Phaàn 1. BAØI TOAÙN ÑEÁM

1. (ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999)
Cho taäp hôïp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Coù bao nhieâu taäp con X cuûa taäp A thoaû ñieàu kieän X chöùa 1 vaø khoâng chöùa 2.
2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau laáy töø taäp A vaø khoâng baét ñaàu bôûi 123.
2. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999)
Moät hoïc sinh coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau, trong ñoù coù 2 cuoán saùch Toaùn, 4 cuoán saùch Vaên vaø 6 cuoán saùch Anh. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp taát caû caùc cuoán saùch leân moät keä saùch daøi, neáu caùc cuoán saùch cuøng moân ñöôïc xeáp keà nhau?
3. (ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999)
Moät baøn daøi coù hai daõy gheá ñoái dieän nhau, moãi daõy coù 6 gheá. Ngöôøi ta muoán xeáp choã ngoài cho 6 hoïc sinh tröôøng A vaø 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo baøn noùi treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp trong moãi tröôøng hôïp sau:
1. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài caïnh nhau hoaëc ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng vôùi nhau.
2. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng vôùi nhau.
4. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999)
Cho taäp X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá n goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät töø X (chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc 0) trong moãi tröôøng hôïp sau:
1. n laø soá chaün.
2. Moät trong ba chöõ soá ñaàu tieân phaûi baèng 1.
5. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999)
Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû, 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng. Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng coù ñuû caû 3 maøu?
6. (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999)
Ngöôøi ta xeáp ngaãu nhieân 5 laù phieáu coù ghi soá thöù töï töø 1 ñeán 5 caïnh nhau.
1. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu soá chaün luoân ôû caïnh nhau?
2. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu phaân thaønh hai nhoùm chaün leû rieâng bieät (chaúng haïn 2, 4, 1, 3, 5)?
7. (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999)
Ngöôøi ta vieát caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 leân caùc taám phieáu, sau ñoù xeáp thöù töï ngaãu nhieân thaønh moät haøng.
1. Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh?
2. Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh?
8. (HV Ngaân haøng TPHCM 1999)
Xeùt nhöõng soá goàm 9 chöõ soá, trong ñoù coù naêm chöõ soá 1 vaø boán chöõ soá coøn laø 2, 3, 4, 5. Hoûi coù bao nhieâu soá nhö theá, neáu:
1. Naêm chöõ soá 1 ñöôïc xeáp keà nhau.
2. Caùc chöõ soá ñöôïc xeáp tuyø yù.
9. (ÑH Haøng haûi 1999)
Coù bao nhieâu caùch saép xeáp naêm baïn hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo moät chieác gheá daøi sao cho:
1. Baïn C ngoài chính giöõa.
2. Hai baïn A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá.
10. (HV BCVT 1999)
Hoûi töø 10 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø 1.
11. (ÑHQG HN khoái B 2000)
Töø 5 chöõ soá 0, 1, 3, 5, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5.
12. (ÑHQG TPHCM khoái A 2000)
Moät thaày giaùo coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 5 cuoán saùch Vaên, 4 cuoán saùch Nhaïc vaø 3 cuoán saùch Hoaï. OÂng muoán laáy ra 6 cuoán vaø taëng cho 6 hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em moät cuoán.
1. Giaû söû thaày giaùo chæ muoán taëng cho caùc hoïc sinh treân nhöõng cuoán saùch thuoäc 2 theå loaïi Vaên vaø Nhaïc. Hoûi coù bao nhieâu caùch taëng?
2. Giaû söû thaày giaùo muoán raèng sau khi taëng saùch xong, moãi moät trong ba loaïi saùch treân ñeàu coøn laïi ít nhaát moät cuoán. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn?
13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000)
Moät lôùp coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc choïn ra ñeå laäp moät toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau neáu:
1) phaûi coù ít nhaát laø 2 nöõ.
2) choïn tuyø yù.
14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000)
Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5. Töø caùc chöõ soá ñaõ cho ta coù theå laäp ñöôïc:
1. Bao nhieâu soá chaün coù boán chöõ soá vaø boán chöõ soá ñoù khaùc nhau töøng ñoâi moät.
2. Bao nhieâu soá chia heát cho 5, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc nhau töøng ñoâi moät.
3. Bao nhieâu soá chia heát cho 9, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc nhau töøng ñoâi moät.
15. (ÑH Y HN 2000)
Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam, 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lí nam. Laäp moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn coù caû nam vaø nöõ, caàn coù caû nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch?
16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000)
Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta laäp caùc soá maø moãi soá coù naêm chöõ soá trong ñoù caùc chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät. Hoûi
1. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 2.
2. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët hai chöõ soá 1 vaø 6.
17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000)
Moät ñoäi vaên ngheä coù 20 ngöôøi, trong ñoù coù 10 nam vaø 10 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi sao cho:
1. Coù ñuùng 2 nam trong 5 ngöôøi ñoù.
2. Coù ít nhaát 2 nam vaø ít nhaát 1 nöõ trong 5 ngöôøi ñoù.
18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000)
Töø 3 chöõ soá 2, 3, 4 coù theå taïo ra ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, trong ñoù coù maët ñuû 3 chöõ soá treân.
19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000)
Coù bao nhieâu soá goàm 5 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi soá laø moät soá leû.
20. (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000)
Coù 9 vieân bi xanh, 5 vieân bi ñoû, 4 vieân bi vaøng coù kích thöôùc ñoâi moät khaùc nhau.
1. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi ñoû.
2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù soá bi xanh baèng soá bi ñoû.
21. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000)
Coù 5 theû traéng vaø 5 theû ñen, ñaùnh daáu moãi loaïi theo caùc soá 1, 2, 3, 4, 5. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp taát caû caùc theû naøy thaønh moät haøng sao cho hai theû cuøng maøu khoâng naèm lieàn nhau.
22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000)
Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 8 chöõ soá töø caùc chöõ soá: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong ñoù caùc chöõ soá 1 vaø 6 ñeàu coù maët 2 laàn, caùc chöõ soá khaùc coù maët 1 laàn.
23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000)
Coù bao nhieâu soá khaùc nhau goàm 7 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi soá laø moät soá chaün.
24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000)
Tìm taát caû caùc soá töï nhieân coù ñuùng 5 chöõ soá sao cho trong moãi soá ñoù chöõ soá ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá ñöùng lieàn tröôùc.
25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
Moät ñoàn caûnh saùt khu vöïc coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy, caàn cöû 3 ngöôøi laøm nhieäm vuï ôû ñòa ñieåm A, 2 ngöôøi ôû ñòa ñieåm B, coøn 4 ngöôøi thöôøng tröïc taïi ñoàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng?
26. (ÑH GTVT 2000)
Moät lôùp hoïc coù 20 hoïc sinh, trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp. Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû 3 ngöôøi ñi döï hoäi nghò Hoäi sinh vieân cuûa tröôøng sao cho trong 3 ngöôøi ñoù coù ít nhaát moät caùn boä lôùp.
27. (HV Quaân y 2000)
Xeáp 3 vieân bi ñoû coù baùn kính khaùc nhau vaø 3 vieân bi xanh gioáng nhau vaøo moät daõy 7 oâ troáng. Hoûi:
1. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau?
2. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau sao cho 3 vieân bi ñoû xeáp caïnh nhau vaø 3 vieân bi xanh xeáp caïnh nhau?
28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000)
Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9?
29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000)
Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá khaùc nhau lôùn hôn 500000?
30. (CÑSP Nha Trang 2000)
Vôùi caùc soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 0.
31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000)
Moät lôùp hoïc sinh maãu giaùo goàm 15 em, trong ñoù coù 9 em nam, 6 em nöõ. Coâ giaùo chuû nhieäm muoán choïn moät nhoùm 5 em ñeå tham döï troø chôi goàm 3 em nam vaø 2 em nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn?
32. (ÑH An ninh khoái D 2001)
Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4. Hoûi coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù baûy chöõ soá töø nhöõng chöõ soá treân, trong ñoù chöõ soá 4 coù maët ñuùng 3 laàn, coøn caùc chöõ soá khaùc coù maït ñuùng 1 laàn.
33. (ÑH Caàn Thô 2001)
Moät nhoùm goàm 10 hoïc sinh, trong ñoù coù 7 nam vaø 3 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp 10 hoïc sinh treân thaønh moät haøng daøi sao cho 7 hoïc sinh nam phaûi ñöùng lieàn nhau.
34. (HV Chính trò quoác gia 2001)
Moät ñoäi vaên ngheä coù 10 ngöôøi, trong ñoù coù 6 nöõ vaø 4 nam.
1. Coù bao nhieâu caùch chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ nhö nhau.
2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi maø trong ñoù khoâng coù quaù 1 nam.
35. (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001)
Cho 8 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 4.
36. (ÑH Hueá khoái ABV 2001)
Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá sao cho khoâng coù chöõ soá naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn?
37. (ÑH Hueá khoái DHT 2001)
Töø moät nhoùm hoïc sinh goàm 7 nam vaø 6 nöõ, thaày giaùo caàn choïn ra 5 em tham döï leã mittinh taïi tröôøng vôùi yeâu caàu coù caû nam vaø nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn?
38. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001)
Trong soá 16 hoïc sinh coù 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao nhieâu caùch chia soá hoïc sinh ñoù thaønh 2 toå, moãi toå coù 8 ngöôøi sao cho ôû moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø moãi toå coù ít nhaát 2 hoïc sinh khaù.
39. (ÑH Kinh teá quoác daân 2001)
Vôùi caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân maø moãi soá coù 5 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù chöõ soá 5.
40. (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001)
1. Coù theå tìm ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät?
2. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün coù 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau?
41. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thieát laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau maø hai chöõ soá 1 vaø 6 khoâng ñöùng caïnh nhau?
42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001)
Coù 6 hoïc sinh nam vaø 3 hoïc sinh nöõ xeáp thaønh moät haøng doïc. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ 3 hoïc sinh nöõ. (Khi ñoåi choã 2 hoïc sinh baát kì cho nhau ta ñöôïc moät caùch xeáp môùi).
43. (HV Quan heä quoác teá 2001)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 9 chöõ soá maø chöõ soá 9 ñöùng ôû vò trí chính giöõa?
44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001)
1. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau, trong ñoù coù maët chöõ soá 0 nhöng khoâng coù maët chöõ soá 1.
2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá, bieát raèng chöõ soá 2 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 3 coù maët ñuùng 3 laàn vaø caùc chöõ soá coøn laïi coù maët khoâng quaù moät laàn.
45. (ÑHSP HN II 2001)
Tính toång taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät ñöôïc laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8.
46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001)
Cho A laø moät hôïp coù 20 phaàn töû.
1. Coù bao nhieâu taäp hôïp con cuûa A?
2. Coù bao nhieâu taäp hôïp con khaùc roãng cuûa A maø coù soá phaàn töû laø soá chaün?
47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001)
1. Coù bao nhieâu soá chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5.
2. Coù bao nhieâu soá coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 maø caùc soá ñoù nhoû hôn soá 345.
48. (ÑH Vaên Lang 2001)
Moät lôùp coù 10 hoïc sinh nam vaø 10 hoïc sinh nöõ. Caàn choïn ra 5 hoïc sinh ñeå ñi laøm coâng taùc “Muøa heø xanh”. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn neáu trong 5 hoïc sinh ñoù phaûi coù ít nhaát:
1. Hai hoïc sinh nöõ vaø hai hoïc sinh nam.
2. Moät hoïc sinh nöõ vaø moät hoïc sinh nam.
49. (ÑH Y HN 2001)
Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng lôùn hôn 789?
50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002)
Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa moät tröôøng goàm 18 em, trong ñoù coù 7 hoïc sinh khoái 12, 6 hoïc sinh khoái 11, 5 hoïc sinh khoái 10. Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû 8 hoïc sinh trong ñoäi ñi döï traïi heø sao cho moãi khoái coù ít nhaát moät em ñöôïc choïn.
51. (ÑH khoái A 2003 döï bò 2)
Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân maø moãi soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø chöõ soá 2 ñöùng caïnh chöõ soá 3.
52. (ÑH khoái B 2003 döï bò 1)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5,6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân maø moãi soá coù 6 chöõ soá vaø thoaû maõn ñieàu kieän: saùu chöõ soá cuûa moãi soá laø khaùc nhau vaø trong moãi soá ñoù toång cuûa 3 chöõ soá ñaàu nhoû hôn toång cuûa 3 chöõ soá cuoái moät ñôn vò.
53. (ÑH khoái B 2003 döï bò 2)
Töø moät toå goàm 7 hoïc sinh nöõ vaø 5 hoïc sinh nam caàn choïn ra 6 em trong ñoù soá hoïc sinh nöõ phaûi nhoû hôn 4. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy?
54. (ÑH khoái D 2003 döï bò 1)
Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân chaün maø moãi soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau?
55. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002)
1. Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa:
a) 10 ñöôøng thaúng phaân bieät.
b) 6 ñöôøng troøn phaân bieät.
2. Töø keát quaû cuûa caâu 1) haõy suy ra soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp caùc ñöôøng noùi treân.
56. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò)
Cho ña giaùc loài n caïnh. Xaùc ñònh n ñeå ña giaùc coù soá ñöôøng cheùo gaáp ñoâi soá caïnh.
57. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau vaø nhoû hôn 245.
58. (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002)
Töø 5 chöõ soá 0, 1, 2, 5, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá leû, moãi soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau.
59. (ÑH khoái B 2004)
Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu hoûi khoù, 10 caâu hoûi trung bình, 15 caâu hoûi deã. Töø 30 caâu hoûi ñoù coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu hoûi khaùc nhau vaø nhaát thieát phaûi coù ñuû 3 loaïi caâu hoûi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu hoûi deã khoâng ít hôn 2.
60. (ÑH khoái B 2005)
Moät ñoäi thanh nieân tình nguyeän coù 15 ngöôøi, goàm 12 nam vaø 3 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng ñoäi thanh nieân tình nguyeän ñoù veà giuùp ñôõ 3 tænh mieàn nuùi, sao cho moãi tænh coù 4 nam vaø 1 nöõ.
61. (ÑH khoái A 2005 döï bò 1)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau vaø toång caùc chöõ soá haøng chuïc, haøng traêm, haøng ngaøn baèng 8.
62. (ÑH khoái B 2005 döï bò 1)
Moät ñoäi vaên ngheä coù 15 ngöôøi goàm 10 nam vaø 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp moät nhoùm ñoàng ca goàm 8 ngöôøi, bieát raèng trong nhoùm ñoù phaûi coù ít nhaát 3 nöõ.
63. (ÑH khoái B 2005 döï bò 2)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø nhaát thieát phaûi coù 2 chöõ soá 1, 5.
64. (ÑH khoái D 2006)
Ñoäi thanh nieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh, goàm 5 hoïc sinh lôùp A, 4 hoïc sinh lôùp B vaø 3 hoïc sinh lôùp C. Caàn choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc khoâng quaù 2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy?
65. (CÑ GTVT III khoái A 2006)
Töø moät nhoùm goàm 15 hoïc sinh khoái A, 10 hoïc sinh khoái B, 5 hoïc sinh khoái C, choïn ra 15 hoïc sinh sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A vaø ñuùng 2 hoïc sinh khoái C. Tính soá caùch choïn.
66. (CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006)
Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, trong ñoù chöõ soá 0 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng 1 laàn vaø hai chöõ soá coøn laïi phaân bieät?
67. (CÑ Xaây döïng soá 3 khoái A 2006)
Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm hai chöõ soá khaùc nhau? Tính toång cuûa taát caû caùc soá ñoù.
68. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006)
Cho 2 ñöôøng thaúng d1, d2 song song vôùi nhau. Treân ñöôøng thaúng d1 cho 10 ñieåm phaân bieät, treân ñöôøng thaúng d2 cho 8 ñieåm phaân bieät. Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu tam giaùc maø 3 ñænh cuûa moãi tam giaùc laáy töø 18 ñieåm ñaõ cho.


BAØI GIAÛI

1. (ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999)
1. .
Do ñoù soá caùc taäp X baèng soá caùc taäp con Y cuûa taäp hôïp {3,4,5,6,7,8}
Maø soá caùc taäp con Y cuûa {3,4,5,6,7,8} laø: 26 = 64.
Vaäy coù 64 taäp con X cuûa A chöùa 1 vaø khoâng chöùa 2.
2. Goïi * m laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau laáy töø A.
* n laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau laáy töø A vaø baét ñaàu bôûi 123.
