SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PHỔ THÔNGNĂM 2015
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi này có 01 trang)


Câu 1. (3,5 điểm)
Giải các phương trình:




Trên mặt phẳng tọa độ
, đồ thị hai hàm số
và
cắt nhau tại hai điểm có tọa độ lần lượt là
và
với
. Tính biểu thức
theo tham số
và tìm giá trị lớn nhất của
.
Câu 2.(1,5 điểm)
Cho
là nghiệm của hệ phương trình:

với
.
Tính giá trị biểu thức

Câu 3.(1,0 điểm)
Cho ba số thực dương
thỏa mãn
. Chứng minh bất đẳng thức:


Câu 4.(3,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính
(kí hiệu
) có dây cung
song song với
(
). Gọi
là giao điểm của hai đoạn thẳng
và
. Đường tròn tâm
bán kính
(kí hiệu
) cắt đường tròn
tại hai điểm
và
, (
và
cùng phía đối với đường thẳng
). Đường thẳng
cắt các đường thẳng
và
lần lượttại
và
.
Chứng minh

Chứng minh
là tiếp tuyến của đường tròn
.
Gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
. Chứng minh đường thẳng
vuông góc với đường thẳng
.

Câu 5.(1,0 điểm)
Tìm số nguyên tố
sao cho
là số chính phương.

............................ Hết ...........................

Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: ....................
Chữ kí của giám thị 1:.................................... Chữ kí của giám thị 2:...........................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH


ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH
LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2015
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long)
(Hướng dẫn này có 02 trang)

Câu
Sơ lược lời giải
Điểm

Câu 1
(3,5 điểm)

1.a)Giải phương trình:

1,0


Điều kiện:

Biến đổi:

*Trong biến đổi trên, nếu học sinhtính toán không chính xác nhưng phát hiện được:

thì cho tối đa đến 0,5 điểm.
0,25
0,75


1.b) Giải phương trình:

1,0


Biến đổi về dạng:

Đặt

Phương trình trở thành:

Với
, giải phương trình
tìm được

0,25

0,75


2.Trên mặt phẳng tọa độ
, đồ thị hai hàm số
và
cắt nhau tại hai điểm có tọa độ lần lượt là
và
với
. Tính biểu thức
theo tham số
và tìm giá trị lớn nhất của
.
1,5


Viết được phương trình hoành độ giao điểm:

Tính được hai nghiệm của phương trình là:
.(Phương trình có
)
Viết được
Tính
Đánh giá
. Giá trị lớn nhất của
tại
0,25
0,5
0,5

0,25

Câu 2
(1,5 điểm)




Cho
là nghiệm của hệ phương trình:
với
.
Tính giá trị biểu thức

1,5


Trừ vế với vế hai phương trình đầu ta đi đến:

Trường hợp 1.

Giải hệ:

Với
, ta có:

Với
, ta có:



Trường hợp 2.
, hay

Từ phương trình đầu suy ra:

Từ phương trình cuối suy ra:

Nhận thấy,
. Vậy không tồn tại
.
0,25


0,5




0,25
0,5

Câu 3
(1,0 điểm)

Cho ba số thực dương
thỏa mãn
. Chứng minh:

1,0


Ta có
. Dấu bằng xảy ra khi
.
Tương tự,
. Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
.
0,5

0,5

Câu 4
(3,0 điểm)

Cho đường tròn đường kính
(kí hiệu
) có dây cung
song song với
(
). Gọi
là giao điểm của hai đoạn thẳng
và
. Đường tròn tâm
bán kính
(kí hiệu
) cắt đường tròn
tại hai điểm
và
, (
và
cùng phía đối với đường thẳng
). Đường thẳng
cắt