BÀI 19. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
1.1. Định nghĩa: Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của nó vuông góc với .

1.2. Nhận xét:
a) Nếu là một vtpt của đường thẳng thì cũng là một vtpt của.
b) Nếu là một VTPT của đường thẳng và là một VTCP của đường thẳng thì .
c) Một đường thẳng xác định khi biết một VTPT và mộ điểm nó đi qua.
2. Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng , với và không đồng thời bằng . Ngược lại, mỗi phương trình dạng , với và không đồng thời bằng , đều là phương trình của một đường thẳng, nhận là một vectơ pháp tuyến.
2.1. Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT thì có phương trình tổng quát là .
2.2. Ngược lại, trong mặt phẳng với hệ tọa độ mọi phương trình dạng đều là phương trình tổng quát của đường thẳng có VTPT .
2.3. Một số trường hợp đặc biệt của PTTQ.
a) Nếu phương trình trở thành đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm .
b) Nếu phương trình trở thành đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại .
c) Nếu phương trình trở thành đường thẳng đi qua gốc tọa độ .
d) Đường thẳng có dạng , (trong đó được gọi là hệ số góc của đường thẳng ) có VTPT là . Ngược lại đường thẳng có VTPT thì có hệ số góc là .
e) Đường thẳng đi qua điểm và có phương trình là
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
1.1. Định nghĩa Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với .

1.2. Nhận xét:
a) Nếu là một vtcp của đường thẳng thì cũng là một véc tơ chỉ phương của .
b) Một đường thẳng xác định khi biết một vtcp và một điểm mà nó đi qua.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Khi đó điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho , hay
(2)
Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng (t là tham số).
2.1. Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp thì có phương trình tham số là . ( Mỗi điểm bất kỳ thuộc đường thẳng tương ứng với duy nhất một số thực và ngược lại).
Nhận xét‎‎‎‎ :
2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , mọi phương trình dạng với đều là phương trình của đường thẳng có một vtcp là .
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp với có phương trình chính tắc là:
III. LIÊN HỆ GIỮA VTCP VÀ VTPT
1. Từ nhận xét “Nếu là một VTPT của đường thẳng và là một VTCP của đường thẳng thì ” ta rút ra được: nếu là một VTPT của đường thẳng thì một VTCP của là ( hoặc ).
2. Từ nhận xét “Nếu là một VTPT của đường thẳng và là một VTCP của đường thẳng thì ” ta rút ra được: nếu là một VTCP của đường thẳng thì một VTPT của là (hoặc ).
Hai nhận xét trên giúp ích rất nhiều trong việc chuyển đổi qua lại giữa các dạng phương trình đường thẳng. Từ PTTQ ta có thể chuyển sang PTTS và ngược lại.


7.1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng
Lời giải
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là

b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương là

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

7.2. Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.
Lời giải
- Phương trình trục đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

- Phương trình trục đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

7.3. Cho hai đường thẳng và
a) Lập phương trình tổng quát của
b) Lập phương trình tham số của
Lời giải
a) Lập phương trình tổng quát của
Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là Khi đó phương trình tổng quát của là:
b) Lập phương trình tham số của
Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến là nên có vectơ chỉ phương Khi đó phương trình tham số của là:
7.4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có và
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ
Lời giải

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ
Đường cao kẻ từ đi qua và nhận là vectơ pháp tuyến có phương trình là

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ
Gọi là trung điểm của thì .
Đường trung tuyến kẻ từ nhận là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là và đi qua nên có phương trình là: .
7.5. (Phương trình đọan chắn của đường thẳng )
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm với có phương trình là


Lời giải
Đường thẳng đi qua hai điểm nhận làm vectơ chỉ phương thì có vectơ pháp tuyến là Khi đó phương trình đường thẳng là:
Vì nên chia cả hai vế của phương trình cho ta được phương trình là
.
7.6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ là Bắc, kinh độ Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ là Bắc, kinh độ Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ Bắc, kinh độ Đông được tính theo công thức

a) Hỏi chuyến từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b) Tại thời điểm giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến ( Bắc) chưa?
Lời giải
a) Hỏi chuyến từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
Thay , vào công thức trên ta có

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất giờ.
b) Tại thời điểm giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến ( Bắc) chưa?
Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh thì máy bay đã bay đến Bắc nên máy bay đã bay qua vĩ tuyến .


