CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN
Bài 1: Tìm GTNN của: A  x  x  3 x  4  x  7 

Bài 2: Tìm GTNN của: B   x  1 x  3  x 2  4 x  5

Bài 13: Tìm GTNN của: C  x 4  6 x3  10 x 2  6 x  9
HƯỚNG DẪN:

C   x 4  2.3 x 2 .x  9 x 2    x 2  6 x  9    x 2  3 x    x  3   0
2

2

Bài 14: Tìm GTNN của: C  x 4  4 x3  9 x 2  20 x  22
2
2
Bài 18: Tìm GTLN của: A   2 x  1   3x  2   x  11
Bài 19: Tìm min của: A   x  2    x  2 
4

4

Bài 45: Tìm GTNN của: A  x 2  2 xy  2 y2  4 y  5
DẠNG 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
2
2
Bài 1: Tìm GTNN của: A  x  2 xy  2 y  2 x  10 y  17
2
2
Bài 2: Tìm min của: B  x  xy  y  2 x  2 y
2
2
Bài 3: Tìm min của: C  x  xy  y  3x  3 y
2
2
Bài 4: Tìm min của: D  x  2 xy  6 y  12 x  2 y  45
2
2
Bài 5: Tìm min của: E  x  xy  3 y  2 x  10 y  20
2
2
Bài 6: Tìm max của: F   x  2 xy  4 y  2 x  10 y  3

Bài 7: Tìm min của: G   x  ay   6  x  ay   x2  16 y 2  8ay  2 x  8 y  10
2

Bài 21: Tìm GTNN của A  a2  ab  b2  3a  3b  3
HƯỚNG DẪN:





Ta có: 4 P  a 2  2 ab  b 2  3 a 2  bh2  4  2 ab  4 a  4b   a  b   3  a  b  2   0
2

Bài 22: Tìm min của: G  x 2  xy  y 2  3  x  y   3
2
2
2
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x  4 y  z  2 x  8 y  6 z  15  0

Bài 24: Tìm min của: A  2 x  y  2 xy  2 x  3
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : a 2  ab  b 2  3a  3b  3
HƯỚNG DẪN:
2

2

P  a 2  ab  b2  3a  3b  3  4P   a  b   3  a  b  2   0
2

2

2
2
2
Bài 30: Tìm min của: A  x  6 y  14 z  8 yz  6 zx  4 xy
2
2
2
Bài 31: Tìm min của: B  x  2 y  3z  2 xy  2 xz  2 x  2 y  8 z  2000

2

DẠNG 3: PHÂN THỨC
2
6 x  5  9 x2
1
Bài 2: Tìm min của: B  2
x  4x  9

Bài 1: Tìm min của: A 

6
x  2x  3
2
Bài 5: Tìm min hoặc max của: K  2
x 8
3x 2  8 x  6
Bài 7: Tìm min hoặc max của: E  2
x  2x 1
x2  4x  1
Bài 8: Tìm min hoặc max của: G 
x2
x 2  2 x  2015
Bài 13: Tìm min hoặc max của: E 
2015 x 2
x
Bài 14: Tìm min hoặc max của: F 
2
 x  2000 

Bài 4: Tìm min hoặc max của: D 

2

x2
x 2  2 x  2010
2x2  6 x  5
Bài 36: Tìm min hoặc max của: Q  2
x  2x 1
2x2  4 x  4
Bài 37: Tìm min hoặc max của: A 
x2
2x 1
Bài 38: Tìm min hoặc max của: B  2
x 2
x2  2
Bài 39: Tìm min hoặc max của: C  2
x x2
x2  2x  3
Bài 40: Tìm min hoặc max của: D  2
x  2x  3
x2 y  x2  x2  y   1
Bài 41: Tìm min hoặc max của: G 
2x4  x4 y 2  y 2  2
Bài 35: Tìm min hoặc max của: P 

Bài 42: Tìm min hoặc max của: H 

x4  1

x

2



1

2

3x 2  4
Bài 43: Tìm min hoặc max của: A  2
x 4
3x 2  2 x  3
Bài 44: Tìm min hoặc max của: C 
x2  1
3 x 2  6 x  17
Bài 45: Tìm min hoặc max của: H  2
x  3x  5
x2
Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức: 4
, GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x
x  x2  1
HƯỚNG DẪN:

Ta có : P( x) 

x2
1
1
 x2  2  1  3
=
4
2
x  x  1 P( x)
x
DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN

2
2
Bài 1: Tìm min của: A  3x  y biết : 3 x  y  1
HƯỚNG DẪN:
2
2
y  1  3x  A  3x  1  3x  = 12 x 2  6 x 2  1