* p laø soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi.
Ta caàn tính p. Hieån nhieân p = m – n
 Tính m: Laäp moät soá chaün goàm 5 chöõ soá khaùc nhau a1, a2, a3, a4, a5  A, coù nghóa laø:
Laáy a1 töø {2, 4, 6, 8}  coù 4 caùch
Laáy a2, a3, a4, a5 töø 7 soá coøn laïi cuûa A  coù = 7.6.5.4 = 840 caùch
Do ñoù: m = 4.840 = 3360.
 Tính n: Laäp moät soá chaün baét ñaàu bôûi 123; a1,a2 A; a1 ≠ a2
Laáy a1 töø {4,6,8}  coù 3 caùch
Laáy a2 töø A \ {1,2,3,a1}  coù 4 caùch
Do ñoù: n = 3.4 = 12
Vaäy: soá p caàn tìm laø: p = 3360 – 12 = 3348.
2. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999)
Böôùc 1: Ñaët 3 nhoùm saùch leân keä daøi: 3! caùch
Böôùc 2: Trong moãi nhoùm ta coù theå thay ñoåi caùch xeáp ñaët saùch:
Nhoùm saùch Toaùn: 2! caùch
Nhoùm saùch Vaên: 4! caùch
Nhoùm saùch Anh: 6! caùch
Keát luaän: coù 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 caùch.
3. (ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999)
1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù 2 caùch xeáp:
A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B
Giai ñoaïn 2: Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù 6! caùch xeáp caùc em vaøo 6 choã.
Töôïng töï, coù 6! caùch xeáp 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo 6 choã.
Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch
2. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 12 caùch choïn gheá ñeå ngoài.
Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A: coù 6 caùch choïn hoïc sinh tröôøng B.
Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù 5 caùch choïn, v.v…
Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch.
4. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999)
1. Xem caùc soá chaén hình thöùc (keå caû a = 0), coù 4 caùch choïn e  {0,2,4,6}, vì laø soá chaün.
Sau ñoù choïn a, b, c, d töø X \ {e}, soá caùch choïn laø: = 840
Vaäy: coù 4.840 = 3360 soá chaün hình thöùc.
Ta loaïi nhöõng soá coù daïng . Coù 3 caùch choïn e, vaø caùch choïn b, c, d töø X \ {0,e}. Vaäy coù 3. = 360 soá chaün coù daïng .
Keát luaän: coù 3360 – 360 = 3000 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
2. n =
* Xem caùc soá hình thöùc (keå caû a = 0). Coù 3 caùch choïn vò trí cho 1. Sau ñoù choïn chöõ soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {1}: coù caùch.
Nhö theá: coù 3. = 2520 soá hình thöùc thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
* Xem caùc soá hình thöùc . Coù 2 caùch choïn vò trí cho 1. Choïn chöõ soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {0,1}, soá caùch choïn laø .
Nhö theá: coù 2. = 240 soá hình thöùc daïng .
Keát luaän: soá caùc soá n thoaû yeâu caàu ñeà baøi laø: 2520 – 240 = 2280 soá.
5. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999)
Soá caùch choïn 4 bi trong soá 15 bi laø: = 1365.
Caùc tröôøng hôïp choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø:
* 2 ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù = 180
* 1 ñoû + 2 traéng + 1 vaøng: coù = 240
* 1 ñoû + 1 traéng + 2 vaøng: coù = 300
Do ñoù soá caùch choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: 180 + 240 + 300 = 720
Vaäy soá caùch choïn ñeå 4 bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu laø: 1365 – 720 = 645.
6. (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999)
1. * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, 5 coù 4! = 24 caùch.
* Sau ñoù xeáp phieáu soá 4 vaøo caïnh phieáu soá 2 coù 2 caùch.
Vaäy: coù 2.24 = 48 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi.
2. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho 2 soá chaün laø 2! caùch. Soá caùch xeáp cho 3 soá leû laø: 3! caùch.
Vaäy coù 2.6 = 12 caùch.
* Töông töï cuõng coù 12 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû ôû beân traùi.
Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch.
7. (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999)
Soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau coù daïng: vôùi a ≠ 0
1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f  {1, 3, 5}.
Do ñoù: f coù 3 caùch choïn
a coù 4 caùch choïn (tröø 0 vaø f)
b coù 4 caùch choïn (tröø a vaø f)
c coù 3 caùch choïn (tröø a, b, f)
d coù 2 caùch choïn (tröø a, b, c, f)
e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f)
Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá
2. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f  {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,2,3,4,5). Do ñoù coù 5! soá
* Khi f  {2, 4} thì:
f coù 2 caùch choïn
a coù 4 caùch choïn
b coù 4 caùch choïn
c coù 3 caùch choïn
d coù 2 caùch choïn
e coù 1 caùch choïn
Do ñoù coù 2.4.4.3.2.1 = 192 soá.
Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün.
8. (HV Ngaân haøng TPHCM 1999)
1. Goïi 11111 laø soá a. Vaäy ta caàn saép caùc soá a, 2, 3, 4, 5. Do ñoù soá coù 9 chöõ soá trong ñoù coù 5 chöõ soá 1 ñöùng lieàn nhau laø: 5! = 120 soá.
2. Laäp moät soá coù 9 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu; thöïc chaát laø vieäc xeáp caùc soá 2, 3, 4, 5 vaøo 4 vò trí tuyø yù trong 9 vò trí (5 vò trí coøn laïi ñöông nhieân daønh cho chöõ soá 1 laëp 5 laàn).
Vaäy: coù taát caû = 6.7.8.9 = 3024 soá.
