TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ; hoặc ). Đường thẳng là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:


II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số
Phương pháp giải:
Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau:
▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số
▪ Bước 2: Tìm giới hạn của khi x tiến đến biên của miền xác định.
▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận.
Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ta có thể làm như sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định D.
- Bước 2:
+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: và kết luận tiệm cận ngang
+) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng.
Chú ý:
- Nếu bậc của nhỏ hơn hoặc bằng bậc của thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
- Nếu bậc của lớn hơn bậc của thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:
a) b)
Lời giải
a) TXĐ: . Ta có: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Mặt khác và nên và là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) TXĐ: .
Ta có: (hoặc ) nên đường thẳng là tiệm cận đứng của (C).
Tương tự đường thẳng cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Lại có: nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a) b)
Lời giải
a) TXĐ:
Ta có: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Mặt khác
không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) TXĐ: Ta có: Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Lại có:
Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

Ví dụ 3: Cho hàm số có và . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng và
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng và
Lời giải
Ta có đồ thị hàm số đã cho có TCĐ
Lại có đồ thị hàm số đã cho có TCĐ . Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. B. C. D.
Lời giải
TXĐ: .
Ta có: là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mặt khác là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.

Ví dụ 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng và là các đường tiệm cận?
A. B. C. D.
Lời giải
Đồ thị hàm số với nhận là tiệm cận đứng và là tiệm cận ngang. Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
Lời giải
TXĐ:
Ta có là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lại có: do đó là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.

Ví dụ 7: Đồ thị nào sau đây không có tiệm cận ngang?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Chọn A.

Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Lời giải
TXĐ: . Khi đó:
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là Chọn D.

Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Lời giải
TXĐ: . Khi đó
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang . Chọn A.

Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Lời giải
TXĐ: .
Khi đó:
Suy ra Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là
Chọn D.

Ví dụ 11: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
A. B. C. và D.
Lời giải
Ta có Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là và . Chọn C.

Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
A. B. C. D.
Lời giải
Phân tích các đáp án:
Đáp án A. Ta có nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Đáp án B. Phương trình vô nghiệm nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Đáp án C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Đáp án D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là .Chọn D.

Ví dụ 13: Cho hàm số . Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là
Ta thấy rằng đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Và đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang. Chọn C.

Ví dụ 14: Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Lời giải
TXĐ:
đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Và là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.

Ví dụ 15: Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
TXĐ:
Ta có: Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là .
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là .
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Chọn D.

Ví dụ 16: Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Lời giải
Hàm số có tập xác định:
Khi đó .
Suy ra . Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.

Ví dụ 17: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
A. B. C. D.
Lời giải
Hàm số có tập xác định .
Ta có:
Do vậy chỉ có đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.

Ví dụ 18: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số .
A. B. C. D.
Lời giải
Hàm số có tập xác định .
Ta có
Khi đó Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang . Chọn C.

Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị là
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là .
Khi đó Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang .
Lại có: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.

Ví dụ 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. . B. và . C. và D.
Lời giải
Hàm số có tập xác định
Khi đó

Ta thấy Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng . Chọn A.

Ví dụ 21: Cho hàm số . Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là và .
B. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là và .
C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng .
D. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là và .
Lời giải
Ta có: .
Khi đó
. Suy ra nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Lại có: nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .
Ví dụ 22: Cho hàm số . Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Ta có đồ thị hàm số có hai TCN.
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ phương trình
đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận. Chọn C.

Ví dụ 23: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. B. C. và D. và
Lời giải
TXĐ: . Khi đó:
và
Ta có: là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn B.

Ví dụ 24: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là
A. Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang .
B. Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang .
C. Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang .
D. Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang .
Lời giải
TXĐ: .
Ta có Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang .
Mặt khác


Suy ra Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng . Chọn B.

 Dạng 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên
Phương pháp giải:
▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số.
▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến beien của miền xác định.
▪ Bước 3: Kết luận.
Chú ý: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng là tiệm cận đứng khi hàm số xác định tại và trong đó và không có nghiệm .
(Tức là số lần lặp lại nghiệm của nhiều hơn số lần lặp lại nghiệm của ).

Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
x

1

f(x)



5

2

3

Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Lời giải
Ta có Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hàm số là hàm số xác định trên , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x


0
1


y'
+
0

+
y


2



5

0



3


A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là , và tiệm cận đứng là .
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là .
C. Giá trị cực đại của hàm số là .
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lời giải
Do nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là , và tiệm cận đứng là . Chọn A.

Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
x




0


y'



+




y





1










0
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có: là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận. Chọn B.


Ví dụ 4: Cho hàm số xác định trên khoảng và có bảng biến thiên như hình vẽ
x




2

4


y'

+



0
+




y





0
















1
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy và
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là
Lại có: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x




3


y'

+



0
+

y



4





5




0


Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lại có: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số liên tục trên có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
x




1


y'


0
+


+

y
1
















A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

Lời giải
Ta có: là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lại có là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn D.

Ví dụ 7: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x




1


y'

+


+
0
-

y





0



1






3
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Ta có phương trình có 2 nghiệm phân biệt suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi là một đường tiệm cận ngang.
Khi là một đường tiệm cận ngang.
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x




1


y'

+



0
+

y







5

5




3


Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Lời giải
Ta có phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi
Khi
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang. Chọn D.