Bài 4: Tìm max của: B  a.b biết: 3a  5b  12
3
3
Bài 5: Tìm min của: C  x  y  xy biết: x  y  1
HƯỚNG DẪN:
3
Từ gt=> y  1  x thay vào C ta được: C  x3  1  x   xy  2 x 2  2 x  1
2
2
Bài 6: Tìm min của: D  x  2 y biết: x  2 y  1
HƯỚNG DẪN:

Từ gt=> x  1  2 y thay vào D  1  2 y   2 y 2
2

2
2
Bài 7: Tìm min của: E  2 x  5 y biết: 4 x  3 y  7
HƯỚNG DẪN:
4x  7
Từ gt=> y 
thay vào E
3
2
2
Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của: A  x  y
Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của: B  3  xy

 1  1 
Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P   1    1  
 a  b 
2

2

 1  1
Bài 10: Tìm min của: F  1    1   , biết: a+b=1 và a,b >0
 a  b
HƯỚNG DẪN:
2
2
2
2
2
2
b 
a
a b a b 
 ab   ab 
8

4



Ta có: 1 
=


  2
  1 
  2  2 
a2 
a  
b  
a 
b
b a b


 8  4.2  2  18
1 y2

 4 , Tìm max của: A= x.y
x2 4
HƯỚNG DẪN:
2
2
2

1 
y
 2 1
  2 y

Từ gt ta có : 4   x  2  2    x   xy   xy  2 => 4   x     x    xy  2
x
4
x 
2

 



Bài 11: Cho x,y thỏa mãn: 2 x 2 

=> xy  2  4  xy  2
Bài 12: Cho hai số thực a,b  0, thỏa mãn: 2a 2 

S  ab  2017
HƯỚNG DẪN:

b2 1
  4 , Tìm min, max của:
4 a2

2

1 
b
 2 1
  2 b

Từ gt ta có : 4   a  2  2    a   ab   ab  2   a     a    ab  2
a
4
a 
2

 


=> ab  2  4  ab  2017  2019  S  2019
2

2

2

1 
b
 2 1
  2 b

Mặt khác : 4   a  2  2    a   ab   ab  2   a     a    ab  2
a
4
a 
2

 


=> ab  2  4  ab  2  ab  2017  2015 => S  2015
8 y2
 8 , Tìm min, max của: A  xy  2024
Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: x 2  2 
x
8
HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có :

8 y2
16 y 2  2 16
y2
 
8  x2  2 
 16  2 x 2  2 
  x  2  8    x 2   xy   xy  8
x
8
x
4 
x
4
 

2

2

2

2

4 
y

=> 8   x     x    xy  8   xy  8  16  xy  8  A  xy  2024  2016
x 
2

2

4 
y
 2 16   2 y

 xy   xy  8   x     x    xy  8
Mặt khác : 16   x  2  8    x 
x
4
x 
2

 


=> xy  8  16  xy  8  S  xy  2024  2032
2

2

1 y2
 4 , Tìm max, min của A  xy
Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn: 2 x  2 
x
4
1
Bài 15: Cho x,y  R khác 0 biết: 8 x 2  y 2  2  4 , Tìm x,y để B  x. y đạt min và đạt max
4x
HƯỚNG DẪN:
1
1


Ta có : 4  8 x 2  y 2  2   4 x 2  2  2    4 x 2  y 2  4 xy   4 xy  2
4x
4x


2

2

1 
1
2

4 =  2 x     2 x  y   4 xy  2  4 xy  2  4  B  xy 
2x 
2

1 
1
2

Mặt khác : 4   2 x     2 x  y   4 xy  2  4 xy  2  4  B  xy 
2x 
2

2
1 y
 4 . Tìm min của: P  xy
Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: 2 x 2  2 
x
4
Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của: A   4 x 2  3 y  4 y 2  3x   25xy
2

HƯỚNG DẪN:
Ta có : A  16( xy)  12 x  12 y  9 xy  25xy  6 x2 y 2  12  x3  y3   34 xy
2

3

3

Vì x+y =1 nên x3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2    x  y   3xy  1  3xy , thay vào A
2

A  6 x 2 y 2  12 1  3xy   34 xy , Đặt xy=t khi đó : A  6t 2  2t  12
Bài 17: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x  y  1 Tìm min của biểu thức:



C  x2  4y

 y

2



 4 x  8 xy

2
2
Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của: A  x  2 y
HƯỚNG DẪN:

Từ gt ta có : x  3  2 y thay vào A   3  2 y   2 y 2  6 y 2  12 y  9
2

2
2
2
2
Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x  y  xy  4 , Tìm min và max của: A  x  y
HƯỚNG DẪN:
2
2
2
2
Ta có : x  y  xy  4  2 x  2 y 2  2 xy  8   x  y   x 2  y 2  8

