TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

I. Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:

Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm
,
, ...,
. Ta có




Dấu “=” xảy ra

=
= ... =
.

Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số
, ...,
và
, ...,
. Ta có
(
+ ... +
)(
+ ... +
)


Dấu “=” xảy ra

=
= ... =
.
Ví dụ 1. Cho x, y > 0. Tìm min f(x, y) = x +
.
Giải. f(x, y) = x +

x +
= x +
=

8.
Vậy f(x, y)
8. Dấu “=” xảy ra



.

Ví dụ 2. Tìm GTNN của S =
với x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Giải.
S =






=




=
.
S

.
Dấu “= ” xảy ra

.

Ví dụ 3. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của hàm số:
f(A, B, C) =


.
Giải.
Ta có:
f(A, B, C) = 1 +
+
+
+
+
+
+

1 + 3
+ 3
+
=


= 27.

min f = 27 khi tam giác ABC đều.

Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi:

1) Tìm min, max của hàm số:
f(x, y, z) =

Trên D =
.
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm min của f(x, y, z ) =
.
3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x, y, z) =
+
+
+
.
(Đ/s: min f = 30 tại x = y = z =
).
4) Cho ac > 0 và
+
=
. Tìm min của f(a, b, c ) =
+
.

Ví dụ 3. Tìm min của hàm số:
f(x, y) =
+
.
(với a, b, c là các hằng số dương)
Giải.
f(x, y) = a[
+
] + b[
+
]
= a
+ b

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:
[(c
+ d
) + (c
+ d
)][
+
]
1


. Dấu “=” xảy ra

=
=



=
.
tương tự:


. Dấu “=” xảy ra

=
.
vậy f(x, y)

. Dấu “=” xảy ra

=
.
min f =
khi
=
.

Bài tập áp dụng Bunhia:

1) Cho x, y, z > 0; x + y + z =
. Tìm Min của biểu thức f(x, y, z) =
+
+
.
2) Tìm max của hàm số: f(x, y) =
+
.
Trên miền D=
.
3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác. Tìm min của biểu thức:
M =
+
+
.

Ví dụ 4. Cho x, y, z, t

. Tìm min của hàm số: f(x, y, z, t) =
+
+
+
.
Giải.
Vì x, y, z, t

và ta có

x –




.
Tương tự và cộng vế với vế ta có: f(x, y, z, t)
2(
+
+
+
)
8
= 8.

f(x, y, z, t)
8. Dấu “=”
x = y = z = t =
.

II. Sử dụng các bất đẳng thức khác:

Bất đẳng thức trị tuyệt đối:


+







Dấu “=” xảy ra
ab > 0.

Ví dụ. Cho
, ...,
là các hằng số cho trước. Tìm min của biểu thức
T =
+
+ ... +
.
Giải.
Không mất tính tổng quát giả sử

...


TH1: n = 2k

+


–
. Dấu “=”


x

.
................................

+


–
. Dấu “=”


x

.

T
(
+ ... +
) – (
+ ... +
). Dấu “=”


x

.
Với n = 2k thì minT = (
+ ... +
) – (
+ ... +
) tại

x

.
TH2: n = 2k + 1.

+


–
. Dấu “=”


x

.
................................

+


–
. Dấu “=”


x

.


0. Dấu “=”

= 0.

T
(
+ ... +
) – (
+ ... +
). Dấu “=”

= 0.
Với n = 2k + 1 minT = (
+ ... +
) – (
+ ... +
) khi
= 0.