Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

BÀI 3
TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA:
 Cho số k  0 và một vectơ a  0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu ka , cùng hướng
với a nếu k  0 , ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng k a .
 Quy ước: 0.a  0 .
2.TÍNH CHẤT:
Với hai vectơ a , b bất kỳ, với mọi số thực h và k , ta có:
 k  a  b   ka  kb ;
  h  k  a  ha  ka ;
 h  ka    hk  a ;
 1a  a ,  1 a  a .
3. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC:
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có MA  MB  2MI .
 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có MA  MB  MC  3MG .
4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG:
 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  0 ) cùng phương là có một số thực k để a  kb .
 Nhận xét: Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB  k AC .
5. PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG:

Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy
nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x  ha  kb .

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 1

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

CHỦ ĐỀ 1
ĐẲNG THỨC VECTƠ CHỨA TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
ĐỘ DÀI VECTƠ

Câu 1.

Khẳng định nào sai?

A. 1.a  a
B. k a và a cùng hướng khi k  0
C. k a và a cùng hướng khi k  0
D. Hai vectơ a và b  0 cùng phương khi có một số k để a  kb
Lời giải
Chọn C
(Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)
Câu 2.
A. BI

Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng
IC

B. 3BI

2IC

C. BI

2IC

D. 2BI

IC

Lời giải

Chọn A
Vì I là trung điểm của BC nên BI
hay BI
Câu 3.

CI và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng nhau

IC .

Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề

sau, tìm mệnh đề sai?
A. AB  2 AM

B. AC  2CN

C. BC  2 NM

1
D. CN   AC
2

Lời giải
Chọn B
Câu 4.

Cho a  0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM  3a và ON  4a . Khi

đó:
A. MN  7a

B. MN  5a

C. MN  7a

D. MN  5a

Lời giải
Chọn C
Ta có: MN  ON  OM  4a  3a  7a .
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 2

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Câu 5.

Tìm giá trị của m sao cho a  mb , biết rằng a, b ngược hướng và a  5, b  15

A. m  3

B. m  

1
3

C. m 

1
3

D. m  3

Lời giải
Chọn B
Do a, b ngược hướng nên m  

Câu 6.

a



b

5
1
 .
15
3

Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a . Độ dài của AB  AC bằng:
B. a 3

A. 2a

C. 2a 3

D.

a 3
2

Lời giải
Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó: AB  AC  2. AH  2. AH  2.
Câu 7.

2a 3
 2a 3 .
2

Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc BAD  600 . Tính độ dài vectơ AB  AD .

A. AB  AD  2a 3

B. AB  AD  a 3

C. AB  AD  3a

D. AB  AD  3a 3
Lời giải

Chọn A

Tam giác ABD cân tại A và có góc BAD  600 nên ABD đều
AB  AD  AC  2 AO  2. AO  2. AB 2  BO2  2. 4a 2  a 2  2a 3

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 3

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA  OB  a . Độ dài của véc tơ u 

Câu 8.

21
5
OA  OB
4
2

là:
A.

a 140
4

B.

a 321
4

C.

a 520
4

D.

a 541
4

Lời giải
Chọn D

Dựng điểm M , N sao cho: OM 

21
5
OA, ON  OB . Khi đó:
4
2
2

2

a 541
 21a   5a 
.
u  OM  ON  NM  MN  OM  ON  
   
4
 4   2 
2

2

Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE . Gọi

Câu 9.

I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IJ 

1
AE
2

B. IJ 

1
AE
3

C. IJ 

1
AE
4

D. IJ 

1
AE
5

Lời giải
Chọn C

Ta có: 2IJ  IQ  IN  IM  MQ  IP  PN  MQ  PN

1
1
 MQ  MA  AE  EQ
 2MQ  AE  BD  MQ  AE  BD , PN   BD

2
2

 MQ  MB  BD  DQ



Suy ra: 2 IJ 







1
1
1
1
AE  BD  BD  AE  IJ  AE .
2
2
2
4

Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường thẳng

Câu 10.

BN cắt AC tại P . Khi đó AC  xCP thì giá trị của x là:
A. 

4
3

B. 

2
3

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

C. 
Trang 4

3
2

D. 