DẠNG 1: XÁC ĐỊNH VTCP, VTPT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
{ Tích vô hướng hai vt, góc giữa hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường cao, diện tích tam giác, chu vi tam giác…}

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ phương trình dạng có VTPT .
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , mọi phương trình dạng với đều là phương trình của đường thẳng có một vtcp là .
3. Nếu đường thẳng có là một VTPT thì một VTCP của là (hoặc ).
4. Nếu đường thẳng có là một VTCP thì một VTPT của là (hoặc ).
5. Đường thẳng đi qua 2 điểm thì nhận làm VTCP.

Câu 1: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Từ phương trình tham số của đường thẳng ta có một VTCP của đường thẳng là
Câu 2: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Từ PTTQ ta thấy một VTPT của đường thẳng là
Câu 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
nên đường thẳng có VTPT là .
Suy ra VTCP là .
Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm và
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có một VTCP của đường thẳng cùng phương với .
Ta thấy vậy là một VTCP của
Câu 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm và
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có một VTPT của đường thẳng thì vuông góc với
Suy ra chọn
Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng nhận xét nêu ở mục 2.3.2 để giải quyết nhanh bài toán này.
Câu 6: Cho phương trình: với . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là .
B. là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục .
C. là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục .
D. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
Lời giải
Chọn D
Ta có điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng được xác định khi biết.
A. Một vecto pháp tuyến hoặc một vec tơ chỉ phương.
B. Hệ số góc và một điểm thuộc đường thẳng.
C. Một điểm thuộc và biết song song với một đường thẳng cho trước.
D. Hai điểm phân biệt thuộc .
Lời giải
Chọn A.
Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết đường thẳng.
Câu 8: Đường thẳng có vecto pháp tuyến . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. là vecto chỉ phương của .
B. là vecto chỉ phương của .
C. là vecto pháp tuyến của .
D. có hệ số góc .
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đường thẳng có vecto pháp tuyến là
Suy ra hệ số góc .
Câu 9: Cho đường thẳng (d): . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 10: Cho đường thẳng . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. là vecto chỉ phương của .
B. có hệ số góc .
C. không đi qua góc tọa độ.
D. đi qua hai điểmvà .
Lời giải
Chọn D.
Giả sử .
Câu 11: Cho đường thẳng và điểm Điểm ứng với giá trị nào của t?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Câu 12: Cho. Điểm nào sau đây không thuộc
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Thay
Câu 13: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Lời giải
Chọn D
Câu 14: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số.
Lời giải
Chọn D
Câu 15: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Từ PTTS ta thấy một VTCP của là nên ta có thể chọn một VTCP là
Câu 16: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Từ PTTS ta thấy một VTCP của là nên ta có thể chọn một VTCP là
Câu 17: Cho đường thẳng có phương trình tổng quát:. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Từ PTTQ ta thấy một VTPT của là suy ra một VTCP là
Câu 18: Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: . Vectơ nào sau đây không là vectơ chỉ phương của
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Từ PTTQ của đường thẳng ta thấy một VTPT là suy ra một VTCP của đường thẳng là vậy vec tơ có tọa độ không phải là VTCP của .
Câu 19: Đường thẳng tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
, .
Vậy .
DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHO TRƯỚC
{ Tính chất cho trước giúp tìm được: một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP (hay VTPT); tìm được các hệ số A, B, C trong phương trình tổng quát; …}

1. Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp thì có phương trình tham số là . ( Mỗi điểm bất kỳ thuộc đường thẳng tương ứng với duy nhất một số thực và ngược lại).
2. Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp với có phương trình chính tắc là:
3. Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT thì có phương trình tổng quát là .

2.1. Viết PTTS của đường thẳng.
Câu 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua và có VTCP .
Lời giải
Đường thẳng qua và có VTCP có PTTS là
Câu 2: Viết PTTS của đường thẳng biết .
Lời giải
Ta có là một VTCP của đường thẳng .
Vậy đi qua và có VTCP nên có PTTS .
Lưu ý. Ta hoàn toàn có thể dùng làm VTCP của đường thẳng .
Câu 3: Viết PTTS của đường thẳng qua và song song với trục
Lời giải
Ta thấy trục hoành có VTCP chính là vec tơ đơn vị . Vì đường thẳng song song với trục hoành nên cũng nhận làm VTCP. Suy ra phương trình tham số của là

