A. ĐẠI SỐ
I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2024-2025
TOÁN 9
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

+ Đồ thị của hàm số
là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O .
- Nếu
thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu
thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng
Trong đó x là ẩn;
Cách giải:
1. Nếu

2. Nếu

là những số cho trước gọi là các hệ số và
thì phương trình có 2 nghiệm:

thì phương trình có 2 nghiệm:

3. Tính
- Nếu
- Nếu

thì phương trình vô nghiệm
thì phương trình có nghiệm kép

- Nếu

thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Trang 1

.

- Chú ý: Nếu phương trình bậc hai
hai nghiệm trái dấu.
III. HỆ THỨC VIETE (VI-ÉT)
Nếu phương trình

B. HİNH HỌC
I. ĐUỜNG TRÒN
Kiến thức

có

thì phương trình luôn có

có hai nghiệm

thì

Minh họa
- Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường
tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác
nội tiếp đường tròn.
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba
đường trung trực của tam giác và có bán kính là khoảng cách
từ tâm đến mỗi đỉnh tam giác.
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng

1. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác, hình
chữ nhật, hình
vuông.

tâm của tam giác và bán kính bằng

.

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm
của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền.
- Hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp.
- Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông có tâm là
giao điểm của hai đường chéo, bán kính bằng nửa đường chéo.
- Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng
.
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là
đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam
giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Đường tròn nội
tiếp tam giác

- Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba
đường phân giác trong và có bán kính bằng khoảng cách từ
giao điểm đó đến một cạnh bất kỳ của tam giác.
- Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm
của tam giác và bán kính bằng

Trang 2

.

- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi
là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
3. Định nghĩa tứ giác - Đường tròn đi qua bốn đỉnh của tứ giác gọi là đường tròn
nội tiếp
ngoại tiếp tứ giác đó.
- Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp đường
tròn.
- Tổng hai góc đối bằng

.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
4. Tính chất tứ giác
nội tiếp

VD: Chứng minh các tứ giác ADHE; CDEB nội tiếp.
- Vì
đường kính AH .
5. Cách chứng minh
tứ giác nội tiếp.

- Vì
đường kính BC .

nên tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn
nên tứ giác CDEB nội tiếp đường tròn

II. ĐA GIÁC ĐỀU VÀ PHÉP QUAY
1. Phép quay thuận chiều

tâm O giữ nguyên điểm O , biến điểm M

khác điểm O thành điểm
thuộc đường tròn
sao cho tia OM quay
thuận chiều kim đồng hồ đến tia
thì điểm M tạo nên cung
có số đo
- Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều
tâm O .
- Phép quay hay
giữ nguyên mọi điềm.
2. Định lý: Phép quay tâm O với góc quay
biến đa giác đều n cạnh thành chính nó.
Trang 3

(hoặc bội số của góc này) sẽ

.

- Ví dụ về phép quay của đa giác đều
- Tam giác đều

, có thể quay quanh tâm của nó một góc các góc quay
sẽ biến Tam giác đều thành chính nó.

- Hình vuông
, có thể quay quanh tâm của nó một góc các góc quay
;
sẽ biến Hình vuông thành chính nó.
- Lục giác đều

, có thể quay quanh tâm của nó một góc các góc quay
;
sẽ biến Lục giác đều thành chính nó.
3. Ứng dụng của phép quay
- Dùng để chứng minh các bài toán đối xứng của đa giác.
- Áp dụng vào các bài toán hình học phẳng và quỹ tích.
- Úng dụng trong thực tế như thiết kế hình học, đồ họa máy tính.
III. CÁC HÌNH KHỐI TRONG THỰC TIỄN
2. Hình trụ

Đường thẳng
sinh.

là trục của hình trụ. AB là một đường

Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy, độ dài
đường sinh là chiều cao của hình trụ.
- Diện tích xung quanh:

.

- Diện tích toàn phần:
- Thể tích:
Trong đó:

Trang 4

.
.

là bán kính đáy,

là chiều cao.