5
3
0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Lời giải
Chọn C

Kẻ MK / / BP ( K  AC ) . Do M là trung điểm của BC nên suy ra K là trung điểm của CP
Vì MK / / BP  MK / / NP mà N là trung điểm của AM nên suy ra P là trung điểm của AK

3
3
Do đó: AP  PK  KC . Vậy AC   CP  x   .
2
2
Ba trung tuyến AM , BN , CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ AM  BN  CP

Câu 11.

bằng vectơ nào?
A.



3
GA  GB  CG
2





B. 3 MG  NG  GP



C.



1
AB  BC  AC
2



D. 0

Lời giải
Chọn D
A
P

N
G

B

Ta có: AM  BN  CP 

Câu 12.

C

M





3
3
3
3
AG  BG  CG  AG  BG  CG  0 .
2
2
2
2

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có:

A. MA  MB  MI

B. MA  MB  2MI

C. MA  MB  3MI

D. MA  MB 

1
MI
2

Lời giải
Chọn B
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta luôn có MA  MB  2MI
Câu 13.

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có:

A. MA  MB  MC  MG

B. MA  MB  MC  2MG

C. MA  MB  MC  3MG

D. MA  MB  MC  4MG
Lời giải

Chọn C
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 5

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có MA  MB  MC  3MG .
Câu 14.

Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng?

1
B. IG   IA
3

A. GA  2GI

C. GB  GC  2GI

D. GB  GC  GA

Lời giải
Chọn C

Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB  GC  2GI .
Câu 15.

Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng?

A. AC  BD  2BC

B. AC  BC  AB

C. AC  BD  2CD

D. AC  AD  CD

Lời giải
Chọn A

Ta có: AC  BD  AB  BC  BC  CD  2BC  ( AB  CD)  2BC .
Câu 16.

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?

A. AB  AC 

2
AG
3

B. BA  BC  3BG

C. CA  CB  CG

D. AB  AC  BC  0

Lời giải
Chọn B

3
Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó: BA  BC  2BM  2. BG  3BG .
2
Câu 17.

Cho hình vuông ABCD có tâm là O . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?

A. AB  AD  2 AO

1
B. AD  DO   CA
2

1
C. OA  OB  CB
2

D. AC  DB  4 AB

Lời giải
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 6

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Chọn D

AC  DB  AB  BC  DC  CB  AB  DC  2 AB .
Câu 18.

Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó AC  BD

bằng:
A. MN

B. 2MN

C. 3MN

D. 2MN

Lời giải
Chọn B

 MN  MA  AC  CN
 2MN  AC  BD .
Ta có:  
 MN  MB  BD  DN
Câu 19.

Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MA  MB  MC  MD  MO

B. MA  MB  MC  MD  2MO

C. MA  MB  MC  MD  3MO

D. MA  MB  MC  MD  4MO
Lời giải

Chọn D

Ta có: MA  MB  MC  MD  (MA  MC )  (MB  MD)  2MO  2MO  4MO
Câu 20.

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong

các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. OH  4OG

B. OH  3OG

C. OH  2OG

D. 3OH  OG

Lời giải
Chọn B

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 7

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA  HD  2HO (1)
Vì HBDC là hình bình hành nên HD  HB  HC (2)
Từ (1),(2) suy ra:
HA  HB  HC  2HO  ( HO  OA)  ( HO  OB)  ( HO  OC )  2HO
 3HO  (OA  OB  OC )  2HO  OA  OB  OC   HO  3OG  OH .

Thầy, Cô muốn xem full đầy đủ bộ tài liệu lớp 10 (1797 trang. Theo chương trình mới, dùng cho
3 đầu sách) file word thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/.
Câu 21.

Cho tứ giác ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm trên GC sao cho

IC  3IG . Với mọi điểm M ta luôn có MA  MB  MC  MD bằng:
A. 2MI

B. 3MI

C. 4MI

D. 5MI

Lời giải
Chọn C

Ta có: 3IG   IC .
Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên

IA  IB  ID  3IG  IA  IB  ID  IC  IA  IB  IC  ID  0
Khi đó:
MA  MB  MC  MD  MI  IA  MI  IB  MI  IC  MI  ID

 4MI  ( IA  IB  IC  ID)  4MI  0  4MI
Câu 22. Cho ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào
sau đây là đúng?
3
A. OH  OG
2

B. HO  3OG

1
C. OG  GH
2

D. 2GO  3OH

Lời giải
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 8

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Chọn C.
Ta có GA  GB  GC  0  OA  OB  OC  3OG (1)
Gọi I là trung điểm BC, A ' đối xứng với A qua O.
Dễ thấy HBA ' C là hình bình hành

 HB  HC  HA '  HA  HB  HC  HA  HA '  2HO
 3HO  OA  OB  OC  2HO  OH  OA  OB  OC (2)
1
Từ (1) và (2)  OH  3OG  OG  GH  3OG  GH  2OG  OG  GH .
2

Câu 23. Cho ABC và một điểm M tùy ý. Chọn hệ thức đúng?
A. 2MA  MB  3MC  AC  2BC

B. 2MA  MB  3MC  2 AC  BC

C. 2MA  MB  3MC  2CA  CB

D. 2MA  MB  3MC  2CB  CA
Lời giải

Chọn C.

2MA  MB  3MC
 2MC  2CA  MC  CB  3MC
 2CA  CB
Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.
A. AI  AK  2 AC

B. AI  AK  AB  AD

C. AI  AK  IK

D. AI  AK 

3
AC
2

Lời giải
Chọn D.

AI  AK 



 







1
1
1
3
AB  AC  AD  AC  AC  AB  AD  AC
2
2
2
2

Câu 25. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng.





A. AM  2 AB  AC .

B. AM  3GM .

C. 2 AM  3GA  0 .

D. MG  3 MA  MB  MC .





Lời giải
Chọn C.
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 9

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

3
Tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G  AM   GA  2 AM  3GA  0 .
2

Thầy, Cô muốn xem full đầy đủ 38 chuyên đề ôn thi 12 file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/.
Thầy, Cô muốn xem full đầy đủ bộ tài liệu lớp 12 file word ( 3379 trang) thì liên hệ
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/.
Câu 26. Cho tam giác ABC , có AM là trung tuyến; I là trung điểm của AM . Ta có:
A. IA  IB  IC  0 .

B. IA  IB  IC  0 .

C. 2IA  IB  IC  4IA .

D. 2IA  IB  IC  0 .
Lời giải

Chọn D.

Theo tính chất hình bình hành ta có: IB  IC  2IM



 2IA  IB  IC  2IA  2IM  2 IA  IM

0 .

Câu 27. Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các
mệnh đề:
(I) AB  AC  AD  4 AG
(II) IA  IC  2IG
(III) JB  ID  JI
Mệnh đề sai là:
A. (I) và (II)

B. (II) và (III)

C. Chỉ (I)

D. Tất cả đều sai

Lời giải
Chọn B.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 10

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

AB  AC  AD



 

 AG  GB  AG  GC  AG  GD
 3 AG  GB  GC  GD



 

 4GA  GA  GB  GC  GD





 4 AG  2 I  2GJ  4 AG
(II) và (III) sai vì G không phải là trung điểm của AC và BD.
Câu 28. Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba
cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. MD  ME  MF 

1
MO
2

B. MD  ME  MF 

2
MO
3

C. MD  ME  MF 

3
MO
4

D. MD  ME  MF 

3
MO
2

Lời giải
Chọn D.
Qua M kẻ các đường thẳng A1B1 / / AB, A2C1 / / AC, B2C2 / / BC

 Các tam giác đều MB1C1 , MAC
1 2 , MA2 B2
Ta có: MD 





 MD  ME  MF 










1
1
1
MB1  MC1 , ME  MA1  MC2 , MF  MB2  MA2
2
2
2



 

 

1
1
1
MA1  MA2  MB1  MB2  MC1  MC2
2
2
2







1
3
MA  MB  MC  MO .
2
2

Thầy, Cô muốn xem full đầy đủ bộ tài liệu lớp 9 file word ( 1062 trang) thì liên hệ
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/.
Thầy, Cô muốn xem full đầy đủ bộ tài liệu lớp 11 file word ( 3042 trang) thì liên hệ
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/.
Câu 29.

Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ

ID, IE, IF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB . Giả sử ID  IE  IF 

a
a
IO (với
là phân số tối
b
b

giản). Khi đó a  b bằng:
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 11

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

A. 5

B. 4 C. 6

D. 7
Lời giải

Chọn A

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC, NR / /CA .
Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều.
Suy ra D, E, F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS .
Khi đó:


 

 
 

 
 



1
1
1
IM  IN  IP  IQ  IR  IS
2
2
2
1
1

IQ  IR  IM  IS  IN  IP   IA  IB  IC
 2
2
ID  IE  IF 





1
3
 .3IO  IO  a  3, b  2 . Do đó: a  b  5 .
2
2
Câu 30. *Cho ABC với BC  a, AC  b, AB  c . I là tâm đường tròn nội tiếp ABC , đường tròn nội
tiếp  I  tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a.IM  b.IN  c.IP  0

B. a.MA  b.NB  c.PC  0

C. a. AM  b.BN  c.CP  0

D. a. AB  b.BC  c.CA  0
Lời giải

Chọn A.

Gọi p là nửa chu vi ABC , ta có:

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 12

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

AP  AN  p  a
BM  BP  p  b
CN  CM  p  c
Ta có IM 

MB
MB
.IB 
.IC
BC
BC

 aIM   p  c  IB   p  b  IC 1
Tương tự:

bIN   p  a  IC   p  c  IA  2 
cIP   p  b  IA   p  a  IB  3
Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được:

aIM  bIN  cIC
  2 p  b  c  IA   2 p  a  c  IB   2 p  a  b  IC
 aIA  bIB  cIC  0
Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu I là tâm đường tròn nội tiếp ABC thì  aIA  bBI  cCI  0

CHỦ ĐỀ 2
BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

Để phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:
 Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
 Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
 Tính chất của các hình (tam giác đều, tam giác vuông, hình vuông, hình chữ nhật ...).

Câu 31. Cho ABC vuông cân, AB  AC . Khi đó vectơ u 

11
5
AB  AC được vẽ đúng ở hình nào
4
2

sau đây?

A.

B.

C.

D.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 13

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Lời giải
Chọn D.
Theo hình vẽ AM 

11
5
AB, AN  AC  Chọn đáp án D.
4
2

Câu 32. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vectơ u  3 AB  4 AC đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn A.
Câu 33. Cho AK và BM là hai trung tuyến của ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK và
BM .





B. AB 

1
AK  BM
3





D. AB 

2
AK  BM
3

A. AB 

2
AK  BM
3

C. AB 

3
AK  BM
2









Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
Ta có: AB  AK  KB  AK  KM  MB  AK 
 AB 

1
1
AB  BM (vì KM  AB )
2
2



1
3
2
AB  AK  BM  AB  AK  BM  AB  AK  BM
2
2
3



Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho AB  mAK  nBM , với G  AK  BM
Ta có AB  AG  GB, AK 
 AG  GB 

3
3
AG, BM  BG
2
2

3
3
3

 3

mAG  nGB   m  1 AG    n  1 BG (*)
2
2
2

 2


https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 14

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

2

3
m

m

1

0



3
Do AG, BG không cùng phương  (*)   2

 n  1  0
n   2
 2

3
 AB 





2
AK  BM .
3

Câu 34. Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm AB và G là trọng tâm ABC . Phân tích GA
theo BD và NC
1
2
A. GA   BD  NC .
3
3

1
4
B. GA  BD  NC .
3
3

1
2
C. GA  BD  NC .
3
3

1
2
D. GA  BD  NC .
3
3

Lời giải
Chọn D.

N

A
O

B
G

D

C

Vì G là trọng tâm ABC nên



GA  GB  GC  0  GA   GB  GC



1
2
1
2
Suy ra GA     BD  NC   BD  NC .
3
3
 3
 3

Câu 35. Cho ABC và I thỏa mãn IA  3IB . Phân tích CI theo CA và CB .
A. CI 





1
CA  3CB .
2

B. CI  CA  3CB .

C. CI 





1
3CB  CA .
2

D. CI  3CB  CA .

Lời giải
Chọn C.
Ta có: CI  CA  AI

 CI  CA  3IB



 CI  CA  3 IC  CB



 CI  CA  3CI  3CB
 CI  
 CI 



1
CA  3CB
2







1
3CB  CA .
2

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 15

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Câu 36. Cho ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Phân tích AB theo hai vectơ

BN là CP .
A. AB 

4
2
BN  CP
3
3

4
2
B. AB   BN  CP
3
3

4
2
C. AB   BN  CP
3
3

2
4
D. AB   BN  CP
3
3

Lời giải
Chọn C.

AB  AM  MB



 3GM  GB  GM



 2GM  GB
 GB  GC  GB  2GB  GC
4
2
  BN  CP
3
3

Câu 37. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho
AM 

1
1
AB, CN  CD . Gọi G là trọng tâm của BMN . Hãy phân tích AG theo hai vectơ
3
2

AB  a, AC  b .

A. AG 

1
5
a b
18
3

B. AG 

1
1
a b
18
5

C. AG 

5
1
a b
18
3

D. AG 

5
1
a b
18
3

Lời giải
Chọn C.
Ta có AM  AN  AB  3 AG mà AM 
AN 



 

1
AB
3



1
1
1
AC  AD  AC  AC  AB   a  b
2
2
2

 3 AG 
 AG 

1
1
5
AB  AB  AC  AB  AB  AC
3
2
6

5
1
a b.
18
3

Câu 38. Cho ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI  3BI và J là điểm trên tia đối của BC sao
cho 5JB  2 JC . Tính AI , AJ theo a  AB, b  AC .

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 16

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

3
2
5
2
A. AI  a  b, AJ  a  b
5
5
3
3

3
2
5
2
B. AI  a  b, AJ  a  b
5
5
3
3

2
3
5
2
a  b, AJ  a  b
5
5
3
3

3
2
5
2
D. AI  a  b, AJ  a  b
5
5
3
3

C. AI 

Lời giải
Chọn A.







Ta có: 2IC  3IB  2 AC  AI  3 AB  AI
 5 AI  3 AB  2 AC  AI 





3
2
AB  AC .
5
5

 

Ta lại có: 5JB  2 JC  5 AB  AJ  2 AC  AJ

 3 AJ  5 AB  2 AC  AJ 



5
2
AB  AC
3
3

Câu 39. Cho hình bình hành ABCD có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao
cho DN  p AB  q AC .
5
3
A. p  ; q 
4
4

4
2
B. p   ; q 
3
3

4
2
C. p   ; q  
3
3

5
3
D. p  ; q  
4
4

Lời giải
Chọn D.

DN  DA  AN  CB 
 AB  AC 




1
AE
2

1
AB  AC
4



5
3
AB  AC
4
4

5
3
Vậy p  , q  
4
4

Câu 40. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm BC, CD. Biết AK  a, AL  b . Biểu
diễn BA, BC theo a, b
4
2
2
4
A. BA  a  b, BC   a  b
3
3
3
3

1
2
1
4
B. BA   a  b, BC   a  b
3
3
3
3

1
2
1
4
C. BA   a  b, BC   a  b
3
3
3
3

4
2
2
4
D. BA   a  b, BC   a  b
3
3
3
3

Lời giải
Chọn D.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 17

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022





BC  2 BK  2 BA  AK  2 BA  2a
 2 BA  BC  2a





CD  2 LD  2 LA  AD  2 BC  2b
 BA  2 BC  2b

4
2

 BA   3 a  3 b
2 BA  BC  2a
Từ đó ta có hệ phương trình: 

 BA  2 BC  2b
 BC   2 a  4 b

3
3
Câu 41. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên BC sao cho 2CI  3BI và J là điểm trên BC kéo
dài sao cho 5JB  2 JC . Tính AG theo AI và AJ
A. AG 

15
1
AI  AJ
16
16

B. AG 

35
1
AI  AJ
48
16

C. AG 

15
1
AI  AJ
16
16

D. AG 

35
1
AI  AJ
48
16

Lời giải
Chọn B.

