ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Giữa các cạnh và các góc của một tam giác có các công thức liên hệ gọi là các hệ thức lượng trong tam giác. Chúng ta ôn lại những hệ thức đó và các ứng dụng của chúng.
    Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu: a = BC, b = CA, C=AB.
Với Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và có BC = a, CA=b, AB=c. Gọi BH = c’ và CH=b’ (h.2,11). Các hệ thức sau đây gội là các hệ thức lượng trong tam giác vuông:





1. Định lí côsin     a) Bài toán. Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC (h.2.12)
 
GIẢI



Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra định lí sau đây:     b) Định lí côsin
            Trong tam giácABC bất kì với BC = a, CA=b, AB = c ta có:
                


 Hệ quả



c) Áp dụng. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.      Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma , mb và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B và C của tam giác. Ta có:



GIẢI Đặt BC = a, CA = b, AB = c.. 
Theo định lí





2. Định lí sin     a) Định lí sin             Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = C và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:



3. Công thức tính diện tích tam giác     Ta kí hiệu ha, hb, hc là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C và S là diện tích tam giác đó.     Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA= b, AB = c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và p là ½ chu vi của tam giác.

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau


Ví dụ 1. Tam giác ABC có các cạnh a = 13m, b = 14m và c = 15m.     a) Tính diện tích tam giác ABC.      b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp (r) và ngoại tiếp (R) tam giác ABC.  GIẢI a) Ta có 
Theo công thức Hê-rông ta có: 




b) Áp dụng công thức S = pr ta có 
Vậy đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r = 4m. 



4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc a) Giải tam giác     Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.

Bài toán 1. Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp.  Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp.
Chọn hai điểm A,B trên mặt đất sao cho ba điểm A,B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc
Chẳng hạn ta đo được AB = 24m
Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau:








Bài toán 2. Tính khoảng cách từ một địa điểm A trên bờ Hồ Gươm đến điểm C Tháp Rùa ở giữa hồ.

Để đo khoảng cách từ một điểm A đến C, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc
Khi đó khoảng cách AC được tính như sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có




5/ Bài tham khảo bổ sung
Người ta đã đo khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng như thế nào?


 Loài người đã biết được khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng cách đây khoảng hai ngàn năm với một độ chính xác tuyệt vời là vào khoảng 384 000 km. Sau đó khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng đã được xác lập một cách chắc chắn vào năm 1751 do một nhà thiên văn người Pháp là Giô-dep La-lăng (Joseph Lalande, 1732-1807) và một nhà toán học người Pháp là Ni-cô-la La-cay (Nicolas Lacaille,1713 – 1762). Hai ông đã phối