
*  N > 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

10.  Ph¬ng tr×nh logarit
    logax = N (a > 0, a 

1) cã nghiÖm duy nhÊt x = aN

 
 

HÖ ph¬ng tr×nh
1.    HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt

                

*  NÕu D

               

0 hÖ ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt

40

*  NÕu D = 0 vµ (Dx

0) hoÆc (Dy

0) hÖ ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm.

*  NÕu D = Dx = Dy = 0
-  Trêng hîp a = a' = b = b' = 0, c

0, c'

0 hÖ ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm.