PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020- 2021
Môn thi: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu1.(4,5điểm)1.Tính hợp lí giá trị các biểu thức sau:
A =

B =

2. Cho a + b + c = 2021 và
=
. Tính C =

Câu 2.(3,5điểm)Tìm x biết:
a. (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n là số tự nhiên
b.

Câu 3.(4 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy -5 = x2 +2y
b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3).
Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho 3.
Câu 4.(6 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh:
a) FB = EC
b) EF = 2AM
c) AM
EF
Câu 5.(2điểm).Chứng tỏ rằng S =
không là số tự nhiên với mọi n
N
................................ Hết ....................................


Họ tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: .............











PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi : Toán 7



Câu
Ý
Nội dung
Điểm



1
(4,5đ)
1.a
(1,5)
A =
=
= 2



0,5đ

1đ


1.b
(1,5)
B=
=
=




1,5đ


2 (1,5)
Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c);
c = 2021-(a+b)
=>C =
= 2021(
) - 3
= 2021.
- 3 =

0,5đ

0,5đ

0,5đ






2
(3,5)
a
(1,5)
a. (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 Suy ra:
Từ đó tìm được x = -2; x= -1; x = -3
1,5đ


b
(2đ)
b.

Ta có
;
Do đó để
thì

Suy ra x = 2020

1đ


1đ





3
(4đ)


a
(2,0đ)






a. 3xy - 5 = x2 + 2y

y(3x - 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x - 2
9(x2 + 5) chia hết cho 3x - 2

9x2 -6x + 6x - 4 +49 chia hết cho 3x - 2

49 chia hết cho 3x - 2
3x - 2

x

thay vào (1) được y

. Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); (17;6)

0.5

0.5

0,5
0,5





b
2,0
b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3)
a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3
Mà 3c3 - 15d3 chia hết cho 3 nên a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho 3 (1)
Lại có a
a3 (mod3)
b
b3(mod3); c
c3(mod3); d
d3(mod3)
suy ra a + b+ c +d
a3 + b3 +c3 + d3 (mod3) (2)
Từ (1) và (2) suy ra a +b +c + d chia hết cho 3

1đ


0,5


0,5












4
(6đ)

Vẽ hình chính xác và viết đúng GT,KL








0,5