Bài 1 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu được cho bởi u(x,0) = (0 ( x ( l) còn vận tốc ban đầu bằng 0.
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t.
Ta có phương trình dao động của dây : (1)
Theo bài ra, ta có :
điều kiện ban đầu : (2)

và điều kiện biên : (3)
Theo lý thuyết, ta có nghiệm riêng của phương trình (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng : u(x,t) (4)
Ta xác định ak, bk sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2)
Thay (4) vào (2) : (5)
(6)
Giải (5) : Nhận thấy ak là hệ số trong khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0, l).
Nhân 2 vế của (5) với