;

Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh góc
vuông OA cố định thì ta được một hình nón.
- A gọi là đỉnh của hình nón.
2. Hình nón

- Cạnh OC quét thành hình tròn gọi là đáy của hình nón.
Bán kính của đáy gọi là bán kính đáy của hình nón.
- Cạnh AC quét thành mặt xung quanh của hình nón. Mỗi
vị trí của AC là một đường sinh.
- Độ dài AO là chiều cao của hình nón.
Chú ý: Độ dài đường sinh của hình nón có bán kính đáy
R và chiều cao h được tính bởi công thức:
- Diện tích xung quanh:

.

.

- Diện tích toàn phần:

.

- Thể tích:
Trong đó: R là bán kính đáy, h là chiều cao.
3. Hình cầu

- Khi quay nửa hình tròn tâm , bán kính một vòng
quanh đường kính AB cố định ta được một hình cầu tâm O
, bán kính R.
- Khi đó, nửa đường tròn quét thành mặt cầu. Ta cũng gọi
O và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu đó.
- Diện tích của mặt cầu được tính bằng công thức:
(R là bán kính)
- Thể tích của hình cầu có bán kính

C. THỐNG KÊ - XÁC SUẤT:
- Tần số tương đối của một giá trị

là:

trong mẫu dữ liệu được tính theo công thức

Trong đó: m là tần số của và N là cỡ mẫu.
- Các hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó, nhưng biết tất cả
các kết quả có thể xảy ra được gọi là phép thử ngẫu nhiên (còn gọi là phép thử).
- Không gian mẫu, kí hiệu , là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép
thử.
- Xác suất của biến cố A , ký hiệu
Trang 5

, được xác định bởi công thức:

Trong đó:

là số các kết quả thuận lợi cho

là số các kết quả có thể xảy ra.

MỘT SỐ BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ
CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1.

Cho hai biểu thức

và

với

.

1) Tính giá trị của biểu thức khi
.
2) Rút gọn biểu thức
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để
Bài 2.
Cho hai biểu thức

và

1) Tính giá trị của biểu thức

với
khi

2) Chứng minh rằng
3) Cho

. Tìm các giá trị của

để

Bài 3.
Cho biểu thức

với

1) Tính giá trị biểu thức

tại

2) Chứng minh

.

3) Cho

. Tìm các giá trị nguyên của để

.

.

Bài 4.
Cho hai biểu thức:
1) Tính giá trị của biểu thức

và

với
khi

Trang 6

.

2) Rút gọn biểu thức

.

3) Xét biểu thức

. Chứng minh

.

Bài 5.
Cho hai biểu thức

và

(

)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 6.
Cho hai biểu thức

và

1) Tính giá trị của biểu thức
2) Đặt
3) Tìm
Bài 7.

với
khi

. Rút gọn biểu thức
để có x thỏa mãn

Cho biểu thức:
1) Tính

với x > 0; x ≠ 1.

khi

2) Chứng minh
3) Đặt

. So sánh Q với 3.

Bài 8.
Cho biểu thức

và

với

1) Tính giá trị của biểu thức

khi

2) Rút gọn biểu thức
Trang 7

3) Tìm giá trị nguyên của

để biểu thức

có giá trị nguyên

Bài 9.
Cho hai biểu thức

và

1) Tính giá trị của biểu thức
2) Chứng minh
3) Tìm

với

với

;

.

.

.

để biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 10.
Cho hai biểu thức

và

.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh rằn:
3) Xét biểu thức

. So sánh

với

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HỆ THỨC VIÈTE
Bài 1.
Cho phương trình

có 2 nghiệm

không giải phương trình hãy tính

giá trị biểu thức:
Bài 2.
Cho phương trình:

có hai nghiệm là

. Không giải phương trình, hãy

tính giá trị của biểu thức
Bài 3.
Cho phương trình

có hai nghiệm

.