=> x 2  y 2  8 hay A  8
mặt khác : 8  2 x2  2 y 2  2 xy  2 x2  2 y 2  8  2 xy  3x2  3 y 2  8   x  y   8
8
8
=> x 2  y 2  hay A 
3
3
3
3
Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: A  x  y  2 xy
HƯỚNG DẪN:
3
Từ gt ta có : y  2  x thay vào A ta được : A  x3   2  x   2 x  2  x 
2

Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn: x  y  4  0 , Tìm max của:



 



A  2 x3  y 3  3 x 2  y 2  10 xy

HƯỚNG DẪN:
Ta có : x+y= - 4, nên x  y   x  y   3xy  x  y   64  12 xy ,
3

3

3

x2  y 2   x  y   2 xy  16  2 xy thay vào A  2  64  12 xy   3 16  2 xy   10 xy
2

Bài 21: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x  y  1 , Tìm GTNN của



C  x2  4y

 y

2



 4 x  8 xy

Bài 22: Cho x, y, z  R, thỏa mãn: 2 x  2 y  z  4 , Tìm max của: A  2 xy  yz  zx
HƯỚNG DẪN:
Từ giả thiết=> z  4  2 x  2 y thay vào A ta được :

A  2 xy  y  4  2 x  2 y   x  4  2 x  2 y   2 x 2  2 y 2  2 xy  4 x  4 y

Bài 23: Cho x,y,z  R thỏa mãn: x  y  z  6 . Tìm max của: A  xy  2 yz  3zx
HƯỚNG DẪN:
Từ gt => z  6  x  y thay vào A  xy  2 y  6  x  y   3x  6  x  y 
Bài 24: Cho x,y  R thỏa mãn: x 2  2 xy  7  x  y   2 y 2  10  0 , Tìm min và max của:
S  x y3

HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có : x  2 xy  7 x  7 y  2 y 2  10  0
2

(2 y  7) 2
7
9
 2 y  7   2 y  7

2


2
y

7
y

10

 0 =>  x  y    y 2   0
=> x  2 x 

4
4
2
4
 2 

3
7 3
=>   x  y    5  x  y  2 => 2  x  y  3  1
2
2 2
3m 2
2
2
Bài 25: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn: n  np  p  1 
, Tìm min, max của:
2
2

2

A mn p

HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có : 2n  2np  2 p  2  3m2  3m2  2n 2  2 p 2  2np  2
2

2

=> (m2  n2  p 2  2mn  2np  2mp)   2m2  n2  p 2  2mn  2mp   2

2

=>  m  n  p    m  p    m  n   2 =>  2  m  n  p  2
2

2

2

Bài 26: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: x  y  z  3 , Tìm min, max của: P  x  y  2 z
HƯỚNG DẪN:
2
2
2
Ta có : P   x  y  2 z   x  y 2  4 z 2  2 xy  4 yz  4 xz , nên ta nhân 6 vào gt :
2

2

2

18  6 x2  6 y 2  6 z 2   x2  y 2  4 z 2  2 xy  4 yz  4 zx   5x 2  5 y 2  2 z 2  2 xy  4 yz  4 zx 
18   x  y  2 z    x  y    2 x  z    2 y  z  =>  x  y  2 z   18
2

2

2

2

2

 18  x  y  2z  18
Bài 27: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2m 2  2n 2  4 p 2  3mn  mp  2np 

3
, Tìm min
2

max của: B  m  n  p
HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có : 4m  4n  8 p  6mn  2mp  4np  3
2

2

2

=> 3  m2  n2  p 2  2mn  2mp  2np    m2  n2  5 p 2  4mp  2np   3
=> 3  m  n  p    2 p  m    n  p   3 => 3  m  n  p   3  1  m  n  p  1
2

2

2

2

Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn: x  y  z  3 , Tìm min max của: A  xy  yz  zx
HƯỚNG DẪN:
Từ gt=> z  3  x  y thay vào A  xy  y  3  x  y   x  3  x  y  = x 2  y 2  xy  3x  3 y
Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của: B   xy  3 yz  4 zx
HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có : z  3  x  y => B   xy  3 y  3  x  y   4 x  3  x  y 
=>B= 4 x 2  3 y 2  16 xy  9 y  12 x
Bài 30: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2 x  3 y  z  4 , Tìm min max của A   xy  yz  zx
HƯỚNG DẪN:
Từ gt=> z  2 x  3 y  4 thay vào A   xy  y  2 x  3 y  4   x  2 x  3 y  4 
Bài 31: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:

2 x  3 y  z  4 , Tìm min max của:

B  12 xy  3 yz  4 zx

HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có : z  2 x  3 y  4 thay vào B  12 xy  3 y  2 x  3 y  4   4 x  2 x  3 y  4 

Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x  y  2 , tìm min của: A  2  x3  y3   15xy  7
HƯỚNG DẪN:
Từ x + y= -2, ta có : x  y   x  y   3xy  x  y   8  6 xy thay vào
3

3

3

A  2  8  6 xy   15xy  7  3xy  9 và y= - 2 - x thay vào A  3x  2  x   9
Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x  y  2 , Tìm min của





B  x 4  y 4  x3  y 3  2 x 2 y 2  2 xy x 2  y 2  13xy

HƯỚNG DẪN:
B  x  y  x  y  2 x y  2 xy  x 2  y 2   13xy
4

4

3

3

2

2

2

2
2
Từ x+y= - 2, ta có: x 4  y 4   x  y   2 xy   2 x 2 y 2   4  2 xy   2 x 2 y 2



x3  y 3  6 xy  8 , x 2  y 2  4  2 xy , Thay vào b ta được :
B   4  2 xy   2 x 2 y 2  6xy  8   2x 2 y 2  2xy 4  2xy   13xy
2

B   xy  24 , thay y  2  x  B  x  2 x
2

Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x  y  5 , Tìm max của: A  x3  y 3  8  x 2  y 2   xy  2
HƯỚNG DẪN:
Vì x  y  5 nên x  y  125  15 xy và x 2  y 2  25  2 xy thay vào
3

3

A  125  15 xy  8  25  2 xy   xy  2

Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của:
B  x 4  y 4  4  x3  y 3   20  x 2  y 2   2 x 2 y 2  xy
HƯỚNG DẪN:
B  x  y  4  x  y   20  x  y 2   2 x 2 y 2  xy
4

4

3

3

2

Vì x+y=5 nên x4  y 4   25  2 xy   2 x 2 y 2 , x3  y 3  125  15 xy , x 2  y 2  25  2 xy
2

B   25  2 xy   2 x 2 y 2  4 125  15 xy   20  25  2 xy   2 x 2 y 2  xy
2

Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn: x 4  y 4  7  xy  3  2 xy  , Tìm min max của: P  xy
HƯỚNG DẪN:
Từ gt=> x  y  3xy  2 x y  7 =>
4

4

2

2

2

2

3  121

=>  2 xy   
 x  2 x y  y   4x y  3xy  7   x  y    2xy  34   121
16
4
16

2
2
Bài 37: Cho các số thực x,y thỏa mãn: 7 x  9 y  12 xy  4 x  6 y  15  0 , Tìm min max của:
4

2

2

4

2

2

2 2

2

A  2x  3y  5

HƯỚNG DẪN:
Từ gt=>  2 x    3 y   2.2 x.3 y  2.2 x  2.3 y  1  3x 2  16 =>  2 x  3 y  1  3x2  16
2

2

2

Bài 38: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 3x  2 y  5 z  4 xy  2 xz  2 yz  5 , Tìm min max
của: P  x  y
HƯỚNG DẪN:
2
2
Từ gt ta có:  x  y  2 xy    2 x2  y 2  5z 2  2 xy  2 xz  2 yz   5
2

2

2

=>  x  y    x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx    4 z 2  4 xz  x 2   5
2

=>  x  y   5   5  x  y  5
2

2
2
2
Bài 39: Cho các số x, y, z thỏa mãn: 3x  y  2 z  1 . Tìm min max của: p  x  y  z
HƯỚNG DẪN:
2
Từ gt ta có: y  1  3x  2 z => y  1  9 x 2  4 z 2  6 x  12 xz  4 z khi đó :

P  10 x 2  5 z 2  12 xz  6 x  4 z  1

Bài 40: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: A  2 xy  3 yz  4 zx
HƯỚNG DẪN:
Từ gt => z  1  x  y thay vào A  2 xy  3 y 1  x  y   4 x 1  x  y 
Bài 41: Cho x, y  R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y
HƯỚNG DẪN:
Từ gt=> x  1  2 y thay vào P  y 1  2 y 

Bài 42: Cho x,y  R thỏa mãn: x+y=10, Tìm min của: A 

1 1

x y

HƯỚNG DẪN:
Ta có :

1 1
4
4 2
 
 
x y x  y 10 5

Bài 43: Cho x,y  0, x+y=1, Tìm min, max của: A  x  y
HƯỚNG DẪN:
2
Từ gt=> y  1  x thay vào A  x 2  1  x 
2

2

Bài 44: Tìm min max của: P  x  y  z , biết: y 2  z 2  yz  1 

3 2
x
2

HƯỚNG DẪN:
Từ gt => 2 y  2 z  2 yz  2  3x 2  3x 2  2 y 2  2 z 2  2 yz  2
2

2

=>  x2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx    2 x 2  y 2  z 2  2 xy  2 zx   2
=>  x  y  z    x  y    x  z   2   x  y  z   2
2