9. (ÑH Haøng haûi 1999)
1. Xeáp C ngoài chính giöõa: coù 1 caùch.
Xeáp A, B, D, E vaøo 4 choã coøn laïi: coù 4! = 24 caùch.
Vaäy: coù 24 caùch xeáp thoaû yeâu caàu.
2. Xeáp A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá: coù 2! = 2 caùch.
Xeáp B, C, D vaøo 3 choã coøn laïi: coù 3! = 6 caùch.
Vaäy: coù 2.6 = 12 caùch xeáp thoaû yeâu caàu.
10. (HV BCVT 1999)
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø:
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø:
= 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø:
= 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá.
11. (ÑHQG HN khoái B 2000)
* Tröôùc heát ta tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau:
Coù 4 khaû naêng choïn chöõ soá haøng ngaøn (khoâng choïn chöõ soá 0)
Coù khaû naêng choïn 3 chöõ soá cuoái.
 Coù 4. = 4.4! = 96 soá.
* Tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5:
Neáu chöõ soá taän cuøng laø 0: coù = 24 soá
Neáu chöõ soá taän cuøng laø 5: coù 3 khaû naêng choïn chöõ soá haøng nghìn, coù = 6 khaû naêng choïn 2 chöõ soá cuoái. Vaäy coù 3.6 = 18 soá
Do ñoù coù 24 + 18 = 42 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5.
Vaäy coù: 96 – 42 = 54 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5.
12. (ÑHQG TPHCM khoái A 2000)
1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï.
Vaäy soá caùch taëng laø = 60480
2. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát 2 loaïi saùch.
Soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 12 cuoán saùch laø: = 665280
Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø: = 5040
Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: = 20160
Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø: = 60480
Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000)
1. Ñeå coù ít nhaát laø 2 nöõ thì ta phaûi choïn:
* 2 nöõ, 4 nam  coù caùch
hoaëc * 3 nöõ, 3 nam  coù caùch
hoaëc * 4 nöõ, 2 nam  coù caùch
hoaëc * 5 nöõ, 1 nam  coù caùch
hoaëc * 6 nöõ  coù caùch
Vaäy: coù + + + + caùch
2. Neáu choïn tuyø yù thì soá caùch choïn laø: .
14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000)
1. Soá chaün goàm boán chöõ soá khaùc nhau coù daïng:
hoaëc hoaëc
* Vôùi soá ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c.
 Coù 5.4.3 = 60 soá
* Vôùi soá hoaëc ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c.
 Coù 4.4.3 = 48 soá vaø 48 soá
Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün.
2. Soá chia heát cho 5 vaø goàm ba chöõ soá coù daïng hoaëc .
* Vôùi soá ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b.
 Coù 5.4 = 20 soá
* Vôùi soá ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b.
 Coù 4.4 = 16 soá
Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm.
3. Goïi laø soá chia heát cho 9 goàm ba chöõ soá khaùc nhau. Khi ñoù {a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540
 coù 4 soá
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì soá phaûi tìm laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû  coù 3! = 6 soá.
Vaäy coù: 4 + 6 + 6 = 16 soá caàn tìm.
15. (ÑH Y HN 2000)
Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: = 5.3.4 = 60
Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: = 18
Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: = 12
Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn
16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000)
Xeùt soá naêm chöõ soá
1. Xeáp chöõ soá 2 vaøo moät trong naêm vò trí: coù 5 caùch xeáp
Sau ñoù xeáp 5 chöõ soá coøn laïi vaøo 4 vò trí coøn laïi: coù = 120 caùch.
Vaäy coù 5.120 = 600 soá.
2. Xeáp caùc chöõ soá 1 vaø 6 vaøo 5 vò trí: coù caùch.
Xeáp 4 chöõ soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi: coù = 24 caùch.
Vaäy coù . = 480 soá.
17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000)
1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù = 5400 caùch.
2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau:
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù = 5400 caùch
* 4 nam vaø 1 nöõ: coù = 2100 caùch
Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch.
18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000)
Taát caû coù 9.10.10.10.10 = 90000 soá töï nhieân coù 5 chöõ soá. Trong caùc soá coù 5 chöõ soá naøy, xeùt caùc soá khoâng coù maët caùc chöõ soá 2, 3, 4. Loaïi naøy coù: 6 caùch choïn chöõ soá haøng vaïn
7 caùch choïn chöõ soá haøng nghìn
7 caùch choïn chöõ soá haøng traêm
7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc
7 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò
Do ñoù coù 6.7.7.7.7 = 14406 soá.
Vaäy taát caû coù: 90000 – 14406 = 75594 soá coù 5 chöõ soá, trong ñoù coù maët ñuû caùc chöõ soá 2, 3, 4.
19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000)
Xeùt moät soá coù 4 chöõ soá tuyø yù ñaõ cho . Coù hai khaû naêng:
1. Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá chaün thì coù theå laáy a5  {1, 3, 5, 7, 9} vaø laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá leû.
2. . Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá leû thì coù theå laáy a5  {0, 2, 4, 6, 8} vaø laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá leû.
Vì coù taát ca 9.10.10.10 = 9000 soá coù 4 chöõ soá, moãi soá coù 4 chöõ soá naøy laïi sinh ra 5 soá coù 5 chöõ soá coù toång caùc chöõ soá laø moät soá leû, neân coù taát caû 9000.5 = 45000 soá coù 5 chöõ soá maø toång caùc chöõ soá laø moät soá leû.
20. (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000)
1. Coù: caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû.
caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi.
Vaäy coù: . = 7150 caùch choïn
2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra:
* 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng  coù caùch
* 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng  coù caùch
* 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng  coù caùch
Vaäy coù taát caû: + + = 3045 caùch.
21. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000)
Coù 2 khaû naêng:
1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün  coù 5!5! caùch
2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû  coù 5!5! caùch
Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch.
22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000)
Coù 8 oâ troáng, caàn choïn ra 1 oâ ñieàn chöõ soá 2, 1 oâ ñieàn chöõ soá 3, 1 oâ ñieàn chöõ soá 4, 1 oâ ñieàn chöõ soá 5. Sau ñoù trong 4 oâ coøn laïi, caàn choïn 2 oâ ñieàn chöõ soá 1, cuoái cuøng coøn laïi 2 oâ ñieàn chöõ soá 6.
Vaäy coù taát caû coù: 8.7.6.5..1 = 10080 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000)
Soá caùc soá coù 6 chöõ soá laø 9.105 soá
Vôùi moãi soá coù 6 chöõ soá ta laäp ñöôïc 5 soá coù 7 chöõ soá maø toång caùc chöõ soá laø moät soá chaün.
Vaäy coù taát caû: 9.105.5 = 45.105 soá.
24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000)
Theo yeâu caàu cuûa baøi toaùn vaø soá 0 khoâng ñöùng tröôùc baát kì soá naøo neân caùc soá coù 5 chöõ soá chæ coù theå taïo thaønh töø caùc soá {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T. ÖÙng vôùi moãi boä 5 chöõ soá phaân bieät baát kì trong T chæ coù 1 caùch saép xeáp duy nhaát thoaû maõn ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá lieàn tröôùc.
Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: = 126.
25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
Coù taát caû: = 1260 caùch
26. (ÑH GTVT 2000)
Coù 2 khaû naêng:
* 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù
* 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù
Vaäy soá choïn laø: + = 324 caùch.
27. (HV Quaân y 2000)
1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau neân soá caùch xeáp laø .
Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng nhau neân soá caùch xeáp laø .
Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: . = 840 caùch.
2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp.
Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3!
Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch.
28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000)
Caùc soá coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, vieát theo thöù töï taêng laø:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Caùc soá leû coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, laäp thaønh moät caáp soá coäng:
u1 = 100017, 100035, …, un = 999999
vôùi coâng sai d = 18. Do ñoù:
un = u1 + (n – 1)d  999999 = 100017 + (n – 1).18  n = 50000
Vaäy taát caû coù 50000 soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9.
29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000)
Xeùt soá leû coù 6 chöõ soá khaùc nhau, lôùn hôn 500000:
x =
Töø giaû thieát  a1  {5,6,7,8,9}, a6  {1,3,5,7,9}
Coù 2 khaû naêng:
1. a1 leû:
* a1 coù 6 caùch choïn
* a6 coù 4 caùch choïn
* sau khi choïn a1, a6, caàn choïn , moãi caùch choïn öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 8 phaàn töû.
Vaäy khaû naêng thöù nhaát coù: 6.4. = 40320 soá
2. a1 chaün:
* a1 coù 2 caùch choïn
* a6 coù 5 caùch choïn
* coù caùch choïn
Vaäy khaû naêng thöù hai coù: 2.5. = 16800 soá
Keát luaän: Taát caû coù: 40320 + 16800 = 57120 soá caàn tìm.
30. (CÑSP Nha Trang 2000)
Soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát töø 6 chöõ soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 laø: 5. = 300
Trong caùc soá noùi treân, soá caùc soá töï nhieân khoâng coù maët chöõ soá 0 laø: = 120
Vaäy soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu laø: 300 – 120 = 180 soá.
31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000)
Choïn 3 em nam: coù caùch
Choïn 2 em nöõ: coù caùch
Vaäy coù: . = 1260 caùch.
32. (ÑH An ninh khoái D 2001)
Giaû söû soá coù 7 chöõ soá laäp ñöôïc vieát trong 7 oâ cuûa hình sau:







Theá thì:
* Coù 6 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0 (tröø oâ soá 1)
* Sau khi ñaõ choïn vò trí cho soá chöõ 0 ta coøn = 20 caùch choïn vò trí cho 3 chöõ soá 4.
* Sau khi ñaõ choïn vò trí cho chöõ soá 0 vaø chöõ soá 4, ta coøn 3! = 6 caùch choïn cho 3 chöõ soá coøn laïi.
Vaäy soá caùc soá laäp ñöôïc laø: 6.20.6 = 720 soá.
33. (ÑH Caàn Thô 2001)
Coi 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau nhö moät vò trí maø thoâi thì soá caùch ñeå boá trí 7 hoïc sinh ñöùng lieàn nhau xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ baèng 4!. Nhöng ñeå xeáp 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau thì laïi coù 7! caùch.
Vaäy taát caû coù: 4!7! = 120960 caùch.
34. (HV Chính trò quoác gia 2001)
1. Chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ nhö nhau töùc laø chia moãi nhoùm coù 5 ngöôøi maø trong ñoù coù 3 nöõ vaø 2 nam  soá caùch chia laø: = 120
2. * Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø khoâng coù nam laø: = 6
* Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù 1 nam (vaø 4 nöõ) laø:
= 60
Vaäy soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù khoâng quaù 1 nam laø:
6 + 60 = 66.
35. (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001)
Giaû söû soá caàn tìm coù daïng: A = .
+ Neáu a1 = 4 thì caùc chöõ soá coøn laïi cuûa A laø moät trong 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vaäy coù = 2520 soá.