Nhận xét. Hai đường thẳng song song có cùng VTCP.
Câu 4: Cho đường thẳng . Viết PTTS của đường thẳng qua và song song với đường thẳng .
Lời giải
Ta thấy đường thẳng có một VTCP là , vì đường thẳng nên cũng nhận làm VTCP. Vậy PTTS của là .
Câu 5: Cho và . Viết PTTS của đường thẳng là trung trực của đoạn thẳng .
Lời giải
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng suy ra . Đường trung trực của đoạn thẳng đi qua và có một VTPT là nên có một VTCP là . Vậy PTTS của là .
2.2. Viết PTTQ của đường thẳng
Câu 1: Viết PTTQ của đường thẳng đi qua và có VTPT .
Lời giải
đi qua và có VTPT có PTTQ là

Câu 2: Viết PTTQ của đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng .
Lời giải
Đường thẳng có một VTPT là , vì nên cũng nhận làm một VTPT vậy PTTS của là
Lưu ý. Ta hoàn toàn có thể giải theo cách khác như sau.
Vì nên có cùng VTCP, PTTQ của có dạng , mà đi qua nên ta có
Câu 3: Viết PTTQ của là đường trung trực của đoạn thẳng với .
Lời giải
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , vì nên có một VTPT là vậy PTTQ của là
Câu 4: Viết PTTQ của đường thẳng qua hai điểm và .
Lời giải
Phương trình đường thẳng là .
Câu 5: Cho tam giác có . Viết phương trình tổng quát của đường cao của tam giác .
Lời giải
Gọi là đường cao của tam giác.
đi qua và nhận làm VTPT

2.3. Bài toán chuyển đổi qua lại giữa các dạng phương trình.
Câu 1: Cho đường thẳng . Viết PTTQ của đường thẳng.
Lời giải
Cách 1.
Từ phương trình tham số ta thấy đi qua và có suy ra VTPT là , PTTQ là .
Cách 2.
.
Câu 2: Cho đường thẳng . Viết PTTS của đường thẳng.
Lời giải
Cách 1.
Để tìm một điểm mà ĐT đi qua ta cho một giá trị bất kỳ tính hoặc ngược lại.
Cho thế vào PT đt ta được. vậy đt đi qua điểm . Và có VTPT suy ra VTCP . Vậy PTTS của là .
Cách 2.
Từ PTTQ
Đặt ta thu được PTTS là
2.4. Bài tập tổng hợp về viết phương trình đường thẳng
Câu 1: Cho tam giác với . lần lượt là trung điểm của và . Phương trình tham số của đường trung bình là:
Lời giải
Ta có: . đi qua và nhận làm

Câu 2: Phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB là:
Lời giải
Gọi
Ta có là trung điểm
Suy ra .
Câu 3: Cho ba điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua và cách đều hai điểm .
Lời giải
Gọi là đường thẳng đi qua và cách đều . Khi đó ta có các trường hợp sau
TH1: đi qua trung điểm của . là trung điểm của . là VTCP của đường thẳng . Khi đó .
TH2: song song với , khi đó nhận làm VTCP, phương trình đường thẳng .
Câu 4: Đường thẳng , với , , đi qua điểm và tạo với các tia , một tam giác có diện tích bằng . Tính .
Lời giải
đi qua điểm .
Đường thẳng tạo với các tia ; tam giác có diện tích bằng
Từ ; (nhận) hoặc(Loại)
.
Câu 5: Cho tam giác biết trực tâm và phương trình cạnh , phương trình cạnh . Phương trình cạnh là
Lời giải

Phương trình .
Phương trình .
Ta có .
Suy ra phương trình đường thẳng có .
.
Ta có điểm là giao điểm của hai đường thẳng và , suy ra tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .
Ta lại có .
Suy ra phương trình đường thẳng có .
.
Ta có điểm là giao điểm của hai đường thẳng và , suy ra tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .
Ta có .
Phương trình cạnh có .
.
Vậy .
Câu 6: Gọi là trực tâm của tam giác . Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là : ; : ; : . Phương trình đường cao của tam giác là
Lời giải

Gọi .
Ta có .
Nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình: , suy ra .
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là .
Đường cao vuông góc với cạnh nên nhận làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình tổng quát của đường cao là .
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai đường thẳng và điểm .Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt hai đường thẳng , lần lượt tại hai điểm , sao cho là trung điểm .
Lời giải
Ta có .
Vì . Vì là trung điểm của đoạn.
Mặt khác
Đường thẳng có pt là: .
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , cho hai đường thẳng và lần lượt có phương trình: . Hãy viết phương trình đường thẳng đối xứng với qua đường thẳng .
Lời giải
Gọi . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Chọn . Gọi đi qua và vuông góc với .
Suy ra có dạng .
Vì
Gọi . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Gọi là điểm đối xứng của qua . Khi đó là trung điểm của