2

2

2

2
2
Bài 45: Cho x  3 y  2 xy  10 x  14 y  18  0 , Tìm min, max của: S  x  y
HƯỚNG DẪN:
2
2
Từ gt=> x  2 x  y  5   y  5  3 y 2  14 y  18  y 2  10 y  25  0

=>  x  y  5  2  y 2  2 y  1  9   x  y  5  9 => 3  x  y  5  3
2

2

Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c
HƯỚNG DẪN:
Cộng theo vế giả thiết ta được : 3a  3c  5b  72  3  a  b  c   72  2b  72
72
 24
3
Bài 46: Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho a  b b  c c  a  a  b  c

Do b  0  a  b  c 









a, CMR: a  b  c 2
b, Tìm GTNN của P  a  b  c
Bài 47: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min

E  2a  3b  4c
HƯỚNG DẪN:

c 
a  4  3c
Cộng theo vế ta được : a  b  2  
 
b  3c  2
c 

Khi đó: E  2  4  3c   3  3c  2   4c  2  c

4
a  0
3
do 
2
b  0
3

Bài 48: Cho x, y, z  0, 2 x  7 y  2014,3 x  5 z  3031 , Tìm GTLN của biểu thức : A  x  y  z
HƯỚNG DẪN:

Cộng theo vế của gt ta có: 5 x  5 y  5 z  5045  2 y  5045 do y  0 nên

5  x  y  z   5045  x  y  z  1009

ab  bc  ca
4
a b  b2c  c 2 a
Bài 50: Cho x,y,z là các số thực nguyên dương thỏa mãn: x  y  z  xy  yz  zx  6 , tìm min

Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR: a 2  b 2  c 2 

2

2
2
2
của: A  x  y  z

HƯỚNG DẪN:
Ta có: 12  2 x  2 y  2 z  2 xy  2 yz  2 zx
MÀ 2 x  x 2  1 , 2 y  y 2  1 , 2 z  z 2  1 , 2xy  x 2  y 2 , 2yz  y 2  z 2 , 2zx  z 2  x 2
nên 12  3  x2  y 2  z 2   3  x2  y 2  z 2  3

Bài 51: Cho x 2  y 2  z 2  27, Tìm max A  x  y  z  xy  yz  zx
HƯỚNG DẪN:

Ta có :  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   27   x 2  y 2  z 2  z 2  y 2  x 2   81
2

x2  y 2 y 2  z 2 z 2  x2


 27
=>  x  y  z   9 , mặt khác xy  yz  zx 
2
2
2
Khi A  9  29  36 , dấu '=' khi x = y = z = 3
4
4
4
Bài 52: Cho xy  yz  zx  8 , Tìm min của: A  x  y  z
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 64   xy  yz  zx    x 2  y 2  z 2  x 2  y 2  z 2    x 2  y 2  z 2 
2

2

64   x 2  y 2  z 2    x 4  y 4  z 4 12  12  12  => A 

64
64
, min A 
3
3
1
1
Bài 53: Cho x  2 , x  y  3 , tìm min của: P  x 2  y 2  
x x y
19a  3 19b  3 19c  3
 2
 2
Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn: ab  bc  ca  3 , Tìm min của: A  2
b 1
c 1
a 1
HƯỚNG DẪN:
2

A

19 3
1
57 9
19a  3 19b  3 19c  3 19  a b c  3  1 1 1 
 


           3.  .3
2b
2c
2a
2 b c a 2a b c
2 2
abc 2 2

Vì 3  ab  bc  ca  3 3  abc   abc  1
2

Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a  b  c  3 , CMR:

a 1 b 1 c 1


3
b2  1 c2  1 a 2  1

Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm min của: A  a 2  b 2  c 2  d 2
HƯỚNG DẪN:
2

9
9
9
81

, nên xét  a    0  a 2  a   0
4
4
2
16

9
81
9
81
9
81
b 2  b   0, c 2  c   0, d 2  d   0 =>
2
16
2
16
2
16
9
81
a 2  b2  c2  d 2   a  b  c  d    0
2
4
81
9
=> A 
dấu bằng xảy ra khi a  b  c  d 
4
4

Dự đoán dấu “=” a  b  c  d 

Bài 57: Cho a  b  2 ,Tìm max của: A  ab  a 2  b2 
HƯỚNG DẪN:
Ta có: a  b  2  a  b  4  2ab  A  ab  4  2ab   2a 2b2  4ab
2