Không giải phương trình, tính:
Bài 4.
a). Hãy tìm một phương trình bậc hai
Trang 8

với các hệ số

là số nguyên

nhận

làm nghiệm.

b). Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình vừa tìm được ở câu a)
Bài 5.
Cho phương trình

. Biết phương trình có một nghiệm là

. Tính

giá trị của biểu thức
Bài 6.
Biết phương trình x2 + ax + 5 = 0 có một nghiệm là x = 4− √11. Tính tổng các bình
phương hai nghiệm của phương trình trên.
Bài 7.
Gọi

là hai nghiệm của phương trình:

các giá trị của các biểu thức

. Không giải phương trình, tính
.

Bài 8.
Cho phương trình:

(*) có một nghiệm là

Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.
Bài 9.
Cho phương trình bậc hai
biểu thức

có hai nghiệm phân biệt là

. Tính giá trị

.

Bài 10.
Chứng minh rằng phương trình bậc hai:
và biểu thức
số .

có hai nghiệm phân biệt

và

có giá trị không phụ thuộc vào tham

Bài 11.
Cho phương trình
giá trị của biểu thức

có hai nghiệm là
.

Bài 12.

Trang 9

. Không giải phương trình, hãy tính

Cho phương trình
(m là tham số). Khi phương trình có
nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ
thuộc vào

.

Bài 13.
Cho phương trình

Tìm

để phương trình có hai nghiệm

thỏa

mãn
Bài 14.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
thỏa mãn

để phương trình

có hai nghiệm

.

Bài 15.
Cho phương trình

có hai nghiệm

. Không giải phương trình, hãy tính

giá trị của biểu thức A =
CHỦ ĐỀ 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH -HỆ PT
Bài 1.
Một tổ sản xuất phải làm
sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất như
nhau. Sau khi làm được
sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày
sản
phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn một ngày. Tính số sản phẩm làm trong
mỗi ngày theo quy định.
Bài 2.
Một xí nghiệp sản xuất nước mắm dự định thu mua 120 tấn cá trong một thời gian nhất
định, nhờ đổi mới phương pháp thu mua xí nghiệp đã mua vượt mức 6 tấn mỗi tuần. Vì
vậy xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần và vượt mức 10 tấn cá. Tính số cá
mà xí nghiệp phải mua mỗi tuần theo kế hoạch.
Bài 3.
Hưởng ứng phong trào trồng cây xanh vì môi trường xanh sạch đẹp. Một chi đoàn dự
định trồng 600 cây xanh trong thời gian quy định. Do mỗi ngày họ trồng được nhiều
hơn dự định 30 cây nên công việc được hoàn thành sớm hơn quy định 1 ngày. Tính số
ngày chi đoàn dự kiến hoàn thành công việc ?
Bài 4.
Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế xí
nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so
với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút.
Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó. Biết mỗi giờ người đó làm
Trang 10

không quá 20 sản phẩm.(Giả định rằng số sản phẩm mà công nhân đó làm được trong
mỗi giờ là bằng nhau).
Bài 5.
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng
triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia
tăng (VAT) với mức
đối với loại hàng loạt hàng thứ nhất và
đối với loại hàng
thứ hai. Nếu thuế VAT là
đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng
triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho
mỗi loại hàng?
Bài 6.
Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu
người thợ thứ nhất làm một mình trong 5 ngày rồi nghỉ, người thứ hai làm tiếp 4 ngày
7

thì cả hai làm được 9 công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong
bao nhiêu ngày để xong việc.
Bài 7.
Hai đội công nhân dệt may cần sản xuất một số lượng khẩu trang theo đơn đặt
hàng .Nếu làm chung thì sau 4 giờ họ sẽ làm xong. Nhưng hai đội mới làm chung được
3 giờ thì đội 1 nghỉ , đội 2 tiếp tục làm trong 3 giờ nữa mới xong .Hỏi mỗi đội nếu làm
một mình thì phải bao lâu mới xong công việc ?
Bài 8.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau giờ đầy bể. Nếu mở vòi
thứ nhất chảy một mình trong
phút, rồi khóa lại, mở tiếp vòi thứ hai chảy trong
phút thì cả hai vòi chảy được
Bài 9.

bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Một người đi ô tô từ
đến cách nhau
km với vận tốc xác định. Khi từ trở về
người đó đi theo đường khác dài hơn đường cũ
km nhưng với vận tốc lớn hơn
vận tốc lúc đi mỗi giờ
km. Vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi
phút. Tính vận
tốc lúc đi.
Bài 10.
Theo kế hoạch, một dây chuyền phải sản xuất một số sản phẩm trong 15 ngày với số
lượng sản phẩm làm được trong mỗi ngày là như nhau. Thực tế, mỗi ngày dây chuyền
đã sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên sau 14 ngày dây chuyền chẳng những đã hoàn
thành kế hoạch mà còn làm thêm được 30 sản phẩm nữa. Tìm số sản phẩm thực tế dây
chuyền làm được mỗi ngày.
Trang 11

Bài 11.
Hai tổ sản xuất được giao làm
sản phẩm trong một thời gian quy định, nhờ tăng năng
suất lao động, tổ một vượt mức %, tổ hai vượt mức
% nên cả hai tổ đã làm được
sản phẩm. Tính số sản phẩm phải làm theo kế hoạch của mỗi tổ?
Bài 12.
Hai tổ sản xuất cùng làm chung một công việc thì sau
giờ xong. Nếu tổ một làm một
mình trong giờ, tổ hai làm một mình trong
giờ thì cả hai làm xong một nửa công
việc. Hỏi mỗi tổ làm một mình trong bao lâu thì xong công việc đó?
Bài 13.
Một đội xe cần chở
tấn hàng, khi sắp khởi hành đội được điều thêm xe nữa nên
mỗi xe chở ít hơn dự định tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu chiếc xe? Biết rằng các
xe chở số hàng như nhau.
Bài 14.
Hai bến sông A và B cách nhau 90km. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược
dòng từ B về A hết 8 giờ 45 phút. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h, tính vận tốc riêng
của ca nô.
Bài 15.
Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B cách nhau 40 km sau đó đi ngược dòng từ B về A.
Thời gian cả đi xuôi dòng và ngược dòng là 3 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô
khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 5km/h.
Bài 16.
Hai trường X và Y có 420 học sinh đậu vào lớp 10 đạt tỉ lệ 84%. Riêng trường X tỉ lệ
đậu 80%, riêng trường Y tỉ lệ đậu 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.
Bài 17.
Một tổ dự định sản xuất 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế tổ lại
được giao 80 sản phẩm. Mặc dù mỗi giờ tổ đó làm thêm 1 sản phẩm so với dự kiến
nhưng thời gian hoàn thành vẫn chậm hơn dự định 12 phút. Tính số sản phẩm thực tế tổ
đó đã làm được trong một giờ. Biết lúc đầu, mỗi giờ tổ đó dự kiến làm không quá 20 sản
phẩm.
Bài 18.

Trang 12

Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không
đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe
máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 19.
Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến.
Nhưng khi thực hiện, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản
phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành trước kế
hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài 20.
Để mở rộng kinh doanh, một cửa hàng đã vay 600 triệu đồng kì hạn 12 tháng từ hai
ngân hàng A và B với lãi suất lần lượt là
/năm và
/năm. Tổng số tiền lãi một năm
phải trả cho cả hai ngân hàng là 50 triệu đồng. Tính số tiền của hàng đã vay từ mỗi
ngân hàng.
Bài 21.
Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng
để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng
số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và
máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số
tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?
Bài 22.
Bác Tuấn vay tổng số tiền là 5 tỉ đồng từ hai ngân hàng Sacombank và Vietcombank
đầu tư vào bất động sản. Sau một năm, tổng số tiền lãi phải trả cho hai ngân hàng trên
là 570 triệu đồng. Lãi suất cho vay của ngân hàng Sacombank là 12%/năm và của
Vietcombank là 11%/năm. Tính số tiền bác Tuấn đã vay của mỗi ngân hàng.
CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT, THỐNG KÊ
Bài 1.
Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: centimét) của 60 lá dương xỉ trưởng thành, người ta có
bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm

Cộng

Tần số
(n)

7

16

27

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm
Bài 2.
Trang 13

10

60
.