Vậy đường thẳng chính là đường thẳng , ta có
.
Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho có đỉnh và phương trình hai đường cao và . Viết phương trình cạnh .
Lời giải
Gọi là trực tâm của tam giác . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Phương trình cạnh đi qua và vuông góc với
nên có dạng .
Vì nên Do đó .
Ta có nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Phương trình cạnh đi qua điểm nhận làm véctơ pháp tuyến
Câu 10: Cho tam giác , đỉnh , đường cao và đường phân giác trong của góc là . Khi đó phương trình cạnh là
Lời giải
Phương trình cạnh đi qua và vuông góc với là
Gọi , tọa độ điểm thỏa mãn
Gọi là điểm đối xứng của qua . Khi đó tọa độ điểm thỏa mãn

Phương trình cạnh chính là , ta có
Gọi , tọa độ điểm thỏa mãn
Phương trình cạnh là
Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc , cho có điểm và hai đường phân giác trong của hai góc lần lượt có phương trình . Viết phương trình cạnh .
Lời giải

+) Gọi là hình chiếu của điểm lên

Ta có


Gọi là điểm đối xứng của qua .
Khi đó là trung điểm của
+) Gọi là hình chiếu của điểm lên
Ta có

Gọi là điểm đối xứng của qua .
Khi đó là trung điểm của
Phương trình đường thẳng chính là phương trình đường thẳng .
đường thẳng :
Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc , cho vuông cân tại và cạnh huyền có phương trình: . Viết phương trình hai cạnh góc vuông và
Lời giải
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua tạo với đường thẳng một góc
Cách 2:
Gọi là hình chiếu của lên .
đi qua và vuông góc với nên có dạng
Vì nên
Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Vì vuông cân tại nên thuộc đường tròn ngoại tiếp có tâm và bán kính
Phương trình đường tròn :
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Suy ra 2 điểm hoặc
Vậy phương trình hai cạnh và là
; .
Hoặc ; .
Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác vuông tại , có đỉnh , phân giác trong góc có phương trình . Viết phương trình đường thẳng , biết diện tích tam giác bằng và đỉnh có hoành độ dương.
Lời giải
Cách 1:

Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng
suy ra tọa độ điểm là nghiệm của
hệ phương trình
Điểm thuộc đường tròn đường kính
nên tọa độ điểm thỏa mãn với suy ra điểm
Ta có
thuộc đường thẳng suy ra tọa độ thỏa mãn
hoặc
Do là phân giác trong góc , nên và cùng hướng, suy ra
Do đó, đường thẳng có phương trình:
Cách 2:

Gọi đường thẳng đi qua điểm có véctơ pháp tuyến
Vì

Với suy đường thẳng ( loại vì )
Với suy đường thẳng .
nên tọa độ điểm thỏa mãn với suy ra điểm
Gọi điểm .
Ta có vuông tại nên
Lại có .
hoặc
Do là phân giác trong góc , nên hai điểm và nằm khác phía đối với đường thẳng , suy ra
Do đó, đường thẳng có phương trình:
Câu 14: Cho có . Đường cao và đường cao . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A
Lời giải
Gọi là đường cao kẻ từ đỉnh . Gọi là trực tâm của , khi đó tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình .
qua và nhận làm VTPT

Câu 15: Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
Lời giải
Phương trình đoạn chắn
Do vuông cân tại
TH1: mà
Vậy
TH2: mà
Vậy
Câu 16: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là: . Phương trình đường cao CH của tam giác ABC là:
Lời giải
Ta có là nghiệm của hệ phương trình
Ta có mà
Suy ra .
Câu 17: Cho tam giác biết trực tâm và phương trình cạnh, phương trình cạnh . Phương trình cạnh là
Lời giải
Ta có
Ta có
Mà suy ra
Có
Phương trình nhận là VTPT và qua
Suy ra