2

A    a 2b2  2ab  1  2  2 , Max A  2

x  y  z  1 , Tìm min của: A  x  y  z
HƯỚNG DẪN:
2
Đặt x  a  t  0   x  t , y  b, z  c => A  a 2  b 2  c 2 và a  b  c  1
1 1
Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn: a  b  1, Tìm min của: P  a  b  
a b
HƯỚNG DẪN:
1 
1
1
1

Điểm rơi: a  b    2  4a ,=> P   4a     4b    3  a  b   4  4  3  a  b 
a 
b
2
a

mà a  b  1  3  a  b   3  3  a  b   3 => P  8  3  5
1
1
1
Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn: a  b  1, Tìm min của: A  3 3  2  2
a  b a b ab
HƯỚNG DẪN:
1
1
1
1
1
Điểm rơi a  b   3 3  4, 2  8  3 3  2
2
a b
ab
a b
2a b
1
1
1
1
1
1

 55 3 3 4 6 6
Khi đó: A  3 3  2  2 
2
2
a  b 2a b 2a b 2ab 2ab
a  b  2 a b
Bài 58: Cho

Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn: x  y  4 , tìm min của: P  x 2  y 2 

33
xy

HƯỚNG DẪN :
33
k
Điểm rơi: x  y  2 khi đó: P  2 xy 
, nên 2 xy  8   k  32 khi đó:
4
xy
32 1
1
1
4
1
1
P  2 xy    2 64  , Mà:

  P  2.8 
2
xy xy
xy
xy  x  y 
4
4
Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: a  b  c  d  4 , Tìm min của:
1
1
1
1
M 2
 2
 2
 2
a 1
b 1 c 1 d 1



 



Bài 63: Cho x,y thỏa mãn: 11x  6 y  2015 x  y  3  0 , Tìm min của: P  xy  5 x  2016
HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có : 11x  6 y  2015  0 hoặc x  y  3  0
11x  2015
TH1: Ta có : 11x  6 y  2015  0  y 
thay vào P
6
TH2: ta có: x  y  3  0  y  x  3 thay vào P
1
1
1
 2
 2
Bài 64: Cho a,b,c dương và tổng bằng 3, Tìm max của: A  2
a bc b ca c ab
Bài 65: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: 4c  2b  a  b2  c 2  , Tìm min của:
S

3
4
5


bc a a c b a bc

1 1 1
Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  3 , Tìm min P  2  a  b  c      
a b c
2
2
2
Bài 67: Cho x  y  z  1 , tìm min của: F  xy  2 yz  zx
Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a  b  c  1, tìm min của:
ab
bc
ca
11 1 1
S 2
 2
 2
    
2
2
2
a b b c
c a
4a b c
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
ab
bc
ca
11 1 1
1
1
1
1a b b c a c

S 2 2 2 2 2
    


        3
2
a b b c c a 4 a b c  a  b b  c c  a 4 b a c b c a

b a c b a c
3 15
1 x 1 y 1 z 3
S               1  1  1   , dấu “=” khi x 2  4, y 2  4, z 2  4
4 4
 x 4  y 4  z 4 4
a b
Vì đặt   x
b a
Bài 69: Cho P  xy  x  2  y  6   12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  36 , CMR P luôn dương với mọi x,y
R

Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn: x  y  ... , Tìm min của: P 

1
2
 y2 1
2
x
5 xy

2
1  x10 y10  1
Bài 71: Tìm min A   2  2   x16  y16  1  x 2 y 2
2 y
x  4
Bài 72: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x  y  z  3 , Tìm GTLN của : B  xy  yz  zx
HƯỚNG DẪN:
Ta có : B  xy  z  x  y   xy  3   x  y   x  y 



 



y  3  3
2

= xy  3  x  y    x  y    x  y  xy  3x  3 y =   x 
   y  1  3  3
2 
4

2
2
2
x
y
z
 2
 2
Bài 73: Cho x, y, z >0 Tìm GTNN của: A  2
x  2 yz y  2 zx z  2 xy
HƯỚNG DẪN :
2
2
x
y
z2


 1 dấu bằng khi
Ta có: A  2
x  y 2  z 2 y 2  z 2  x2 x2  y 2  z 2
2

2

2

2

2 yz  y 2  z 2 , 2 zx  x 2  z 2 , 2 xy  x 2  y 2 hay x=y=z
2
2
Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn: x  2 xy  2 y  2 x  6 y  5  0 ,
3x 2 y  1
Tính giá trị của biểu thức: P 
4 xy
Bài 75: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : x  y  z  3 , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
 x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y 
thức : P 
 z  x
 x  y
 y  z
Bài 76 : Cho x 2  xy  3 y 2  5 , Tìm Min hoặc max của biểu thức : P  x 2  2 xy  2 y 2
HƯỚNG DẪN :

Ta có :

