Bài hình kiểm tra học sinh giỏi toán 8 hay và rất khó
Người ra đề: Nguyễn Khánh Ninh
Đề bài: Cho đoạn thẳng AB cố định. Qua A kẻ tia Ax _|_ AB, C là điểm di động trên tia Ax sao cho AC > AB. Kẻ AH _|_ BC tại H. Đường thẳng qua B song song với Ax cắt AH tại K
1/ Chứng minh: giá trị tích HC.HK.(AC + BK) không đổi khi C di động trên tia Ax
2/ Tia phân giác trong của góc cắt AH và AC lần lượt tại D và E, O là trung điểm
của cạnh DE. Chứng minh: AH.DK = BD.BO
3/ Đường thẳng qua K song song với HE cắt AC và BE lần lượt tại S và M. Gọi F là
điểm đối xứng E qua cạnh BC. Kẻ FG _|_ MC tại G.
Chứng minh: giá trị tích MC.MG không đổi khi C di động trên tia Ax
4/ P thuộc cạnh AB sao cho Trên tia đối tia CM lấy điểm T sao cho
Chứng minh: AT _|_ MP

Lời giải chi tiết



1/ Tích HC.HK.(AC + BK) không đổi
AB _|_ Ax và BK // Ax => AB _|_ BK
Xét CHA và CAB:
là góc chung ;
=> CHA ~ CAB (g – g) => => AC2 = HC.BC (1a)
Xét KHB và KBA:
là góc chung ;
=> KHB ~ KBA (g – g) => => KB2 = HK.AK (1b)
Xét ABC và BKA:
; (cùng phụ với )
=> ABC ~ BKA (g – g) => => AB2 = AC.BK (1c)
Lại có: Tứ giác ABKC là hình thang vuông (AC và BK cùng vuông góc với AB). Kí hiệu S là diện tích thì: AK.BC = 2SABKC (do AK _|_ BC)
Mà (AC + BK).AB = 2SABKC (Tứ giác ABKC là hình thang vuông tại B và K)
=> (AC + BK).AB = AK.BC (1d)
Từ (1a), (1b), (1c), (1d) => AB4 = AC2.BK2 = HC.BC.HK.AK = HC.HK.AB.(AC + BK)
=> HC.HK.(AC + BK) = AB3 (không đổi) (đpcm)
2/ AH.DK = BD.BO
Ta có: (góc ngoài tam giác BDK)
Mà (cùng phụ với và (gt)
Nên:
=> Tam giác KBD cân tại A => DK = BK (2a)
Ta có: (2 góc ở vị trí đối đỉnh)
Mà (cmt) và (2 góc ở vị trí sole trong do AC // BK)
=> => Tam giác ADE cân tại A.
Lại có AO là đường trung tuyến của tam giác ADE (OD = OE) => AO _|_ BE
Xét AHB và ABK:
là góc chung ;
=> AHB ~ ABK (g – g) => => AH.BK = AB.BH (2b)
Xét HBD và OBA:
; (gt)
=> HBD ~ OBA (g – g) => => AB.BH = BD.BO (2c)
Từ (2a), (2b), (2c) => AH.DK = AH.BK = AB.BH = BD.BO
=> AH.DK = BD.BO (đpcm)
3/ Tích MC.MG không đổi
HE // MK (gt) nên (định lí talet trong tam giác DMK) (3a)
BD là phân giác góc nên: (tính chất phân giác trong tam giác AHB)
Xét BHA và BAC:
là góc chung ;
=> BHA ~ BAC (g – g) => => AB2 = BH.BC
Từ đó suy ra =>
Do AC // BK và từ các hệ thức trên ta có:
Lại có: AC2 = BC2 – AB2 = (BC – AB).(BC + AB). (định lí pitago trong tam giác ABC)
=>
=> (3b)
Xét HBD và ABE:
; (gt)
=> HBD ~ ABE (g – g) => . Mà (cmt)
=> => (3c)
Từ (3a), (3b), (3c) => MD = BE
Ta có: (cùng phụ với Mà (gt) =>
Xét HBD và OAE:
; (cmt)
=>