TRƯỜNG- THCS

KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2
NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ BÀI (ngày thi 23./12/2022)

Câu 1: (4 điểm). Cho
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
b)Tìm
c) Tìm

thỏa mãn:
để

.

.
nguyên.

Câu2(4điểm). 1 Giải phương trình sau:
2. Cho

.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn
.Câu 3: ( 4 điểm).
a) : Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho
và
đều là
các số chính phương thì n là bội số của 24.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số

tối

giản.
Bài 4 : (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh
AD, BC. Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt
tại P, Q.
a) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD.
b) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC.
c) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng
của M qua tâm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.
d) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB
Câu 5: (2 điểm). ) Tìm giá trị nhỏ nhất của: Ax   x  1 x  3 x  4  x  6  10
------------------Hết------------------(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;, Số báo danh:. . .

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN 2 MÔN TOÁN LỚP 8

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI MÔN: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đáp án gồm 05 trang)
Câu
1
4.0đ

Nội dung

Điểm

A



Biểu thức P xác định

0,5

Với điều kiện (*) ta có:

0,5

0.5



Vậy

b/ Với

với thỏa mãn ĐKXĐ (*).

với

thỏa mãn ĐKXĐ (*) (trong câu a) ta có:

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

trở thành:

0,25
0,25

0,25

(thỏa mãn ĐKXĐ)

0,25

Vậy
c)Với ĐKXĐ (*) thì
Để

(theo câu a).

0,25

thì

Vì

và

0,25

Lại có

x+3

-9

-3

-1

1

3

9

x

-12

-6

-4

-2

0

6

0,25

Câu

Nội dung
P

-16

Kết luận

Nhận

4

-16

Nhận

Nhận

Điểm
4
Nhận

0
Nhận

4
Nhận

0,25

Vậy
thì

.

(2)

0,5

*Đk pt có nghiệm là :

0,5

(2)

0,5

2
4,0đ

0,5

với đk
.
* Suy ra phương trình đã cho có nghiệm là
Từ x2 + y2 = a2 + b2
(x2 – a2) + (y2 – b2) = 0
(x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0
Bởi vì: x + y = a + b
x – a = b – y, thế vào ta có:
(b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0
(b – y)[(x + a) – (y + b)] = 0

0,5
0,5

*Nếu b – y = 0

0,5

*Nếu x + a = y + b

0,5

Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn
Vậy trong mọi trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn

3
(4,0đ)
a) (2,0 điểm):* Đặt

, khi đó m là số lẻ

0,5

=> n là số chẵn => n+1 lẻ =>
k lẻ
Đặt

0.5

Câu

(1)

Nội dung

Mặt khác
3 dư 0 hoặc 1

Điểm
. Mặt khác

Nên đề

và

chia cho

và

Hay

0.5
0,5

(2) . Mà

b)Gọi d là ƯCLN của 10n2 +9n+4 và 20n2 +20n+9

0,5
0,5

=> d là số tự nhiên lẻ.
*Mặt khác 2n+1 d => 4n2 +4n +1 d => 20n2 +20n+5 d=> 4 d mà d lẻ nên
d = 1. Vậy phân số trên tối giản.

0.5
0.5

4(6đ)

a)Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là
trung điểm của mỗi đường
Ta có: AO, BE là trung tuyến của ABD
Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của ABD .

b) Theo câu a) P là là trọng tâm của

Tương tự, ta có:

ABD

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

Do đó: PQ = AC – AP – CQ =
Vậy AP = PQ = QC

0,5

c) Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM

0.5
0.5

Ta có: AE = ED, EI = EM
AMDI là hình bình hành
AI // MD (1)
Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC
(2)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng
AB

d)

KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK
EF là đường trung bình của KMI

0,5

KI = 2.EF
Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4)
BF // AE và AF = AE
Tứ giác ABFE là hình bình hành
EF = AB
(5)
Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi khi M di động trên cạnh
CD.

5
(2,0đ)

0,5

0,5
0,5

A x   x 2  7 x  6  x 2  7 x  12   10
Đặt x 2  7 x  6 = t
 At  t t  6   10

0,5

t 2  6t  9  1 t  3  1 1
2

At Min 1 đạt được khi t = -3
 A x Min 1 đạt được khi x 2  7 x  6 = -3
 x2 - 7x + 9 = 0

x=

;x=

0,5
0,5
0.5

Chú ý:
1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm
bài hình.