60 cách giải cho bài hình học đơn giản và hay lớp 9
Lời bàn: Cách đây khoảng 8 năm khi tôi còn là học sinh lớp 9. Trong quá trình ôn tập thi HKI toán 9 có 1 câu cuối của bài hình học tương đối khó. Nhưng bây giờ tôi nhìn lại nó là 1 câu rất dễ và hiện nay câu này vẫn còn được nhiều thầy cô áp dụng làm đề thi và kiểm tra. Tôi xin giới thiệu với các bạn và thầy cô thêm nhiều cách giải khác cho bài hình này mà tôi đã nghiên cứu ra. Các cách giải sẽ đi từ cơ bản đên phức tạp. Tuy nhiên, nhằm trách dung lượng file quá nặng, tôi đã không vẽ hình cho tất cả cách giải mà chỉ là hình tổng quát. Xin mọi người thông cảm và tự vẽ thêm các đường cho bài hình ở các cách giải. Tôi có kí hiệu (A, B, C, D) nghĩa là 4 điểm A, B, C, D thuộc 1 đường tròn
Đề bài: Điểm C thuộc đường tròn (O; R) đường kinh AB sao cho AC < BC. Tiêp tuyến tại A của (O) căt BC tại D. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại K.
Chứng minh: OD _|_ AK


Hướng dẫn giải (chỉ đưa ra cách giải sơ lược)
A/ Các cách chứng minh ở mức độ dễ
Cách 1
ACD ~ KCO (g – g) => => ACK ~ DCO (c – g – c)
=> Lại có AC _|_ CD nên dễ suy ra OD _|_ AK
Cách 2
ABD ~ BKO (g – g) => => AOD ~ BKA (c – g – c)
=> Lại có AB _|_ BK nên dễ suy ra OD _|_ AK
Cách 3
OD cắt BK tại M. Dễ chứng minh tứ giác ADBM là hình bình hành => AM // BD
Dễ thấy OK _|_ BD => OK _|_ AM. Từ đó O là trực tâm tam giác AMK => OD _|_ AK
Cách 4
OK cắt AD tại N. Dễ chứng minh tứ giác AKBN là hình bình hành => AK // BN
Dễ thấy OK _|_ BD và O là trực tâm tam giác BND => OD _|_ BN => OD _|_ AK
Cách 5
Kẻ KE _|_ OD tại E. Dễ thấy (K, C, E, O, B) => => (A, D, C, E)
=> AE _|_ OD => A, E, K thẳng hàng hay OD _|_ AK
Cách 6
Kẻ AF _|_ OD tại F, tiếp tuyến tại B của (O) cắt AF tại L. Ta có: (A, D, C, F)
=> => (C, F, O, B). Dễ thấy (B, O, F, L) => (C, F, L, O, B)
=> CL _|_ CO => LC là tiếp tuyến của (O) => L trùng với K => AK _|_ OD
Cách 7
Gọi J là điểm đối xứng B qua D. Dễ thấy OD // AJ. ABD ~ BKO (g – g)
=> => DAJ ~ OAK (c – g – c)
=> => AJ _|_ AK => OD _|_ AK
Cách 8
AK cắt (O) tại S, OK cắt BC tại I. Dễ thấy (K, S, I, B) =>
=> (A, O, I, S) mà dễ thấy (A, O, I, D) => (O, A, D, I, S) => DS _|_ OS => AK _|_ OD
Cách 9
Dễ thấy (B, O, C, K). Đường tròn qua 4 điểm B, O, C, K cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại điểm thứ 2 là I khác C. =>
=> 3 điểm D, I, O thẳng hàng. Dễ thấy AI _|_ OD và KI _|_ OD => 3 điểm A, I, K thẳng hảng hay OD _|_ AK
Cách 10
Đường thẳng qua O vuông góc với OD cắt BK tại T.
AOD ~ BTO (g – g) => AD.BT = OA.OB = R2
ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2
Từ đó suy ra BK = 2BT => TB = TK => AK // OT => AK _|_ OD.
Cách 11
OK cắt BC tại I. Dễ thấy (A, D, O, I). Đường tròn qua 4 điểm A, D, O, I cắt AK tại M khác A. Dễ thấy => (K, M, I, B) => => M thuộc (O)
. Dễ thấy MD là tiếp tuyến của (O) => OD _|_ AK
Cách 12
Kẻ AH _|_ OD tại H. Tiếp tuyến tại