Gọi M là trung điểm BC:



2
1
AM  AB  AC
3
3
2 IC  3IB
AG 









 2 AC  AI  3 AB  AI
 AI 



3
2
AB  AC
5
5

Tương tự:
 AJ 

5
2
AB  AC
3
3

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 18

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

2
5
3
3
3

5

AI  AJ


 5 AB  5 AC  AI
 AB  8 AI  8 AJ
1 8
8
Ta có hệ: 

 AG  

3
2
25
9
25
9
3

 AB  AC  AJ
 AC 
AI  AJ
AI  AJ 
 
 5

5
16
16
16
16





35
1
AI  AJ
48
16

Câu 42. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và CD . Biết

MN  a. AB  b.AD . Tính a  b .
1
B. a  b  .
2

A. a  b  1.

3
C. a  b  .
4

1
D. a  b  .
4

Lời giải
Chọn A.
A

B
M

O

D
MN  MO  ON 
a

C

N









1
1
1
1
1
1
1
3
AC  AD  AB  BC  AD  AB  AD  AD  AB  AD .
4
2
4
2
4
2
4
4

1
3
; b  . Vậy a  b  1.
4
4

Câu 43. Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB , CD lần lượt lấy các điểm M , N sao cho 3 AM  2 AB và

3DN  2DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD , BC .
A. MN 

1
2
AD  BC .
3
3

B. MN 

1
1
AD  BC .
3
3

C. MN 

1
2
AD  BC .
3
3

D. MN 

2
1
AD  BC .
3
3

Lời giải
Chọn C.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 19

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

D

N

A

E
M

K
I
M

P

N

F

B
C

Q

Ta chứng minh bài toán sau:
Gọi E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ thì ta có: EF 
Thật vậy, ta có: EF 











1
MQ  NP .
2





1
1
1
EP  EQ  EN  NP  EM  MQ  MQ  NP
2
2
2



Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AM và DN .
Khi đó áp dụng kết quả của bài toán trên ta có: MN 
 MN 



1
BC  IK
2







1
1

  BC  AD  MN 
2
2


1
2
AD  BC .
3
3

Câu 44. Cho tứ giác ABCD , trên cạnh AB , CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho 3 AM  2 AB và
3 DN  2 DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD , BC .

A. MN 

1
1
AD  BC .
3
3

B. MN 

1
2
AD  BC .
3
3

C. MN 

1
2
AD  BC .
3
3

D. MN 

2
1
AD  BC .
3
3

Lời giải
Chọn C.
Ta có MN  MA  AD  DN 








2
2
BA  AD  DC
3
3



2
2
2
2
1
2
BC  CA  AD  DA  AC  BC  AD  AD  AD  BC .
3
3
3
3
3
3

Câu 45. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB  3MC .
Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

1
3
A. AM   AB  AC B. AM  2 AB  AC
2
2
C. AM  AB  AC

1
D. AM  ( AB  AC )
2
Lời giải

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 20

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Chọn A

Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó C là trung điểm của MI . Ta có:

1
1
3
AM  AI  2 AC  AM   AI  2 AC   ( AB  AC )  2 AC   AB  AC .
2
2
2
Câu 46.

Cho tam giác ABC biết AB  8, AC  9, BC  11. Gọi M là trung điểm BC và N là điểm

trên đoạn AC sao cho AN  x (0  x  9) . Hệ thức nào sau đây đúng?
1 x
1
A. MN     AC  AB
2
2 9

x 1
1
B. MN     CA  BA
2
9 2

x 1
1
C. MN     AC  AB
2
9 2

x 1
1
D. MN     AC  AB
2
9 2

Lời giải
Chọn D

Ta có: MN  AN  AM 
Câu 47.

x
1
1
 x 1
AC  ( AB  AC )     AC  AB .
9
2
2
9 2

Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. AH 

2
1
AC  AB
3
3

B. AH 

1
1
AC  AB
3
3

C. AH 

2
1
AC  AB
3
3

D. AH 

2
1
AB  AC
3
3

Lời giải
Chọn A

Gọi M , I lần lượt là trung điểm của BC và AC .

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 21

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Ta thấy AHCG là hình bình hành nên



 AH  AC 
Câu 48.