+ Neáu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 neân chæ coù 6 caùch choïn a1. Vì soá 4 phaûi coù ñuùng moät trong 5 vò trí coøn laïi laø a2, a3, a4, a5, a6. Khi ñoù caùc vò trí khaùc (khoâng coù chöõ soá 4) seõ chæ coøn soá khaùc nhau. Vaäy tröôøng hôïp naøy coù 6.5. = 10800 soá.
Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá.
36. (ÑH Hueá khoái ABV 2001)
 Soá caùc soá töï nhieân coù 4 chöõ soá laø: 9.10.10.10 = 9000 soá
 Ta tìm soá caùc soá töï nhieân coù 1 chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn:
+ Soá 0 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi soá töï nhieân vôùi a  {1,2,3,..,9}  coù 9 soá
+ Soá 1 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi caùc soá:
* vôùi a  {2,3,4, …,9}  coù 8 soá
* vôùi b  {0,2,3,…, 9}  coù 9 soá
* vôùi c  {0,2,3,…, 9}  coù 9 soá
* vôùi d  {0,2,3,…, 9}  coù 9 soá
 coù 8 + 9 + 9 + 9 = 35 soá
+ Töông töï vôùi moãi soá töø 2 ñeán 9 ta cuõng tìm ñöôïc 35 soá töï nhieân sao cho moãi chöõ soá treân laëp laïi ñuùng 3 laàn.
Do ñoù soá caùc soá töï nhieân coù moät chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn laø:
9 + 9.35 = 324 soá
 Vaäy soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá maø trong ñoù khoâng coù chöõ soá naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn laø: 9000 – 324 = 8676 soá.
37. (ÑH Hueá khoái DHT 2001)
* Soá caùch choïn 5 em töø 13 em laø: = 1287
* Soá caùch choïn 5 em toaøn nam laø: = 21
* Soá caùch choïn 5 em toaøn nöõ laø: = 6
Vaäy soá caùch choïn 5 em coù caû nam vaø nöõ laø: 1287 – (21 + 6) = 1260
38. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001)
Moãi toå coù 1 hoaëc 2 hoïc sinh gioûi. Vì khoâng phaân bieät thöù töï cuûa 2 toå neân soá caùch chia phaûi tìm laø soá caùch taïo thaønh moät toå coù 8 hoïc sinh trong ñoù phaûi coù 1 hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Caùc hoïc sinh coøn laïi taïo thaønh toå thöù hai.
 Tröôøng hôïp 1: Coù 2 hoïc sinh khaù:
* Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi.
* Coù = 10 caùch choïn 2 hoïc sinh khaù.
* Coù = 56 caùch choïn 5 hoïc sinh trung bình.
 Coù: 3.10.56 = 1680 caùch.
 Tröôøng hôïp 2: Coù 3 hoïc sinh khaù:
* Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi.
* Coù = 10 caùch choïn 3 hoïc sinh khaù.
* Coù = 70 caùch choïn 4 hoïc sinh trung bình.
 Coù: 3.10.70 = 2100 caùch.
Vaäy coù taát caû: 1680 + 2100 = 3780 caùch.
39. (ÑH Kinh teá quoác daân 2001)
Ta söû duïng 5 oâ sau ñeå vieát soá coù 5 chöõ soá:





 Tröôøng hôïp 1: Soá taïo thaønh chöùa chöõ soá 0:
Coù 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0. Sau ñoù coøn 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Soá caùch choïn 3 chöõ soá coïn laïi laø:
 Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 4.4. = 960 soá
 Tröôøng hôïp 2: Soá taïo thaønh khoâng chöùa soá 0:
Coù 5 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5.
Soá caùch choïn 4 chöõ soá coøn laïi laø:
 Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 5. = 600 soá.
Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá.
40. (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001)
1. Coù 9 caùch choïn chöõ soá haøng traêm, 9 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc, 8 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. Vaäy coù 9.9.8 = 648 soá.
2.  Tröôøng hôïp 1: Chöõ soá taän cuøng baèng 0. Boán chöõ soá ñöùng ñaàu ñöôïc choïn tuyø yù trong 7 chöõ soá coøn laïi neân soá caùc soá taïo thaønh laø: = 840
 Tröôøng hôïp 2: Chöõ soá taän cuøng khaùc 0.
* Chöõ soá taän cuøng coù 3 caùch choïn (töø 2, 4, 6)
* Chöõ soá ñöùng ñaàu coù 6 caùch choïn
* 3 chöõ soá coøn laïi ñöôïc choïn tuyø yù trong 6 chöõ soá coøn laïi.
 Soá caùc soá taïo thaønh: 3.6. = 2160
Vaäy coù taát caû: 840 + 2160 = 3000 soá.
41. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001)
Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6! = 720
Trong ñoù, soá caùc soá coù chöùa 16 laø 5! = 120
soá caùc soá coù chöùa 61 laø 5! = 120
Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá.
42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001)
Ñaùnh soá vò trí ñöùng töø 1 ñeán 9.
Ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ thì moãi hoïc sinh nöõ ñöùng caùch nhau moät, töùc laø 3 hoïc sinh nöõ ñöùng ôû caùc vò trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).
Coù 5 caëp 3 vò trí cuûa 3 hoïc sinh nöõ.
Caùch xeáp 3 baïn nöõ vaøo moãi caëp 3 vò trí laø 3!. Caùch xeáp 6 baïn nam vaøo 6 vò trí coøn laïi laø 6!.
Vaäy taát caû soá caùch xeáp laø: 5.3!.6! = 21600 caùch.
43. (HV Quan heä quoác teá 2001)
Ta chæ coù 1 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 9.
Khi ñoù soá caùch xeáp 8 chöõ soá coøn laïi laø 8!
