PHÉP CHIA HẾT
LÍ THUYẾT.
1. Phép chia hết
Với a, b là số tự nhiên, b khác 0.
Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho a = b.n = n.b
2. Tính chất chia hết của một tổng
a) Tính chất 1: Nếu

thì

b) Tính chất 2: Nếu

thì

c) Tính chất 3: Nếu
Lưu ý: Nếu

và
thì

thì

.
.
.

chưa chắc có chia hết cho

hay không? Do đó ta cần tính

tổng để kết luận.
3. Dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2:
Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết
cho 2.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9):
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9).
Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3
(hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
c) Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5

chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.

4. Số nguyên tố:
a) Số nguyên tố. Hợp số
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.
- Chú ý:
+ Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.
+ Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất cũng là số nguyên tố nhỏ nhất.
+ Các số nguyên tố nhỏ hơn

.

b) Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các
thừa số nguyên tố.

- Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.
- Muốn phân tích một số ra thừa số nguyên tố ta dùng dấu hiệu chia hết cho các số nguyên tố
2,3,5, … Phép chia dừng lại khi có thương bằng 1.
- Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được cùng
một kết quả.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1: Tính chất chia hết cảu một tổng, hiệu, tích, luỹ thừa
Dạng 1.1. Tính chia hết của một tổng, hiệu
I. Phương pháp giải: Áp dụng tính chất
Nếu

chia hết cho

• Nếu

và

chia hết cho

• Nếu hai số ,

chia hết cho

thì bội của

chia hết cho
và

thì

cũng chia hết cho Hay

cũng chia hết cho

và

hay

.

thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho .

.

II. Bài toán.
Bài tập trắc nghiệm. Hãy chọn câu trả lời đúng.
Câu 1. Điền các từ thích hợp (chia hết, không chia hết) vào chỗ trống (…)
A. Nếu

thì

B. Nếu

C. Nếu

thì

D. Nếu

thì
thì tích

Câu 2. Các khẳng định sau đúng hay sai?
A. Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết cho 5 thì tổng không chia hết cho 5.
B. Nếu một tổng chia hết cho 6 thì mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6.
C. Nếu

và

thì tích

Câu 3.

Nếu

A. 4

và

thì

B. 6

chia hết cho
C. 10

D. 8

Bài tập tự luận
Dạng 1.1 Tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích, luỹ thừa
Bài 1:Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng (hoặc hiệu) sau có chia
hết cho 8 không?
a)

b)

c)

d)

e)

Bài 2:Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chi hết cho
a)

;

b)

f)
không?

.

Bài 3:Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chia hết cho

không?

a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Bài 4:Không làm tính , xét xem tổng sau có chia hết cho 12 không ? Vì sao ?
a)

b)

(với

Bài 5. Điền dấu x vào ô thích hợp trong các câu sau và giải thích
Câu

Đúng Sai Giải thích

a)

chia hết cho

b)

chia hết cho

c)

chia hết cho

Bài 6:Cho tổng

với

. Tìm

để:

a) A chia hết cho số 3;

b) A không chia hết cho số 3.

Bài 7:Cho tổng

với

. Tìm

để:

a) A chia hết cho số 2;

b) A không chia hết cho số 2.

Dạng 1.2. Tính chia hết của một tích
I. Phương pháp giải
Để xét một tích có chia hết cho một số hay không, ta làm như sau:
Cách 1. Xét xem có thừa số nào của tích chia hết cho số đó hay không. Nếu tồn tại thì thì tích
đã cho chia hết cho số đó.
Cách 2. Tính tích của các thừa số và xét tích đó có chia hết cho số đã cho hay không.
II. Bài toán.
Bài 1:Các tích sau đây có chia hết cho 7 không?
a)

b)

c)

d)

Bài 2: Các tích sau đây có chia hết cho 3 không?
a)

;

b)

;

c)

;

Bài 3:Tích

có chia hết cho 100 không ?

Bài 4:Tích

có chia hết cho 30 không?

Bài 5: Cho

d)

.

. Hỏi A có chia hết cho 6 ; cho 8 ; cho 20 không ? Vì sao?

Bài 6:Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư 12 . Hỏi a có chia hết cho 4 ; cho 9 không vì
sao ?
Bài 7:Điền dấu X và ô thích hợp
Câu
Nếu

và

thì

Đ

S

Nếu

và

thì

Nếu tổng của hai số chia hết cho 9 và một trong hai số chia hết cho 3
thì số còn lại chia hết cho 3
Nếu hiệu của hai số chia hết cho 6 và số thứ nhất chia hết cho 6 thì số
thứ hai chia hết cho 3
Nếu

;

không chia hết cho 5 thì

Nếu

;

không chia hết cho 6 thì

không chia hết cho 5
không chia hết cho 3

chia hết cho 25
không chia hết cho 7
Nếu cả hai số hạng của một tổng không chia hết cho 5 thì tổng không
chia hết cho 5
Để tổng

thì

Bài 8: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Bài 9: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Bài 10: Khi chia một số cho 255 ta được số dư là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì
sao?
Bài 11: Tìm

sao cho:

a) 6 chia hết cho
Bài 12: Tìm
a)

b) 8 chia hết cho

c) 10 chia hết cho

.

sao cho:

chia hết cho ;

Bài 13:Biết

;

b)

chia hết cho

;

c)

chia hết cho

chia hết cho 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6:

a)

b)

Bài 14:Tìm số tự nhiên

để

chia hết cho

.

Dạng 1.3. Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số
I. Phương pháp giải:
Để xét một tổng các lũy thừa cùng cơ số có chia hết cho một số hay không, ta làm như sau:
Cách 1. Xét mỗi số hạng của tổng có chia hết cho số đó hay không. Nếu tất các các số hạng
đều chia hết cho số đó thì tổng cũng chia hết cho số đó.
Cách 2. Sử dụng phương pháp tách ghép, ta làm theo 2 bước:
- Bước 1. Tách ghép các số hạng của tổng sao cho mỗi nhóm tồn tại thừa số chia hết cho số
đó.

- Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) để xét.
II. Bài toán.
Bài 1: Cho
a)

. Chứng minh rằng:

chia hết cho 2;

b)

chia hết cho 3;

c)

chia hết cho 5.

Lời giải:
a)

chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 2.

b) Ta tách ghép các số hạng của

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia

hết cho 3. Khi đó:
.
Từ đó

chia hết cho 3.

c) Ta có:
. Từ đó
Bài 2:Cho
a)

. Chứng minh rằng:

chia hết cho 3;

b)

chia hết cho 4;

Bài 3:Cho
a)

chia hết cho 5.
c)

chia hết cho 13.

c)

chia hết cho 13

. Chứng minh rằng:

chia hết cho 5;

b)

chia hết cho 6;

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng (hoặc hiệu) sau có chia hết cho
a)

;

b)

Bài 2:Cho
a)

;

c)

với

;

d)

không?

.

. Tìm x để:

chia hết cho 5;

b)

không chia hết cho 5,

Bài 3:Xét các tích sau có chia hết cho 9 không?
a)

;

b)

;

c)

Bài 4:Cho

;

d)

. Hỏi biểu thức nào chia hết cho 2;

chia hết cho 5; chia hết cho 3.
Bài 5: Cho

. Chứng tỏ rằng

Bài 6:Cho

. Chứng tỏ rằng

Bài 7:Cho

. Chứng tỏ rằng

Bài 8:Cho

.

. Chứng tỏ rằng

.
.
.