P x 2  2 xy  2 y 2
 2
5
x  xy  3 y 2

Bài 77 : Cho x  2, x  y  3 , y > 0 , Tìm Min của P  x 2  y 2 

1
1

x x y

HƯỚNG DẪN :
1 1
4
1
1
1
1 1
1



 P  x 2  y 2  

Ta có :  
x y x y
x  y 4x 4 y
x 4x 4 y
x  2
5   2 1 

P   x2 
, Điểm rơi cosi : 
y 

4x  
4y 

x  y  3
x2  3
Bài 78: Cho x > 0, tìm GTNN của: S 
x 1
Bài 79: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:

P

ab
cb

2 a  b 2c  b

2 1 1
  , Tìm GTNN của:
b a c

Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ là:
2
+  a  b   0 dấu “=” khi a=b
+ a  b  2 ab
a b
+  2
b a
Bài 1: Tìm min của biểu thức: A 

2
1
  0  x  1
1 x x
HƯỚNG DẪN:

2  2x  2x 1 x  x
2x 1 x
2x 1 x

 3

 3 2
.
 3 2 2
1 x
x
1 x
x
1 x x
2x 1 x
Dấu '' = '' khi

 x  2  1
1 x
x
x2  1
Bài 2: Tìm min của biểu thức: B 
với x  0
x2
HƯỚNG DẪN:
2
x 45
5
5
 x2
 x2
4 2 54
Tách A 
x2
x2
x2
5
Dấu ''='' khi x  2 
 x  2   5
x2
x2  x  1
Bài 3: Tìm min của: A  2
với x > 0
x  x 1
HƯỚNG DẪN:
2
x  x 1 2x
2x
2
1
2
2
 1 2
 1
Tách A 
, mà x   2 

2
1
1
x  x 1
x  x 1
x
x 1
x  1 3
x
x
2
x  x 1
Bài 4: Tìm min của: A  2
x  2x 1
x2  4 x  4
Bài 5: Tìm min của: B 
với x  0
x
HƯỚNG DẪN:
4
4
Ta có: B  x  4   4  4  8 , dấu bằng xảy ra khi x   x  2
x
x
2
x
Bài 6: Tìm min của: C 
với x >1
x 1
HƯỚNG DẪN:
2
x 11
1
1
 x 1
 x 1
 2  2  2 , Dấu bằng khi
Ta có: C 
x 1
x 1
x 1
1
x 1 
 x  2
x 1
 1
Bài 7: Tìm min của: B   x  1  1   với x > 0
x

HƯỚNG DẪN:
Tách A 

Tách B  x  1  1 

1
1
 2  2 , dấu bằng xảy ra khi x   x  1
x
x
2

 x2

Bài 8: Tìm min của: A   x  1  
 2  với x  1
 x 1 
HƯỚNG DẪN:
2

2


1 
1
2
2 22
Tách A   x  1   x  1 
  2  x  1  2 
2
 x  1 
 x  1

2

Dấu bằng khi 2  x  1 

1

2

Bài 9: Tìm min của: A 

 x  1

  x  1 
4

2

1
1
 x  1   4
2
2

x  x 1
x2  2 x  1
2

x
5
 với 0 < x < 1
1 x x
HƯỚNG DẪN:
5 1  x 
5 1  x 
x
x
5  5x  5x
x




 5  2 5  5 , dấu bằng khi
Ta có: B 
1 x
1 x
x
1 x
x
x
x
2
Bài 11: Tìm min của: C  
(x > 1)
2 x 1
HƯỚNG DẪN:
x 1
x 11
2
x 1
2
2
1
1
C




  2  , Dấu bằng khi
2
2
x 1
2
x 1
x 1 2
2

Bài 10: Tìm min của: B 

2

 x y  x y
Bài 12: Cho x,y >0, Tìm min của: P          2
 y x y x
HƯỚNG DẪN:
2

2

x y
1 9

 1 9
Đặt   t  P  t 2  t  2   t    , mà t  2  P   2     0
y x
2 4

 2 4
 x  a  x  b 
Bài 13: Cho a, b > 0. Tìm min của: A 
với x > 0
x
HƯỚNG DẪN:
2
2
x  ax  bx  ab
ab 

 a  b   x    a  b  2 ab  a  b
Ta có: B 
x
x 

a b
Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho   1 , Tìm x,y
x y
để S  x  y đạt min, Tìm min S theo a,b
HƯỚNG DẪN:
2
a b
bx ay
 a  b  2 ab , min S  a  b
Ta có S   x  y      a  b  
y
x
x y
ay bx
a b