Vaäy taát caû coù: 8! = 40320 soá.
44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001)
1. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: . Xeáp chöõ soá 0 vaøo caùc vò trí töø a2 ñeán a6: coù 5 caùch xeáp. Coøn laïi 5 vò trí, ta choïn 5 trong 8 chöõ soá ñeå xeáp vaøo 5 vò trí naøy: coù caùch.
Vaäy taát caû coù: 5. = 33600 caùch.
2. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: .
Choïn 2 vò trí ñeå xeáp hai chöõ soá 2: coù caùch.
Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù caùch.
Coøn 2 vò trí, choïn 2 chöõ soá tuyø yù ñeå xeáp vaøo 2 vò trí naøy: coù 2! caùch.
Nhö vaäy neáu xeùt caû caùc soá baét ñaàu baèng chöõ soá 0 thì coù:
..2! = 11760 soá.
Trong caùc soá naøy, caàn loaïi boû caùc soá baét ñaàu bôùi chöõ soá 0.
Ñoái vôùi caùc soá :
* Choïn 2 vò trí ñeå xeáp chöõ soá 2: coù caùch.
* Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù caùch.
* Choïn 1 soá ñeå xeáp vaøo vò trí coøn laïi: coù 7 caùch.
Nhö vaäy loaïi naøy coù: ..7 = 420 soá.
Vaäy taát caû coù: 11760 – 420 = 11340 soá.
45. (ÑHSP HN II 2001)
Kí hieäu X laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xeùt x =  X.
Neáu choïn a5 = 1 thì öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 5 phaàn töû 3, 4, 5, 7, 8  coù soá coù chöù haøng ñôn vò laø 1.
Töông töï coù soá coù chöù haøng ñôn vò laø 3; …
 Toång taát caû chöõ soá haøng ñôn vò cuûa caùc phaàn töû x  X laø:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). = 3360.
Laäp luaän töông töï, toång taát caû chöõ soá haøng chuïc cuûa caùc phaàn töû x  X laø: 3360.10; …
Vaäy toång taát caû caùc phaàn töû cuûa X laø:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
= 3360.11111 = 3732960.
46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001)
1. Soá taäp con cuûa A laø: = 220
2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø:
T =
Ta coù: 0 = (1 – 1)20 =
 =
 = 2
 T = = = 219 – 1.
47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001)
1. Xeùt caùc soá chaün x = vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau; a, b, c  {1;2;3;4;5} = E.
Vì x chaün neân c  {2;4}  coù 2 caùch choïn c.
Vôùi moãi caùch choïn c, coù caùch choïn .
Vaäy taát caû coù: 2. = 24 soá chaün.
2. Xeùt x = vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau thuoäc E = {1;2;3;4;5;6}
* Neáu a ≥ 4 thì x > 345.
* Neáu a = 1 hoaëc 2 thì vôùi moïi chænh hôïp chaäp 2 (b,c) cuûa E \ {a} ta ñeàu coù x = < 345. Loaïi naøy coù: 2. = 40 soá.
* Neáu a = 3 thì x = < 345 
Loaïi naøy coù: 2.4 + 1.2 = 10 soá.
Vaäy coù taát caû: 40 + 10 = 50 soá.
48. (ÑH Vaên Lang 2001)
1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh nam thì coù 2 tröôøng hôïp:
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù caùch.
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù caùch.
Vaäy taát caû coù: 2. = 10800 caùch.
2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh nam thì coù 4 tröôøng hôïp:
* 1 nam vaø 4 nöõ: coù caùch.
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù caùch.
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù caùch.
* 4 nam vaø 1 nöõ: coù caùch.
Vaäy taát caû coù: 2. + 2. = 15000 caùch.
49. (ÑH Y HN 2001)
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
1. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 2, 4, 6  coù 3 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò.
a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: Khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 5 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò vaø haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
 Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.5.7 = 105 soá.
b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: Sau khi choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
 Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.6 = 18 soá.
2. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 8:
a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
 Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6.7 = 42 soá.
b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
 Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6 soá.
Vaäy taát caû coù: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 soá.
50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002)
Toång soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø 18 em cuûa ñoäi tuyeån laø: = 43758
Toång soá caùch treân ñöôïc phaân laøm hai boä phaän rôøi nhau:
Boä phaän I goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em sao cho moãi khoái ñeàu coù em ñöôïc choïn (soá caùch phaûi tìm).
Boä phaän II goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em chæ goàm 2 khoái (löu yù laø soá em thuoäc moãi khoái ñeàu ít hôn 8 neân khoâng coù caùch choïn naøo maø caû 8 em thuoäc cuøng moät khoái).
Boä phaän II coù theå chia thaønh ba loaïi:
 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 11: coù caùch.
 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 10: coù caùch.
 8 em ñöôïc choïn töø khoái 11 hoaëc 10: coù caùch.
Vaäy soá caùch phaûi tìm laø: – ( + + ) = 41811 caùch.
51. (ÑH khoái A 2003 döï bò 2)
Ta coi caëp (2;3) chæ laø moät phaàn töû “keùp”, khi ñoù chæ coù 5 phaàn töû laø 0, 1, (2; 3), 4, 5. Soá hoaùn vò cuûa 5 phaàn töû naøy laø P5, phaûi loaïi tröø soá tröôøng hôïp phaàn töû 0 ôû vò trí ñaàu goàm P4 tröôøng hôïp. Chuù yù raèng ñoái vôùi phaàn töû keùp, ta coù theå giao hoaùn neân soá tröôøng hôïp seõ ñöôïc nhaân ñoâi. Neân soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn ñeà baøi laø: 2(P5