Câu 18: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương
có dạng: .
Câu 19: Phương trình tham số của đường thẳng qua , là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng đi qua hai điểm , có một véctơ chỉ phương .
Phương trình tham số của đường thẳng qua , là .
Câu 20: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua và nhận làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Phương trình đường thẳng là hay .
Câu 21: Đường thẳng đi qua điểm và nhận làm véctơ pháp tuyến có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng đi qua điểm và nhận làm véctơ pháp tuyến có phương trình là .
Câu 22: Đường thẳng qua và có véctơ chỉ phương có phương trình tham số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng qua và có véctơ chỉ phương có phương trình tham số là
.
Câu 23: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm , là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Đường thẳng qua điểm và nhận VTPT là nên có phương trình:
.
Câu 24: Đường thẳng đi qua , nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Phương trình đường thẳng cần tìm: .
Câu 25: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương có dạng: .
Câu 26: Đường thẳng đi qua , nhận làm véc tơ pháo tuyến có phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi là đường thẳng đi qua và nhận làm VTPT

Câu 27: Cho hai điểm , . Đường trung trực của đoạn thẳng có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Gọi là trung điểm của đoạn .
Đường trung trực của đoạn thẳng đi qua điểm và có vtpt nên có phương trình là:
Câu 28: Lập phương trình tổng quát đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là đường thẳng cần tìm.
* song song với đường thẳng nên có dạng: .
*đi qua điểm nên ta có .
Câu 29: Cho đường thẳng và điểm . Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
có một vectơ chỉ phương .
Vì đường thẳng vuông góc với nên có véctơ pháp tuyến .
Phương trình tổng quát của đường thẳng là .
Câu 30: Trong mặt phẳng , cho đường thẳng . Nếu đường thẳng qua điểm và song song với thì có phương trình
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng đi qua điểm và song song với nên nhận làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường thẳng là .
Câu 31: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm và
.
Câu 32: Trong mặt phẳng cho hai điểm, . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm , .
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm , .
Phương trình tổng quát đường thẳng cần tìm là
.
Câu 33: Cho , . Viết phương trình đường trung trục của đoạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trung điểm .
Phương trình đường trung trực của đoạn qua nhận là vectơ pháp tuyến có dạng: .
Câu 34: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường thẳng và điểm . Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
vuông góc có VTPT là .
qua nên có phương trình là .
Câu 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hai điểm , . Phương trình đường thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có là véctơ chỉ phương của đường thẳng . Nên là véctơ pháp tuyến của đường thẳng .
Khi đó phươn trình đường thẳng là .
Câu 36: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 37: Cho đường thẳng. Phương trình nào sau đây không phải là một dạng khác của (d).
A. . B. C. D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có đường thẳng có VTPT
Suy ra D đúng.
Suy ra A đúng.
Suy ra B đúng.
Câu 38: Cho đường thẳng . Nếu đường thẳng đi qua và song song với thì có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Ta lại có
Vậy
Câu 39: Cho ba điểm . Đường cao của tam giác ABC có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Gọi là đường cao của tam giác nhận
Suy ra .
Câu 40: Cho hai điểm . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đoạn chắn loại B

loại A
loại C
chọn D
Câu 41: Cho đường thẳng . Nếu đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với thì có phương trình:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Ta lại có
Vậy
Câu 42: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng
Ta có

Câu 43: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm và vuông góc với đường thẳnglà
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có và qua
Suy ra
Câu 44: Cho có . Viết phương trình tổng quát của đường cao .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: . Vì nên

Câu 45: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình .
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có đường thẳng vuông góc đường thẳng với đường thẳng đã cho
Suy ra
Mà
Vậy
Câu 46: Cho đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có loại A
Ta có loại B
Có suy ra loại C
Câu 47: Cho tam giác ABC có Đường trung trực trung tuyến AM có phương trình tham số
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi trung điểm
Câu 48: Cho hai điểm viết phương trình trung trực đoạn AB.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi trung điểm
Ta có
Gọi là đường thẳng trung trực của .
Phương trình nhận và qua
Suy ra
Câu 49: Đường thẳng đi qua cắt ; tại , sao cho là trung điểm của . Khi đó độ dài bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D

Dễ thấy tam giác vuông tại suy ra .
Câu 50: Cho tam giác với ; ; . Trung tuyến đi qua điểm nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
là trung điểm của nên ; .
Phương trình tham số của đường thẳng là .
Với thì .
Câu 51: Cho đường thẳng :, :, : . Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của , và song song với .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ
.
Phương trình đường thẳng song song với qua có dạng
: .
Câu 52: Cho tam giác có . Đường trung tuyến có phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Gọi là trung điểm .
qua và nhận làm VTPT
Câu 53: Cho tam giác với . Phương trình tổng quát của đường cao đi qua của tam giác là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Gọi là đường cao của tam giác. .
đi qua và nhận làm VTPT