TÂN HÀ
















































































































































































































§5. MỘT SỐ LỚP NHÓM CON HỮU HẠN VÀ NHÓM THƯƠNG CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH ĐẶC BIỆT VỚI CHIỀU BẰNG 2

I/ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH ĐẶC BIỆT VỚI CHIẾU BẰNG 2
Trong chương này, trước hết chúng ta sẽ giải quyết vấn đề : Tìm tất cả các nhóm con có thể của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên các trường hữu hạn.
Giả sử V là một không gian véc tơ hai chiều (dimV = 2). Thông thường, người ta đồng nhất nhóm GL(V) với tập hợp tất cả các ma trận cấp 2
2 không suy biến với các thành phần thuộc trường cơ sở E. Nếu K là một trường con của E , tập hợp các ma trận với các thành phần thuộc K tạo thành một nhóm. Bằng cách đó, chúng ta có thể nhúng GL(2,K) vào GL(2,E), mà chúng ta sẽ gọi nó là mẫu hay tiêu chuẩn (standard). Mặc dù mục đích chính của chúng ta là tìm tất cả các nhóm con của SL(2,E) đối với một trường hữu hạn E, nhưng để thuận tiện chúng ta sẽ mở rộng trường và xét SL(2,F) trên một trường đóng đại số F.
Ký hiệu 5.1. Trong tiết này, F là trường đóng đại số đặc số p. Như vậy, p hoặc là số nguyên tố hoặc bằng không.. Nếu p = 0 thì một Sp - nhóm con sẽ là nhóm tầm thường {e}. Giả sử V là một không gian véc tơ hai chiều trên F, và xét một cơ sở cố định {u, v} của V. Đặt L = SL(V).
Các ký hiệu sau đây sẽ được sử dụng trong suốt tiết này:

, (
)
, (
)

.
Hơn nữa, chúng ta sẽ đặt

,
, H=DT và Z= Z(L)
là tâm của
L= SL(V)


.
Mệnh đề 5.2. (i) Tâm Z là {e} nếu p = 2. trong trường hợp p
2, Z là một nhóm xyclic cấp 2. Nhóm
là một nhóm đơn.
(ii) Đối với
,
và
tuỳ ý, có:

,


(với
),
.
(iii) Các tập D, T và H là các nhóm con của L, và


,

Chứng minh. Phần thứ nhất của (i) suy ra từ hệ quả 2 của (4.8), chương 2 và phần còn lại suy ra từ Định lý 4.9 của chương đó ( vì F là một trường đóng đại số . Khẳng định trong (ii) được suy ra trực tiếp từ phép nhân ma trận và (iii) được suy ra từ (ii).
Mệnh đề 5.3. (i) Một phần tử tuỳ ý của L liên hợp hoặc với
đối với
nào đó , hoặc với

đối với
nào đó.
(ii) Nếu
, thế thì L chứa một phần tử duy nhất cấp 2.
(iii) Giả sử x là một phần tử của L với cấp hữu hạn n. Thế thì x liên hợp với
(
) trong L nếu và chỉ nếu p > 0 và p là ước của n . Trong trường hợp này, cấp của x là p hoặc 2p.
Chứng minh. (i) Vì F là một trường đóng đại số , phép biến đổi tuyến tính x có ít nhất là một giá trị riêng. Giả sử
là một giá trị riêng của x, và giả sử
là véc tơ riêng tương ứng. Nếu chọn
là một thành phần của cơ sở, thế thì biểu diễn ma trận của x được

Vì
, nên
. Nếu
, thế thì
và do đó
. Như vậy x liên hợp với