Nam thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) mình đi bộ mỗi ngày trong tháng 9
và biểu diễn dưới dạng biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm sau:

Tìm nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất. Xác định tần số và tần số tương đối
ghép nhóm của nhóm đó.
Bài 3.
1) Sau khi điều tra về thời gian đi từ nhà đến trường của học sinh lớp 9A có 40 học sinh
ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm sau:
Thời gian từ nhà đến trường
(phút)
Tần số tương đối

30%

45%

Tìm tần số tương đối ghép nhóm và tần số ghép nhóm của nhóm

25%
?

2) Một túi đựng 5 viên bi có cùng khối lượng và kích thước như nhau, được đánh số
Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi” và biến cố A: “Tích của
hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 10” Tính xác xuất của biến cố A?
Bài 4.
1) Sau khi điều tra mật độ dân số ( đơn vị: người/km 2) của 37 tỉnh, thành phố thuộc các
vùng Bắc Trung Bộ và Duyên hải miền Trung, Tây Nguyên, Đông Nam Bộ, Đồng
bằng sông Cửu Long (không kể Thành phố Hồ Chí Minh) ở năm 2021, người ta có
biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

Trang 14

a) Tìm tần số ghép nhóm của nhóm
b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm
2). Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia thành
nhau và ghi các số
của đĩa.

phần bằng

. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm

Xét phép thử: “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố
số là số nguyên tố ”. Tính xác suất của biến cố .

“Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi

Bài 5.
1) Chiều cao (đơn vị: mét) của 35 cây bạch đàn được cho như sau: Hãy ghép các số
liệu trên thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng có độ dài bằng nhau.
6,6

7,5

8.2

8,2

7,8

7,9

9,0

8,9

8,2

7,2

7,5

8,3

7,4

8,7

7,7

7,0

9,4

8,7

8,0

7,7

7,8

8,3

8,6

8,1

8,1

9,5

6,9

8,0

7,6

7,9

7,3

8,5

8,4

8,0

8,8

2) Một hộp có

viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên

các viên bi đó các số

; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau.

Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Tính xác suất biến cố: “Số xuất
hiện trên viên bi được lấy ra chia dư ”.
Trang 15

Bài 6.
1). Đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9A cho kết quả như sau;
156
157 164 166 166 165 157 155 155 158 160 163 163
161
162 159 159 160 160 160 159 158 160 160 158 163
162
162 162 161 162 161 163 161 163 161 164 166 165
165
Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với các nhóm [155; 158), [158; 161), [161; 164),
[164;167).
Tính tần số tương đối của nhóm [161; 164)
2) . Trong túi có 6 quả bóng bàn kích thước và chất liệu như nhau gồm 2 quả màu đỏ,
2 quả màu trắng, 2 quả màu xanh. Không nhìn vào túi mà lấy ra 2 quả bóng. Tính xác
suất của biến cố A lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ.
Bài 7.
1) Kết quả đo tốc độ của
thống kê dưới bảng sau

xe ô tô (đơn vị:

) khi đi qua một trạm quan sát đã được

a) Hãy ghép các số liệu thành bốn nhóm ứng với bốn nửa khoảng có độ dài bằng nhau.
b) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm ở câu a.
2) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có
viết ra là bình phương của một số tự nhiên”.

chữ số. Xét biến cố

: “Số tự nhiên

Tính xác suất của biến cố A.
Bài 8.
Giáo viên ghi lại thời gian bơi cự ly 50 mét của học sinh lớp 9A cho kết quả trong bảng
sau:
Trang 16

Thời gian (giây)

[40; 45)

[45; 50)

[50; 55)

[55; 60)

Số học sinh

3

7

10

20

1) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương đối?
2) Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất và có 6 mặt. Tính
xác suất của biến cố gieo được mặt có số chấm là bội của 3.
Bài 9.
1) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh lớp
nhóm sau:

thu được mẫu số liệu ghép

Thời gian (phút)
Số học sinh
Tính tần số tương đối của nhóm

? (Làm tròn đến hàng phần mười)

2) Hình dưới đây mô tả một đĩa tròn, cân đối bằng bìa cứng được chia làm tám phần
bằng nhau và ghi các số
tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần.

. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở

Tính xác suất của các biến cố sau: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của ”.
Bài 10.
1) Trong bảng số liệu sau có một số liệu bị điều tra sai. Hãy tìm số liệu đó và
sửa cho đúng.
Tần số
Tần số tương
đối
2) Hình bên dưới mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm
nhau và ghi các số

phần bằng

; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của

đĩa.
Trang 17

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”. Tính xác suất của biến cố D:
a) Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố.
b) Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia cho 3 dư 1.
Bài 11.
1) Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một cửa hàng là: ti vi,
bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa, nồi chiên không dầu, bộ chăn ga, gấu
bông. Bác Hân tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng. Gọi là
biến cố: "Bác Hân chọn được mặt hàng là đồ điện". Hỏi là tập con nào của không gian
mẫu?
2) Một đội văn nghệ có bốn bạn, trong đó có hai bạn nữ là Dung và Ánh, hai bạn
nam là Minh và Quân. Cô tổng phụ trách chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Xác
định số kết quả thuận lợi của biến cố : “Trong hai bạn được chọn có một bạn là Minh”
Bài 12.
1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: ki-lo-gam) có kết quả như sau:

Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng:
,
,
ghép nhóm ở trên.

,

,

. Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu

2) Một bình đựng
quả cầu được đánh số từ đến
có kích thước và khối
lượng như nhau. Chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất biến cố : “Chọn được
quả cầu có số chia hết cho ” là bao nhiêu?
Bài 13.
1) . Khối lượng (đơn vị: gam) của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở gia đình bác Ngọc
là:

Trang 18

a)Hãy ghép các số liệu trên thành năm nhóm sau
Tìm tần số của mỗi nhóm đó.
b) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
2) Một bó hoa gồm
ngẫu nhiên

bông hoa màu đỏ và

bông hoa màu vàng. Bạn Trúc Linh chọn

bông hoa từ bó hoa đó.

a) Liệt kê các cách chọn mà bạn Trúc Linh thực hiện.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
: “Trong

bông hoa được chọn, có đúng bông hoa màu đỏ”;

: “Trong

bông hoa được chọn, có ít nhất bông hoa màu đỏ”.

Bài 14.
1) Hệ thống đăng kiểm quốc gia ghi nhận 2000 xe ô tô của cùng 1 loại xe tới đăng
kiểm. Người ta thu được biểu đồ tần số ghép nhóm về số năm sử dụng tốt mà chưa phải
sửa chữa lớn của xe như dưới đây

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [8; 12)
2) Bạn An là một thành viên của câu lạc bộ nhảy hiện đại khối 9 trong trường
THCS. Để chọn học sinh trong CLB đó tham gia hoạt động văn nghệ chào mừng “Ngày
nhà giáo Việt Nam” của trường, các học sinh trong CLB sử dụng hình thức bốc thăm
với 20 lá thăm giống hệt nhau lần lượt ghi các số tự nhiên từ 1 tới 20 và được để trong
hộp kín. Học sinh lấy được lá thăm ghi số chia hết cho 6 sẽ được tham gia. Bạn An là
người được bốc thăm đầu tiên.
Xét phép thử “Bạn An bốc ngẫu nhiên 1 lá thăm” và biến cố B: ”Bạn An được tham gia
Trang 19

hoạt động văn nghệ chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam của trường”. Tính xác suất của
biến cố B.
Bài 15.
1) Sau khi điều tra cân nặng ( đơn vị: kg) của
học sinh khối lớp 4 của một trường
tiểu học, người ta có biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dưới đây:

Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ. Tìm tần
số ghép nhóm của nhóm
2) Hình vẽ bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng
được chia làm 6 phần bằng nhau và ghi các số
; chiếc kim được gắn cố định vào trục
quay ở tâm của đĩa. Xét phép thử  “Quay đĩa tròn
một lần” và biến cố A : “Chiếc kim chỉ vào hình
quạt ghi số chia cho 2 dư 1”.
Tính xác suất của biến cố A.
Bài 16.
Tình trạng chênh lệch giữa giá vàng Việt Nam với quốc tế kéo dài sẽ khiến cho nền
kinh tế nói chung và thị trường vàng nói riêng đều phải gánh thiệt hại. Đối với nền kinh
tế, chênh lệch giá vàng quá cao gây ra tình trạng nhập lậu vàng và điều đó sẽ tác động
lên tỉ giá chợ đen cũng như gây “chảy máu” ngoại tệ. Dưới đây là biểu đồ chênh lệch
giá vàng trong nước và thế giới 6 tháng đầu năm 2022.

Trang 20

a) Trong bảng trên, mức chênh lệch giá vàng lớn nhất là bao nhiêu và vào lúc nào?
b) Chọn ngẫu nhiên 1 tháng trong 6 tháng đầu năm 2022. Tính xác suất các biến cố sau:
A:” Tháng được chọn có mức độ chênh lệch không quá 15 triệu”.
B:” Tháng được chọn có mức độ chênh lệch lớn hơn 16 triệu”.
Bài 17.1) Công ty điện lực thống kê lượng điện tiêu thụ (đơn vị: kWh) cúa một số hộ
gia đinh trong một khu vực trong tháng. Dữ liệu được ghi lại như sau:
150

120

180

200

130

100

160

190

219

210

170

140

110

130

160

180

150

200

210

190

Lâp bảng tần số ghép nhóm theo các khoảng lương điện tiêu thụ sau:
;

;

;

.

2) Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số 2 ; 3 ;5 ; 8 . Bạn Phi và bạn Thanh
lần lượt mỗi người lấy ra 1 tấm thẻ từ hộp (Biết trong mỗi đợt lấy thì bạn Phi lấy tấm
thẻ trước và không bỏ tấm thẻ lại vào hộp). Tính xác suất của biến cố sau: M : “Tích các
số ghi trên 2 tấm thẻ là số lẻ".
Bài 18.
1) Khảo sát đánh giá của khách hàng về chất lượng một loại dịch vụ mới, số liệu
được biểu diễn trong biểu đồ sau:

Trang 21

a) Lập bảng tần số tương đối cho mẫu số liệu.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn dữ liệu.
2) Một hộp có 20 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; …
; 20, hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác
suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có một chữ số”.
Bài 19.
1) Bảng sau thống kê số lượt nháy chuột vào quảng cáo ở một trang web vào tháng
12/2022.
Số lượt
chuột

nháy

Số người dùng
Lập bảng tần số tương đối cho mẫu số liệu trên.
2) Một hộp đựng 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên một viên bi
từ hộp. Xét biến cố : "Viên bi lấy ra có số ghi trên đó là số nguyên tố". Tính xác suất
của biến cố .
Bài 20.
1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: ki-lo-gam) có kết quả như sau:

Mẫu số liệu

thống kê

ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng:
,

,

,

,

. Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm ở

trên.
2) Một hộp đựng

tấm thẻ như nhau được đánh số từ
Trang 22

đến

. Rút ngẫu nhiên

một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố

: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của

”.

Bài 21.
1) Một ngân hàng thống kê số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà 80 hộ gia đình vay để
phát triển sản xuất. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm ở Hình 1.