2
2 1
AM  AC  AH  . AB  AC  AC
3
3 2

AH  AG  AC  AH 





1
2
1
AB  AC  AH  AC  AB .
3
3
3

Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC, CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. AG 

1
1
AE  AF
2
2

B. AG 

1
1
AE  AF
3
3

C. AG 

3
3
AE  AF
2
2

D. AG 

2
2
AE  AF
3
3

Lời giải
Chọn D

Ta có: AG 
Câu 49.



 



2
2 1
1
2
2
AD  . AB  AC  2 AF  2 AE  AE  AF .
3
3 2
3
3
3

2
Cho tam giác ABC . Gọi D là điểm sao cho BD  BC và I là trung điểm của cạnh AD ,
3

M là điểm thỏa mãn AM  2 AC. Vectơ BI được phân tích theo hai vectơ BA và BC . Hãy chọn
5
khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. BI 

1
1
BA  BC .
2
3

B. BI 

1
1
BA  BC .
2
2

C. BI 

1
3
BA  BC .
2
4

D. BI 

1
1
BA  BC .
4
6

Lời giải
Chọn A

Ta có: I là trung điểm của cạnh AD nên

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 22

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

BI 





1
1
2
1
 1
BA  BD   BA  BC   BA  BC
2
2
3
3
 2
Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm thuộc AC sao cho

Câu 50.

CN  2 NA . K là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. AK 

1
1
AB  AC.
4
6

B. AK 

1
1
AB  AC.
2
3

C. AK 

1
1
AB  AC.
4
3

D. AK 

1
2
AB  AC.
2
3

Lời giải
Chọn A
A
N
M

K

C

B

Ta có M là trung điểm AB nên AM 
Do đó AK 



1
1
AB ; CN  2 NA  AN  AC .
2
3



1
1
1
AM  AN  AB  AC.
2
4
6

Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi G theo thứ tự là

Câu 51.

trọng tâm của tam giác OAB và OCD . Khi đó GG bằng:
A.





1
AC  BD .
2

B.







2
AC  BD .
3



C. 3 AC  BD .

D.





1
AC  BD .
3

Lời giải
Chọn D
B

G
A

C
O

G'

D

Vì G là trọng tâm của tam giác OCD nên GG 





1
GO  GC  GD . (1)
3

Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên: GO  GA  GB  0  GO  GA  GB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GG 



 



1
1
GA  GB  GC  GD  AC  BD .
3
3

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 23

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

Câu 52.

Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB  5 , BC  6 , CA  7 . Khi đó AD

bằng:
A.

5
7
AB  AC .
12
12

B.

7
5
AB  AC .
12
12

C.

7
5
AB  AC .
12
12

D.

5
7
AB  AC .
12
12

Lời giải
Chọn C
A
7

5
B

C

D

Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên:

BD AB 5
5

  BD  DC
DC AC 7
7

 AD  AB 
 AD 
Câu 53.



5
AC  AD
7



7
5
AB  AC .
12
12
Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao

cho NC  2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó:
A. AK 

1
1
AB  AC
6
4

B. AK 

1
1
AB  AC
4
6

C. AK 

1
1
AB  AC
4
6

D. AK 

1
1
AB  AC
6
4

Lời giải
Chọn C
Câu 54.

Cho tam giác ABC , N là điểm xác định bởi CN 

1
BC , G là trọng tâm tam giác ABC . Hệ
2

thức tính AC theo AG, AN là:
A. AC 

2
1
AG  AN
3
2

B. AC 

4
1
AG  AN
3
2

C. AC 

3
1
AG  AN
4
2

D. AC 

3
1
AG  AN
4
2

Lời giải
Chọn C
Câu 55.

Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB  4 , BC  5 và CA  6 .

Khi đó DE bằng:
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 24

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

A.

5
3
CA  CB .
9
5

B.

3
5
CA  CB .
5
9

C.

9
3
CA  CB .
5
5

D.

