PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

I.NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP .
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm , giả sử ta được tập xác định
. Ở đây có thể là.
Bước 2: Xét sự biến thiên của và hàm (B2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa và .
Bảng này thường có 3 dòng dạng

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: (xem chú ý 1).
Dòng 2: Điền các giá trị với
Trên mỗi khoảng cần bổ xung các điểm kỳ dị của của hàm .
Trên mỗi khoảng cần sắp xếp các điểm theo thứ tự chẳng hạn:
hoặc (xem chú ý 2).
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm dựa vào BBT của hàm bằng cách hoán đổi:
đóng vai trò của ; đóng vai trò của .
Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này.
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.


Chú ý 1:
- Các điểm kỳ dị của gồm: Điểm biên của tập xác định , các điểm cực trị của .
- Nếu xét hàm thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt (là hoành độ giao điểm của với trục ).
- Nếu xét hàm thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của với trục ).
Chú ý 2:
- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của .
- Điểm kỳ dị của gồm: Các điểm tại đó và không xác định; các điểm cực trị hàm số .
- Nếu xét hàm thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt (là hoành độ giao điểm của với trục ).

- Nếu xét hàm thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của với trục ).

II. ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC.
Câu 45-MH-BGD-L1:Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận truyền thống
Đặt . Do nên .
Khi đó ta có phương trình .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm và .
Trường hợp 1:
Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có 4 nghiệm
Trường hợp 2:
Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có 4 nghiệm
Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt vì ; ;

Ta có
Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là



Câu 46-MH-BGD-L1:Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Tự luận truyền thống
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số như sau

Ta có
Cho
Xét hàm số . Cho
Bảng biến thiên


Ta có đồ thị của hàm như sau
Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm.
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.
Như vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số có 7 cực trị.


Cách 2: Phương pháp ghép trục
Xét hàm số ta có

Gọi là các điểm cục trị của hàm số khi đó
Và ta cũng có ; .
Suy ra có 7 điểm cực trị.
Câu 46-MH-BGD-L2:Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Tự luận truyền thống
Đặt ,
Khi đó phương trình trở thành
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và đường thẳng .
Dựa vào bảng biến thiên, ta có .
Trường hợp 1:
Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có nghiệm thỏa mãn.
Trường hợp 2: .
Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có nghiệm thỏa mãn
Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn .
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt ,
Khi đó phương trình trở thành

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5.


III. PHÁT TRIỂN CÂU 45–46
Câu 1: Cho hàm số có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận truyền thống

- Dựa vào đồ thị hàm số , ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số (hình vẽ dưới đây)

Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) mỗi phương trình có 1 nghiệm, phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt
Ta có ; .
BBT của hàm số :

Phương trình trở thành:
Từ đồ thị hàm số và từ bảng biến thiên của hàm số ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình có nghiệm và phương trình có nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 2: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên.

Số giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận truyền thống
Ta có .
Đặt ta được phương trình .
+) Với vì .
+) Với (1).
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn khác .
Với .
Nhận xét:
Nếu thì có 2 nghiệm .
Nếu hoặc thì có đúng 1 nghiệm .
Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa
có nghiệm .
Từ bảng biến thiên suy ra .
Vì nên .
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt vì

Khi đó phương trình thành