Hình 1
Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu được ghép nhóm đó.
2) Một hộp có chứa ba viên bi vàng lần lượt ghi các số 1; 2; 3 và hai viên bi nâu
lần lượt ghi các số 4; 5. Các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu
nhiên đồng thời hai viên bi trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Hai viên bi được lấy
ra khác màu”.
Bài 22.
Một cửa hàng ghi lại cỡ của các đôi giày đã bán trong một ngày ở bảng sau:

a) Hãy xác định cỡ mẫu, lập bảng tần số và tần số tương đối của mẫu số liệu trên.
b) Hãy vẽ biểu đồ dạng cột mô tả bảng số liệu trên.
c) Cửa hàng nên nhập về để bán cỡ giày nào nhiều nhất, cỡ giày nào ít nhất?
B: “Trong

bông hoa được chọn, có ít nhất bông hoa màu đỏ”.
CHỦ ĐỀ 5: PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG
5

Bài 1: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 m ≠ 2 có đồ thị là đường thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi đường thẳng d với trục Õ là góc nhọn, tù.
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đường thẳng y =3x-4
Trang 23

d. (d) cắt đường thẳng 2x+ y = --3 tại điểm có hoành độ bằng -2

Bài 2: cho (p) y = 2x2 và đường thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 . Tìm m để:
a. Đường thảng (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
Bài 3: Cho hàm số:
có đồ thị (P).
a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt bằng –1 và 2.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ
tiếp điểm.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = – 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 5: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2.
Bài 6:
Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2.
Bài 7: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 và hai đường thẳng sau:
a)
b)
c)
d)

(d1):
(d2): 4x + 5y – 11 = 0
Tìm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy.
Vẽ (P), (d1), (d2) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d2).
Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d1).

Bài 8: Cho Parabol (P):
và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng – 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x1  x2 thỏa mãn:
Bài 9: Cho hàm số: y = ax2 có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
CHỦ ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Trang 24

Bài 1. Cho tam giác
nhọn
của tam giác
a) Chứng minh

nội tiếp đường tròn
Hai đường cao
cắt nhau tại điểm
Gọi là trung điểm

và

đồng dạng

b) Chứng minh đường thẳng
c) Đường phân giác góc
là trung điểm của

vuông góc với đường thẳng
cắt
và
lần lượt tại
và Gọi là trung điểm của
Chứng minh tứ giác
nội tiếp và ba điểm
thẳng hàng.

Bài 2. Cho đường tròn
, dây
cố định. Gọi là điểm chính giữa cung nhỏ
, kẻ
đường kính
cắt
tại . Lấy điểm
bất kỳ trên cung lớn
,
cắt
tại .
Đường thẳng
cắt đường thẳng
tại .
a) . Chứng minh: Tứ giác
nội tiếp.
b). Chứng minh:
.
c). Gọi
là giao điểm của đường thẳng
tròn

tại

. Chứng minh

và

. Kẻ

cắt

tại

, cắt đường

thẳng hàng.

Bài 3. Cho đường tròn tâm
và dây
cố định không đi qua . Trên cung lớn
điểm sao cho
. Kẻ đường kính
là hình chiếu của
trên
.
điểm của
.
a) Chứng minh bốn
cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ
tại . Chứng minh
và
cân.
c) Gọi
là hình chiếu của
trên
. Chứng minh khi A di chuyển trên cung lớn
tâm đường tròn ngoại tiếp
là 1 điểm cố định.
Bài 4. Tứ giác
cắt nhau tại
Từ
tại điểm thứ hai là
a)
b)
c)

là tứ giác nội tiếp.
là tia phân giác của

.

.
đường kính

a) Chứng minh tam giác

vuông tại

, lấy điểm

kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn

vuông góc với

tại

. EH cắt
Trang 25

sao cho

và tính số đo các góc
, nó cắt tia

với nửa đường tròn
( là tiếp điểm). Gọi
minh rằng OD ⊥ BE v à DI . DO=DA . DC
c) Kẻ

thì

nội tiếp đường tròn tâm đường kính
Hai đường chéo
kẻ
vuông góc với
(
). Đường thẳng
cắt đường tròn
Giao điểm của
và
là
Chứng minh :

Bài 5. Trên nửa đường tròn

b) Qua

lấy
là trung

tại

tại

của tam giác vuông
. Qua

là giao điểm của

. Ch...