3
9
CA  CB .
5
5

Lời giải
Chọn A
A
E

B

AD là phân giác trong của tam giác ABC nên


C

D

CD AC 6
CD
6

 

DB AB 4 CD  DB 6  4

CD 6
3
  CD  CB .
CB 10
5

Tương tự:

CE 5
5
  CE  CA .
CA 9
9

5
3
Vậy DE  CE  CD  CA  CB .
9
5
Câu 56. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB  2MC . Khi đó:
A. AM 

1
2
AB  AC .
3
3

C. AM  AB  AC .

B. AM 

2
1
AB  AC .
3
3

D. AM 

2
3
AB  AC .
5
5

Lời giải
Chọn A.

A

B

M



C



2
2
1
2
Cách 1: Ta có AM  AB  BM  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC .
3
3
3
3

Cách 2: Ta có MB  2MC  MB  2MC (vì MB và MC ngược hướng)





 AB  AM  2 AC  AM  AM 

1
2
AB  AC .
3
3

Câu 57. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm được xác định: 4BM  3BC  0 . Khi đó vectơ AM bằng
A. AB  AC .

B.

1
1
AB  AC .
2
3

C.

1
2
AB  AC .
3
3

D.

1
3
AB  AC .
4
4

Lời giải
Chọn D.
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 25

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022



 



Ta có: 4BM  3BC  0  4 AM  AB  3 AC  AB  0

 4 AM  4 AB  3 AC  3 AB  0  AM 

1
3
AB  AC .
4
4

Câu 58. Cho tam giác ABC có I , D lần lượt là trung điểm AB , CI . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. BD 

1
3
AB  AC .
2
4

3
1
B. BD   AB  AC .
4
2

1
3
C. BD   AB  AC .
4
2

3
1
D. BD   AB  AC .
4
2

Lời giải
Chọn B.

A

I

D
C

B
Vì I , D lần lượt là trung điểm AB , CI nên ta có
BD 





1
11
3
1

BI  BC   BA  BA  AC    AB  AC
2
22
4
2


Câu 59. Cho tam giác ABC . Gọi I , J là hai điểm xác định bởi IA  2IB , 3JA  2 JC  0 . Hệ thức nào
đúng?
A. IJ 

5
AC  2 AB .
2

B. IJ 

5
AB  2 AC .
2

C. IJ 

2
AB  2 AC .
5

D. IJ 

2
AC  2 AB .
5

Lời giải
Chọn D.
J
A

C

B

I

Ta có: IJ  IA  AJ  2 AB 

2
2
AC  AC  2 AB .
5
5

Câu 60. Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho

MA NB m

 .
MD NC n

Đẳng thức nào sau đây là đúng?
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 26

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

A. MN 

nAB  mDC
mn

B. AM 

nAC  mAB
mn

C. BN 

nBC  mCD
mn

D. DM 

nCD  mAD
mn

Lời giải
Chọn A.

 MN  MA  AB  BN

Ta có 

 MN  MD  DC  CN

nMN  nMA  n AB  nBN

mMN  mMD  mDC  mCN
  m  n  MN



 

 

 nMA  mMD  n AB  mDC  nBN  mCN



 0  n AB  mDC  0
 MN 

n AB  mDC
mn

Câu 61. Cho ABC . Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho nBM  mBC  n, m  0  . Phân tích
vectơ AM theo AB, AC
A. AM 

1
1
AB 
AC
mn
mn

B. AM 

m
m
AB 
AC
mn
mn

C. AM 

n
n
AB 
AC
mn
mn

D. AM 

n
m
AB 
AC
mn
mn

Lời giải
Chọn D.

nBM  mBC







 n AM  AB  m AC  AM



  m  n  AM  n AB  m AC
 AM 

n
m
AB 
AC
mn
mn

Câu 62. Cho ABC . Diểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho MB  k MC  k  1 . Phân tích AM
theo AB, AC .
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 27

0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Vectơ - Trắc nghiệm có lời giải chi tiết theo chương trình mới 2022

A. AM 

AB  k AC
1 k

B. AM 

AB  k AC
1 k

C. AM 

AB  k AC
1 k

D. AM 

AB  k AC
1 k

Lời giải
Chọn C.
MB  k MC



 AB  AM  k AC  AM
 AM 



AB  k AC
1 k

Câu 63. Cho OAB với M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm số m, n thích hợp để

NA  mOA  nOB .
A. m  1, n 

1
2

B. m...