Dấu bằng khi
mà   1  x  a  ab , y  b  ab
x y
x
y









2
1
 với 0  x  1
1 x x
HƯỚNG DẪN:
2  2x  2x 1  x  x
2x 1 x
2x 1 x
Ta có: A 


 3

 3  2 2 , dấu bằng khi
1 x
1 x
x
1 x
x
x
a
b
c
3
Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR:



bc ca ab 2
HƯỚNG DẪN:
yzx
xz y
x yz
Đặt x  b  c, y  c  a, z  a  c => a 
, thay vào VT
,b 
,c 
2
2
2
 x y  z x  z y
y z  x z  x y 
Ta được:    1     1     1  3              6
x x  y y  z z 
 y x x z  y z
x
4

Bài 17: Cho 01 x x
HƯỚNG DẪN:
4 1  x 
4 1  x 
x
x
4  4x  4x
x


 4

 4  4 , dấu bằng khi
Ta có: B 
1 x
1 x
x
1 x
x
x
Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min A  xy
HƯỚNG DẪN:
Từ gt ta có: y  11  x , thay vào A  x 11  x    x 2  11x

Bài 15: Tìm min của: A 

Bài 19: Cho x, y  Z * , Thỏa mãn x+y=2016, Tìm min và max của: B  xy
HƯỚNG DẪN:
Ta có :  x  y    x  y 
2

 x  y   x  y
 4 xy  xy 
2

2

để xy lớn nhất thì  x  y 

2

,
4
2
nhỏ nhất, do x,y  Z mà x+y=2016 và x # y=>  x  y   1 =>

2

20162 1
  1005006 => Max B
4
4
2
Để xy nhỏ nhất thì  x  y  lớn nhất, mà x, y  z , Giả sử : x < y=> 1  x, y  2016
xy 

20162  20142
 2015  Min B
 1   x  y   2014 => xy 
4
2

2

2

2

1 
1

Bài 20: Tìm min của: A   x     y   biết: x,y>0 và x+ y =1
x 
y

HƯỚNG DẪN:
 x2  y 2 

1
1
1 
A  x 2  y 2  2  2  4   x 2  y 2    2 2   4   x 2  y 2  1  2 2   4
x
y
 x y 
 x y 
1
1
2
Ta có : 2  x 2  y 2    x  y   1  x 2  y 2  , và x  y  2 xy  1  2 xy  2 2  16
2
x y
1
25
Khi đó : A  . 1  16   4 
2
2
2
2
2
1 
1 
1

Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng là 1, Tìm Min của : B   a     b     c  
a 
b 
c

HƯỚNG DẪN:
2

1 1
 1
Ta có : B   a 2  b 2  c 2    2  2  2   6 , Từ 1  a  b  c
b
c 
a
1   a  b  c   3  a 2  b 2  c 2   a 2  b 2  c 2 
2

2

1
 1 1 1
 1 1 1
và      3  2  2  2 
3
a b c
a b c 

1 1 1
1 1 1
mà  a  b  c       9     9 =>
a b c
a b c
1 1
1
1 1
 1
3  2  2  2   81  2  2  2  27
b
c 
a
b
c
a
1
Vậy B   27  6
3

Bài 21: Cho a,b,c là các số dương, Tìm min của:
a
b
c 
bc ca ab
A






b
c
bc ca a b 
 a
1 1 1 1
Bài 22: Cho x,y,z  0 , Thỏa mãn:    , CMR:
x y z 4

P

1
1
1


1
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

a 3 b3 c 3
 
b c a

Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn: a  b  c  ab  bc  ca  6 , Tìm min của: A 

1 
1

Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm min của: A   x     y  
x 
y

2

Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của: A 



2



2 x 2  y 2  12 xy
x y

HƯỚNG DẪN:
2
2  x  y   2 xy   12 xy 2  x  y 2  8 xy

1 



 2 x  y 
Ta có : A 
, Co si
x y
x y
x  y 


 x, y  0
1

=> A  4 dấu bằng khi  x  y  1  x  y 
2
4 xy  1


1
x y
2
x y

Bài 26: Cho x,y>0 và x3  y3  3  x2  y 2   4  x  y   4  0 , Tìm min của: A 





1 1

x y

HƯỚNG DẪN:

x3  y 3  3 x 2  y 2  4  x  y   4  0
3
3
2
2
  x  1   y  1   x  y  2   0   x  y  2   x  1   x  1 y  1   y  1  1  0



Ta cm ngoặc vuông >0 với mọi x,y=> x+y+2=0
1 1 x  y 2
1
2
2

 1 
 2
Mặt khác :  
, mà  x  y   4 xy  4  4 xy 
x y
xy
xy
xy
xy

Bài 27: Tìm min của:

x y
x2 y 2
 2  3    5
2
y
x
y x

Bài 28: Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện a 
S

a b

b a

1
 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b