Ví dụ 9: Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.
x


1

2


y'

+



0
+

y









2




1


Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải
Ta có:
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 2.
Phương trình có 1 nghiệm kép (do vậy mẫu số có dạng ) nên vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số.
Suy ra đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 10: Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.
x




1

2


y'

+



0
+




y


9


0


5



2









2
Biết số đường tiệm cận của đồ thị hàm số và lần lượt là m và n. Khi đó tổng bằng
A. 6. B. 7. C. 4. D. 5.
Lời giải
Tiệm cận đồ thị : Ta có: đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang
đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .
Mặt khác có 2 nghiệm phân biệt và đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng.
Vậy . Chọn D.

 Dạng 3: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số
Phương pháp giải:
▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của mẫu số và tử số từ đó suy ra các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
▪ Tìm các giới hạn để tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình có nghiệm kép và một nghiệm .
Do đó Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là và . Chọn B.

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 4.

Lời giải
Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số có .
Ta có: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Phương trình có nghiệm kép và một nghiệm
Phương trình do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Tính tổng .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau:
Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị
Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị .
Điểm suy ra .
Suy ra . Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Điều kiện: Ta có:
Phương trình có nghiệm kép và Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Phương trình có nghiệm và suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và .
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Điều kiện:
Ta có:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Phương trình có nghiệm kép và suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và .
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong đó do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Điều kiện: và
Phương trình có nghiệm và nghiệm kép nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Phương trình có 3 nghiệm đơn suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng . Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn A.

 Dạng 4: Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Một số mẫu toán thường gặp:
 Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số với .
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi .
 Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số với .
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi không có nghiệm .
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi có nghiệm .
 Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số với .
- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi có hai nghiệm phân biệt khác .
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi có nghiệm kép .
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi vô nghiệm .
 Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số với .
- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình không nhận là nghiệm .
- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình có nghiệm hoặc (Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi nhận và là nghiệm
 Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới hạn hoặc .

Ví dụ 1: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số: có 2 tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B.
C.
D.
Lời giải
 Với ta có: là một tiệm cận ngang.
là một tiệm cận ngang.
Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
 Với suy ra đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang.
 Với đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang vì không tồn tại . Chọn D.

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số có đúng một đường tiệm cận là
A. B. C. D.
Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cậ ngang .
Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Khi đó phương trình vô nghiệm.
. Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
A. . B. C. D. và .
Lời giải
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì là nghiệm của
Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng.
A. B. C. D.
Lời giải
Xét phương trình
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc có nghiệm kép khác 1 . Chọn C.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.
A. . B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Khi đó nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .
Chú ý: Với khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Với đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Do đó để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì . Chọn A.

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng.
A. B. C. D.
Lời giải
Đồ thị hàm số có TCĐ không có nghiệm . Chọn D.

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có , đặt .
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi
. Chọn A.

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: nên đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang.
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm . Chọn A.

Ví dụ 10: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
A. hoặc B. C. D. Với mọi giá trị m
Lời giải
Ta có . (Với )
Đồ thị hàm số có một TCN khi và chỉ khi .
Chọn C.

Ví dụ 11: Cho hàm số có đồ thị (C). Đồ thị (C) có 3 đường tiệm cận khi tham số thực m thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Với đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại (không t/mãn)
Với đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang (không t/mãn)
Với đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang do
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có thêm 1 tiệm cận đứng.
Khi đó tử số không có nghiệm và xác định tại .
Khi đó
Do đó là giá trị cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 12: Tập hợp các giá trị thức của m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận là
A. B. C. D.
Lời giải
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang .
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1: Phương trình: vô nghiệm

TH2: Phương trình vô nghiệm, phương trình: có đúng 1 nghiệm đơn .
Kết hợp 2 trường hợp suy ra . Chọn A.

Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng.
A. B. C. D.
Lời giải
Hàm số có tập xác định .
Ta có:
Với Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Với Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Với đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Suy ra để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì . Chọn C.

Ví dụ 14: Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là:
A. B. C. D.
Lời giải
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng có hai nghiệm phân biệt .
. Chọn B.

Ví dụ 15: Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại
Chọn A.

Ví dụ 16: Điều kiện cần và đủ của tham số thực m để đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang là
A. B. C. D. hoặc .
Lời giải
+) Với , ta có là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+) Với đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại .
+) Với , ta có
Để hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang thì
Cho . Vậy hoặc là giá trị cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 17: Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số và . Chọn A.

Ví dụ 18: Biết đồ thị có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là . Tính .
A. 6. B. 7. C. 8. D. 10.
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng có nghiệm và không có nghiệm . Hàm số có dạng .
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
. Chọn C.

Ví dụ 19: Biết đồ thị có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là . Tính .
A. 5. B. 3. C. D.
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng PT: có nghiệm

Hàm số có tiệm cận ngang
Khi đó có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
Vậy . Chọn C.

Ví dụ 20: Cho hàm số , có đồ thị (C). Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ P hoặc Q đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là:
A. B. C. 4 D.
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng , tiệm cận ngang .
Gọi khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận là:
.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: .
Dấu bằng xảy ra khi
Khi đó . Chọn A.